Hitung Keliling Trapesium Siku-siku: Cukupkah Informasi Ini?

by ADMIN 61 views
Iklan Headers

Oke, guys, mari kita bedah soal matematika yang satu ini. Pertanyaannya adalah, pada trapesium siku-siku ABCD, diketahui panjang sisi AB = 3 dan panjang sisi AD lebih kecil atau sama dengan BC (AD

Pertanyaan Utama Kita: Apakah keliling trapesium tersebut lebih dari 25? Ini yang perlu kita cari tahu, apakah informasinya cukup untuk dijawab.

Kita punya dua pernyataan tambahan, yaitu: (1) Luas Trapesium ABCD = 24 (2) BC

Apa Sih Keliling Trapesium Itu? Sebelum kita melangkah lebih jauh, yuk kita ingat-ingat lagi apa itu keliling trapesium. Keliling itu adalah jumlah panjang semua sisi luar dari bangun datar tersebut. Untuk trapesium ABCD, kelilingnya adalah AB + BC + CD + AD. Nah, kita sudah tahu AB = 3, tapi kita perlu mencari nilai BC, CD, dan AD untuk bisa menghitung kelilingnya.

Analisis Pernyataan (1): Luas Trapesium ABCD = 24

Pernyataan pertama ini ngasih tau kita luas trapesiumnya, yaitu 24. Rumus luas trapesium itu kan: Luas = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi

Dalam kasus trapesium siku-siku ABCD, dengan AB adalah salah satu sisi sejajar dan AD adalah tinggi (karena siku-siku), maka sisi sejajarnya adalah AB dan CD. Jadi, rumusnya menjadi: Luas = 1/2 * (AB + CD) * AD

Kita tahu AB = 3 dan Luas = 24. Jadi, kita bisa substitusikan: 24 = 1/2 * (3 + CD) * AD

Jika kita kalikan 2 kedua sisi, kita dapat: 48 = (3 + CD) * AD

Nah, dari sini kita punya satu persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui, yaitu CD dan AD. Ada banyak kemungkinan nilai untuk CD dan AD yang bisa memenuhi persamaan ini. Misalnya, kalau AD = 1, maka (3 + CD) = 48, sehingga CD = 45. Kalau AD = 2, maka (3 + CD) = 24, sehingga CD = 21. Dan seterusnya. Kita juga dikasih tahu kalau AD

Karena ada banyak pasangan nilai CD dan AD yang mungkin, kita belum bisa menentukan nilai pasti dari BC, CD, dan AD. Akibatnya, kita juga belum bisa menghitung keliling trapesium secara pasti. Jadi, pernyataan (1) saja tidak cukup untuk menjawab pertanyaan apakah kelilingnya lebih dari 25.

Analisis Pernyataan (2): BC = 8

Sekarang kita lihat pernyataan kedua. Pernyataan ini ngasih tau kita kalau panjang BC = 8. Ini adalah informasi yang sangat berharga, tapi mari kita lihat apakah ini cukup sendirian.

Kita tahu kelilingnya adalah AB + BC + CD + AD. Kita sudah punya AB = 3 dan BC = 8. Jadi, kelilingnya menjadi: Keliling = 3 + 8 + CD + AD Keliling = 11 + CD + AD

Untuk menghitung keliling, kita masih butuh nilai CD dan AD. Pernyataan (2) saja tidak memberikan informasi apa pun tentang CD atau AD. Jadi, pernyataan (2) saja juga tidak cukup untuk menjawab pertanyaan kita.

Analisis Gabungan Pernyataan (1) dan (2)

Nah, sekarang saatnya kita menggabungkan kekuatan kedua pernyataan. Kita punya:

  1. Luas = 1/2 * (AB + CD) * AD = 24
  2. BC = 8
  3. AB = 3
  4. AD

Dari pernyataan (1), kita sudah dapatkan: 48 = (3 + CD) * AD

Sekarang, apa hubungannya BC dengan persamaan ini? Ingat, ini adalah trapesium siku-siku. Ada dua kemungkinan posisi siku-siku:

  • Siku-siku di A dan B (atau C dan D): Jika siku-siku ada di A dan D, maka AD adalah tinggi dan AB sejajar dengan CD. Ini adalah skenario yang kita pakai sejauh ini. Dalam kasus ini, tidak ada hubungan langsung antara BC dengan AD dan CD dari rumus luas.
  • Siku-siku di A dan B (atau C dan D): Skenario lain adalah jika siku-siku ada di sudut A dan B (atau C dan D). Jika siku-siku di A dan B, maka AB adalah tinggi, dan AD sejajar dengan BC. Tapi soal bilang AB=3, dan AD <= BC, ini agak aneh kalau AB=3 adalah tinggi. Mari kita asumsikan siku-siku ada di A dan D (atau B dan C) sehingga AD adalah tinggi dan AB sejajar dengan CD.

