Hitung Gradien Fungsi Kuadrat: Y = Ax^2 - Bx + 2

Halo, guys! Ketemu lagi nih di artikel matematika yang bakal ngebahas soal seru. Kali ini, kita bakal bedah tuntas soal fungsi kuadrat yang punya gradien garis singgung tertentu di sebuah titik. Buat kalian yang lagi belajar kalkulus atau persiapan ujian, ini penting banget lho!

Soal yang bakal kita ulas adalah: Fungsi y = ax^2 - bx + 2 mempunyai gradien garis singgung -2 di titik (2, 1) maka nilai 4a + b adalah? Pilihan jawabannya ada (A) -1, (B) -2, (C) -3, (D) -4, dan (E) -5. Gimana, udah kebayang belum cara ngerjainnya? Jangan khawatir, kita bakal kupas satu per satu sampai kalian paham banget!

Memahami Konsep Gradien Garis Singgung

Sebelum kita nyemplung ke perhitungannya, yuk kita inget-inget dulu apa sih artinya gradien garis singgung itu. Gradien garis singgung pada suatu fungsi di titik tertentu itu pada dasarnya adalah nilai turunan pertama dari fungsi tersebut di titik itu. Dalam matematika, kita kenal ini sebagai turunan atau diferensial. Kalau kalian masih bingung soal turunan, coba deh review lagi materinya. Soalnya, konsep ini kunci banget buat nyelesaiin soal ini.

Jadi, kalau kita punya fungsi y = f(x), maka gradien garis singgung di titik x = c adalah f'(c), di mana f'(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nah, di soal ini, kita dikasih tahu kalau gradiennya itu -2 di titik (2, 1). Ini artinya, saat x = 2, nilai turunan pertama dari fungsi y = ax^2 - bx + 2 adalah -2.

Kita juga dikasih tahu titiknya adalah (2, 1). Nah, ini juga penting. Artinya, saat nilai x = 2 dimasukkan ke dalam fungsi, hasil y nya itu harus sama dengan 1. Ini bakal jadi modal kita buat nyari nilai 'a' dan 'b' nanti. Keep this in mind, ya!

Langkah-langkah Menyelesaikan Soal

Oke, sekarang kita masuk ke bagian yang paling seru: penyelesaiannya! Siapin catatan kalian, guys, karena bakal ada beberapa langkah penting yang harus kita lalui.

Langkah 1: Mencari Turunan Pertama Fungsi

Langkah pertama yang paling krusial adalah mencari turunan pertama dari fungsi y = ax^2 - bx + 2. Ingat aturan turunan dasar: turunan dari x^n adalah n*x^(n-1).

• Turunan dari ax^2 adalah 2ax (karena pangkat 2 turun ke depan jadi koefisien, dan pangkatnya berkurang 1 jadi 2-1=1).
• Turunan dari -bx adalah -b (karena pangkat x adalah 1, 1 turun jadi koefisien, dan pangkatnya jadi 1-1=0, x^0 = 1).
• Turunan dari 2 (konstanta) adalah 0.

Jadi, turunan pertama dari fungsi y = ax^2 - bx + 2 adalah y' = 2ax - b. Ini adalah ekspresi umum gradien garis singgung di sembarang titik x.

Langkah 2: Menggunakan Informasi Gradien di Titik Tertentu

Kita dikasih tahu kalau gradien garis singgung di titik (2, 1) adalah -2. Ingat, gradien itu sama dengan turunan pertama. Jadi, kita bisa substitusikan nilai x = 2 ke dalam turunan pertama yang udah kita dapat: y' = 2ax - b.

Substitusikan x = 2: y'(2) = 2a(2) - b y'(2) = 4a - b

Karena kita tahu gradiennya di titik ini adalah -2, maka kita bisa samakan: 4a - b = -2.

Nah, ini adalah persamaan pertama yang kita dapat. Catat baik-baik, karena ini penting banget!

Langkah 3: Menggunakan Informasi Titik yang Dilalui Fungsi

Selain informasi gradien, kita juga tahu kalau fungsi ini melewati titik (2, 1). Artinya, kalau kita masukkan x = 2 ke dalam fungsi y = ax^2 - bx + 2, hasil y nya haruslah 1.

