Invers Matriks C Dan (CD)^-1: Soal Dan Pembahasan Lengkap

by ADMIN 58 views

Hey guys! Kali ini kita akan membahas soal seru tentang matriks, khususnya cara mencari invers dari suatu matriks dan juga invers dari hasil perkalian dua matriks. Soal ini sering banget muncul di ujian matematika, jadi penting banget buat kita semua paham konsep dan cara pengerjaannya. Yuk, langsung aja kita bahas!

Soal yang Akan Kita Pecahkan

Soalnya seperti ini:

Diketahui matriks C =

| 2  -5 |
| 1  -3 |

dan matriks D =

| 4  5 |
| 2  5 |

Tentukan: a. Invers matriks C b. (CD)^-1

Wah, keliatannya agak rumit ya? Tapi tenang, dengan penjelasan yang detail, kita pasti bisa menyelesaikannya langkah demi langkah. Mari kita mulai dengan memahami konsep invers matriks terlebih dahulu.

Memahami Konsep Invers Matriks

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget buat kita paham apa itu invers matriks. Secara sederhana, invers matriks adalah kebalikan dari suatu matriks. Jadi, kalau suatu matriks dikalikan dengan inversnya, hasilnya adalah matriks identitas. Matriks identitas itu matriks yang diagonal utamanya berisi angka 1, dan elemen lainnya 0.

Rumus Mencari Invers Matriks 2x2

Untuk matriks 2x2, cara mencari inversnya cukup mudah. Misalkan kita punya matriks A:

A =
| a  b |
| c  d |

Invers dari matriks A (ditulis A⁻¹) bisa dicari dengan rumus:

A⁻¹ = 1/det(A)  * 
|  d  -b |
| -c   a |

Dimana det(A) adalah determinan dari matriks A, yang dihitung dengan rumus: det(A) = ad - bc.

Kenapa Determinannya Penting?

Determinan ini penting banget, guys! Kalau determinannya sama dengan 0, maka matriks tersebut tidak punya invers. Jadi, sebelum mencari invers, pastikan dulu determinannya tidak nol.

Langkah-langkah Mengerjakan Soal

Sekarang, mari kita terapkan konsep ini untuk menyelesaikan soal kita tadi. Kita akan pecah soal ini menjadi dua bagian, sesuai dengan pertanyaan a dan b.

a. Mencari Invers Matriks C

Matriks C kita adalah:

C =
| 2  -5 |
| 1  -3 |

Langkah 1: Hitung Determinan Matriks C

Determinan matriks C (det(C)) adalah: det(C) = (2 * -3) - (-5 * 1) = -6 + 5 = -1

Nah, determinannya tidak nol, berarti matriks C punya invers.

Langkah 2: Tentukan Adjoin Matriks C

Adjoin itu apa sih? Adjoin matriks C adalah matriks yang diperoleh dengan menukar elemen diagonal utama dan mengubah tanda elemen diagonal sekunder.

Adj(C) =
| -3   5 |
| -1   2 |

Langkah 3: Hitung Invers Matriks C

Sekarang kita bisa hitung invers matriks C (C⁻¹) menggunakan rumus:

C⁻¹ = 1/det(C) * Adj(C)

Substitusikan nilai determinan dan adjoin yang sudah kita dapatkan:

C⁻¹ = 1/-1 * 
| -3   5 |
| -1   2 |

C⁻¹ = 
|  3  -5 |
|  1  -2 |

Jadi, invers matriks C adalah:

C⁻¹ = 
|  3  -5 |
|  1  -2 |

Selesai! Kita sudah berhasil mencari invers matriks C. Sekarang, kita lanjut ke bagian b.

b. Mencari (CD)^-1

Bagian ini sedikit lebih menantang, tapi tetap seru! Kita diminta mencari invers dari hasil perkalian matriks C dan D.

Ada Dua Cara yang Bisa Kita Gunakan

  1. Cara Pertama: Kalikan Dulu, Baru Cari Inversnya

    • Pertama, kita kalikan dulu matriks C dan D.
    • Setelah dapat hasil perkaliannya, baru kita cari inversnya seperti cara yang sudah kita lakukan di bagian a.

  2. Cara Kedua: Gunakan Sifat Invers Matriks

    • Ada sifat penting dalam matriks yang bisa kita manfaatkan: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
    • Jadi, (CD)⁻¹ = D⁻¹C⁻¹
    • Kita sudah punya C⁻¹, jadi kita tinggal cari D⁻¹, lalu kalikan dengan C⁻¹.

Kita Coba Cara Kedua (Menggunakan Sifat Invers)

Cara ini lebih efisien, guys! Jadi, mari kita gunakan sifat invers matriks.

Langkah 1: Cari Invers Matriks D

Matriks D kita adalah:

D =
| 4  5 |
| 2  5 |

  • Hitung Determinan Matriks D

    det(D) = (4 * 5) - (5 * 2) = 20 - 10 = 10

  • Tentukan Adjoin Matriks D

    Adj(D) =
|  5  -5 |
| -2   4 |

  • Hitung Invers Matriks D

    D⁻¹ = 1/det(D) * Adj(D)

    D⁻¹ = 1/10 *
|  5  -5 |
| -2   4 |

    D⁻¹ = 
|  1/2  -1/2 |
| -1/5   2/5 |

Langkah 2: Kalikan D⁻¹ dengan C⁻¹

Kita sudah punya D⁻¹ dan C⁻¹, sekarang tinggal kita kalikan:

(CD)⁻¹ = D⁻¹C⁻¹

(CD)⁻¹ = 
|  1/2  -1/2 |   *   |  3  -5 |
| -1/5   2/5 |       |  1  -2 |

Untuk mengalikan dua matriks, kita lakukan perkalian baris dengan kolom:

(CD)⁻¹ = 
| (1/2 * 3) + (-1/2 * 1)   (1/2 * -5) + (-1/2 * -2) |
| (-1/5 * 3) + (2/5 * 1)   (-1/5 * -5) + (2/5 * -2) |

(CD)⁻¹ = 
|  3/2 - 1/2   -5/2 + 1 |
| -3/5 + 2/5    1 - 4/5 |

(CD)⁻¹ = 
|   1    -3/2 |
| -1/5    1/5 |

Jadi, (CD)⁻¹ adalah:

(CD)⁻¹ = 
|   1    -3/2 |
| -1/5    1/5 |

Kesimpulan

Nah, kita sudah berhasil menyelesaikan kedua bagian soal ini! Kita sudah belajar cara mencari invers matriks 2x2 dan cara mencari invers dari hasil perkalian dua matriks. Semoga penjelasan ini mudah dipahami ya, guys. Intinya, kuasai konsep dasarnya, pahami rumusnya, dan jangan takut untuk berlatih soal. Semakin banyak latihan, semakin lancar kita mengerjakan soal-soal matriks.

Poin-poin Penting yang Harus Diingat:

  • Invers matriks adalah kebalikan dari suatu matriks.
  • Rumus mencari invers matriks 2x2: A⁻¹ = 1/det(A) * Adj(A)
  • Determinan matriks tidak boleh nol agar punya invers.
  • Sifat invers matriks: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian semua. Kalau ada pertanyaan atau mau request pembahasan soal lainnya, jangan ragu untuk tulis di kolom komentar ya! Semangat terus belajarnya! 😉