Jika kita kembali ke asumsi awal kita (siku-siku di A dan D, sehingga AD adalah tinggi): 48 = (3 + CD) * AD

Kita juga punya BC = 8 dan AD

Dalam trapesium siku-siku ABCD, jika AD adalah tinggi dan siku-siku berada di A dan D:

  • Sisi sejajar: AB dan CD
  • Tinggi: AD
  • Sisi miring: BC

Kita punya AB = 3. Kita punya Luas = 1/2 * (AB + CD) * AD = 24. Maka 48 = (3 + CD) * AD. Kita punya BC = 8. Kita punya AD

Dari persamaan 48 = (3 + CD) * AD, kita bisa ekspresikan CD: CD = (48 / AD) - 3

Sekarang, mari kita lihat sisi BC. Dalam trapesium siku-siku, kita bisa membentuk segitiga siku-siku di salah satu ujung sisi miring. Jika kita tarik garis dari C tegak lurus ke garis perpanjangan AB (atau dari B tegak lurus ke CD), kita akan mendapatkan segitiga siku-siku. Misalkan kita tarik garis dari C tegak lurus ke garis yang sejajar AD yang melewati B. Atau lebih mudah, bayangkan kita membuat sebuah persegi panjang dengan tinggi AD dan lebar AB. Sisa sisi CD adalah (CD - AB). Sisi miring BC akan menjadi hypotenuse dari segitiga siku-siku dengan sisi tegak AD dan sisi datar (CD - AB).

Jadi, menurut teorema Pythagoras: BC2=AD2+(CD−AB)2BC^2 = AD^2 + (CD - AB)^2

Kita tahu BC = 8 dan AB = 3. Substitusikan nilai-nilai ini: 82=AD2+(CD−3)28^2 = AD^2 + (CD - 3)^2 64=AD2+(CD−3)264 = AD^2 + (CD - 3)^2

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (AD dan CD):

  1. 48=(3+CD)∗AD=>CD=(48/AD)−348 = (3 + CD) * AD => CD = (48 / AD) - 3
  2. 64=AD2+(CD−3)264 = AD^2 + (CD - 3)^2

Mari kita substitusikan ekspresi CD dari persamaan (1) ke persamaan (2): 64=AD2+(((48/AD)−3)−3)264 = AD^2 + (((48 / AD) - 3) - 3)^2 64=AD2+((48/AD)−6)264 = AD^2 + ((48 / AD) - 6)^2

Ini adalah persamaan yang hanya memiliki satu variabel, yaitu AD. Jika kita bisa menyelesaikan persamaan ini untuk menemukan nilai AD, kita kemudian bisa mencari nilai CD menggunakan CD=(48/AD)−3CD = (48 / AD) - 3. Setelah mendapatkan nilai AD dan CD, kita bisa menghitung kelilingnya (3 + 8 + CD + AD) dan membandingkannya dengan 25.

Persamaan 64=AD2+((48/AD)−6)264 = AD^2 + ((48 / AD) - 6)^2 terlihat cukup rumit untuk diselesaikan secara manual, tetapi secara teoritis, persamaan ini memiliki solusi untuk AD. Mari kita asumsikan ada solusi yang valid untuk AD (yaitu AD positif dan memenuhi syarat AD

Misalnya, mari kita coba beberapa nilai AD yang mungkin. Kita tahu dari 48=(3+CD)∗AD48 = (3 + CD) * AD, bahwa AD haruslah faktor dari 48 atau menghasilkan CD yang rasional/bulat. Juga, AD

Jika kita berhasil menemukan nilai AD dan CD, kita bisa menghitung keliling: Keliling = 11 + CD + AD.

Karena kita dapat membentuk satu persamaan tunggal yang bisa diselesaikan untuk menemukan nilai AD (dan selanjutnya CD), maka kita dapat menentukan nilai pasti dari semua sisi trapesium. Dengan nilai semua sisi yang pasti, kita bisa menghitung kelilingnya dengan pasti dan menjawab pertanyaan apakah kelilingnya lebih dari 25.

Kesimpulan Akhir

  • Pernyataan (1) saja tidak cukup.
  • Pernyataan (2) saja tidak cukup.
  • Namun, dengan menggabungkan Pernyataan (1) dan Pernyataan (2), kita mendapatkan informasi yang cukup untuk menentukan panjang semua sisi trapesium dan menghitung kelilingnya. Kita bisa membuat sistem persamaan yang dapat diselesaikan untuk menemukan nilai AD dan CD. Oleh karena itu, kita dapat menjawab pertanyaan apakah keliling trapesium tersebut lebih dari 25.

Jadi, jawaban yang tepat adalah kedua pernyataan bersama-sama cukup.