Yuk, kita substitusikan nilai x = 2 dan y = 1 ke dalam fungsi: 1 = a(2)^2 - b(2) + 2 1 = a(4) - 2b + 2 1 = 4a - 2b + 2

Sekarang, kita rapikan persamaannya untuk mencari hubungan lain antara 'a' dan 'b': Kurangi kedua sisi dengan 2: 1 - 2 = 4a - 2b -1 = 4a - 2b.

Ini adalah persamaan kedua yang kita dapat. Excellent!

Langkah 4: Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sekarang kita punya dua persamaan dengan dua variabel (a dan b):

1. 4a - b = -2
2. 4a - 2b = -1

Kita bisa pakai metode substitusi atau eliminasi untuk mencari nilai 'a' dan 'b'. Di sini, kayaknya metode eliminasi lebih gampang karena koefisien '4a' udah sama di kedua persamaan.

Mari kita eliminasi '4a' dengan cara mengurangi persamaan (1) dengan persamaan (2): (4a - b) - (4a - 2b) = -2 - (-1) 4a - b - 4a + 2b = -2 + 1 b = -1.

Voila! Kita sudah dapat nilai b = -1. Keren, kan?

Sekarang, setelah dapat nilai b, kita tinggal substitusikan nilai b = -1 ini ke salah satu persamaan tadi, misalnya persamaan (1), buat nyari nilai 'a'.

Dari persamaan (1): 4a - b = -2 Ganti b dengan -1: 4a - (-1) = -2 4a + 1 = -2

Kurangi kedua sisi dengan 1: 4a = -2 - 1 4a = -3

Jadi, nilai a = -3/4.

Wait, wait, wait. Kalau kita perhatikan soalnya, kita diminta mencari nilai 4a + b. Sebenarnya, kita nggak perlu repot-repot nyari nilai 'a' secara terpisah kalau kita udah punya persamaan 4a - b = -2 dan nilai b = -1. Tapi, karena kita udah nemu nilai 'a' dan 'b', mari kita lanjutin buat mastiin.

Langkah 5: Menghitung Nilai 4a + b

Kita udah punya nilai a = -3/4 dan b = -1. Sekarang kita tinggal hitung nilai yang diminta, yaitu 4a + b.

Substitusikan nilai 'a' dan 'b' ke dalam ekspresi 4a + b: 4a + b = 4 * (-3/4) + (-1) 4a + b = -3 + (-1) 4a + b = -3 - 1 4a + b = -4.

Jadi, nilai 4a + b adalah -4.

Mengecek Pilihan Jawaban

Sekarang, mari kita cocokin hasil yang kita dapat dengan pilihan jawaban yang tersedia: (A) -1. (B) -2. (C) -3. (D) -4. (E) -5.

Tadaaa! Hasil kita, -4, sama dengan pilihan jawaban (D). Perfect match!

Kesimpulan dan Tips Tambahan

Dari soal ini, kita belajar pentingnya memahami konsep gradien garis singgung sebagai turunan pertama fungsi. Kita juga melihat bagaimana informasi titik yang dilalui fungsi bisa membantu kita membentuk sistem persamaan linear yang kemudian bisa diselesaikan untuk menemukan nilai variabel yang tidak diketahui. Pretty straightforward, kan?

Tips tambahan buat kalian, guys:

1. Jangan Pernah Lupa Turunan Dasar: Kuasai aturan turunan polinomial seperti ax^n. Ini modal utama.
2. Baca Soal dengan Teliti: Pahami setiap informasi yang diberikan. Gradien di titik tertentu itu artinya nilai turunan di titik itu. Titik yang dilalui artinya koordinat (x, y) memenuhi persamaan fungsi.
3. Manfaatkan Sistem Persamaan: Kalau ketemu dua variabel yang tidak diketahui, kemungkinan besar kalian perlu membentuk dua persamaan dan menyelesaikannya.
4. Cek Ulang Perhitungan: Setelah selesai, coba cek ulang setiap langkah perhitungan kalian, terutama saat melakukan operasi aljabar seperti substitusi dan eliminasi. Kesalahan kecil bisa fatal, lho!
5. Perhatikan Pertanyaan: Pastikan kalian menghitung apa yang diminta soal. Di sini kita diminta 4a + b, bukan hanya nilai 'a' atau 'b' saja.

Semoga artikel ini membantu kalian lebih paham soal gradien garis singgung dan fungsi kuadrat. Keep practicing, ya! Semakin sering latihan, semakin jago kalian ngerjain soal-soal matematika. Sampai jumpa di artikel berikutnya!