Komposisi Dan Invers Fungsi: Solusi Lengkap Untuk Soal Matematika

by ADMIN 66 views

Hai guys! Mari kita bedah tuntas soal matematika yang seru tentang fungsi, khususnya tentang komposisi fungsi dan invers fungsi. Soal ini sering banget muncul, jadi penting banget buat kita kuasai. Kita akan belajar langkah demi langkah, lengkap dengan contoh soal dan pembahasan yang mudah dipahami. Siap-siap, ya!

Memahami Konsep Dasar Fungsi dan Operasinya

Fungsi dalam matematika itu seperti mesin. Kita masukkan sesuatu (input), mesin tersebut memprosesnya, dan menghasilkan sesuatu yang lain (output). Nah, soal kita kali ini melibatkan dua mesin fungsi, yaitu f(x) dan g(x). Kita akan melihat bagaimana kedua mesin ini bekerja bersama-sama (komposisi fungsi) dan bagaimana cara membalikkan kerjanya (invers fungsi).

Sebelum kita mulai, pastikan kalian sudah paham konsep dasar fungsi, domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range (daerah hasil). Kalau belum, jangan khawatir! Kita akan sedikit me-review konsep-konsep tersebut sambil berjalan. Intinya, fungsi itu punya aturan yang jelas, yaitu memetakan setiap anggota domain ke tepat satu anggota kodomain. Gampangnya, satu input menghasilkan satu output.

Mengenal Lebih Dalam: f(x) dan g(x)

Dalam soal kita, kita punya dua fungsi:

  • f(x) = x + 3
  • g(x) = 2x - 1

Fungsi f(x) mengambil nilai x dan menambahkannya dengan 3. Sementara itu, fungsi g(x) mengambil nilai x, mengalikannya dengan 2, lalu menguranginya dengan 1. Sekarang, mari kita lihat bagaimana cara menggabungkan kedua fungsi ini.

A. Menentukan (g o f)(x) dan (f o g)(x): Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah operasi menggabungkan dua fungsi atau lebih menjadi satu fungsi baru. Notasi (g o f)(x) artinya kita memasukkan f(x) ke dalam fungsi g(x). Sementara itu, (f o g)(x) berarti kita memasukkan g(x) ke dalam fungsi f(x). Yuk, kita hitung!

Menghitung (g o f)(x)

(g o f)(x) = g(f(x))

Artinya, kita ganti x pada fungsi g(x) dengan f(x). Kita tahu f(x) = x + 3, jadi:

g(f(x)) = g(x + 3)

Sekarang, ganti x pada g(x) = 2x - 1 dengan (x + 3):

g(x + 3) = 2(x + 3) - 1

Sederhanakan:

g(x + 3) = 2x + 6 - 1

g(x + 3) = 2x + 5

Jadi, (g o f)(x) = 2x + 5

Menghitung (f o g)(x)

(f o g)(x) = f(g(x))

Artinya, kita ganti x pada fungsi f(x) dengan g(x). Kita tahu g(x) = 2x - 1, jadi:

f(g(x)) = f(2x - 1)

Sekarang, ganti x pada f(x) = x + 3 dengan (2x - 1):

f(2x - 1) = (2x - 1) + 3

Sederhanakan:

f(2x - 1) = 2x + 2

Jadi, (f o g)(x) = 2x + 2

Kesimpulan: (g o f)(x) = 2x + 5 dan (f o g)(x) = 2x + 2. Perhatikan bahwa (g o f)(x) tidak sama dengan (f o g)(x). Urutan fungsi sangat penting dalam komposisi!

B. Menentukan (g o f)⁻¹(x) dan (f o g)⁻¹(x): Invers Komposisi Fungsi

Invers fungsi adalah fungsi yang membalikkan kerja fungsi aslinya. Jika fungsi asli memetakan x menjadi y, maka invers fungsi akan memetakan y kembali menjadi x. Notasi f⁻¹(x) adalah notasi untuk invers fungsi f(x). Untuk mencari invers komposisi fungsi, kita bisa menggunakan beberapa cara.

Cara 1: Mencari Invers Terlebih Dahulu, Kemudian Mengkomposisikan

Langkah-langkahnya:

  1. Cari f⁻¹(x) dan g⁻¹(x).
  2. Gunakan (g o f)⁻¹(x) = (f⁻¹ o g⁻¹)(x)

Mencari f⁻¹(x)

  • f(x) = x + 3
  • Ganti f(x) dengan y: y = x + 3
  • Tukar x dan y: x = y + 3
  • Selesaikan untuk y: y = x - 3
  • Jadi, f⁻¹(x) = x - 3

Mencari g⁻¹(x)

  • g(x) = 2x - 1
  • Ganti g(x) dengan y: y = 2x - 1
  • Tukar x dan y: x = 2y - 1
  • Selesaikan untuk y: 2y = x + 1 => y = (x + 1)/2
  • Jadi, g⁻¹(x) = (x + 1)/2

Menghitung (f⁻¹ o g⁻¹)(x)

(f⁻¹ o g⁻¹)(x) = f⁻¹(g⁻¹(x))

Substitusikan g⁻¹(x) = (x + 1)/2 ke dalam f⁻¹(x):

f⁻¹((x + 1)/2) = (x + 1)/2 - 3

Sederhanakan:

(x + 1)/2 - 3 = (x + 1 - 6)/2 = (x - 5)/2

Jadi, (g o f)⁻¹(x) = (x - 5)/2

Menghitung (f o g)⁻¹(x)

Kita sudah tahu (f o g)(x) = 2x + 2. Sekarang, mari kita cari inversnya.

  1. Ganti (f o g)(x) dengan y: y = 2x + 2
  2. Tukar x dan y: x = 2y + 2
  3. Selesaikan untuk y: 2y = x - 2 => y = (x - 2)/2

Jadi, (f o g)⁻¹(x) = (x - 2)/2

Cara 2: Mencari Invers dari Komposisi Fungsi

Cara ini lebih sederhana jika kita sudah mendapatkan hasil komposisi fungsinya.

  • Kita sudah tahu (g o f)(x) = 2x + 5. Cari inversnya seperti biasa.

  • Ganti (g o f)(x) dengan y: y = 2x + 5

  • Tukar x dan y: x = 2y + 5

  • Selesaikan untuk y: 2y = x - 5 => y = (x - 5)/2

  • Jadi, (g o f)⁻¹(x) = (x - 5)/2

  • Kita sudah tahu (f o g)(x) = 2x + 2. Cari inversnya.

  • Ganti (f o g)(x) dengan y: y = 2x + 2

  • Tukar x dan y: x = 2y + 2

  • Selesaikan untuk y: 2y = x - 2 => y = (x - 2)/2

  • Jadi, (f o g)⁻¹(x) = (x - 2)/2

Kesimpulan: (g o f)⁻¹(x) = (x - 5)/2 dan (f o g)⁻¹(x) = (x - 2)/2. Kedua cara memberikan hasil yang sama, guys! Pilihlah cara yang paling mudah menurut kalian.

C. Menentukan f⁻¹(x) dan g⁻¹(x): Invers Fungsi Tunggal

Kita sudah menghitung f⁻¹(x) dan g⁻¹(x) di bagian sebelumnya. Tapi, mari kita ulangi lagi untuk memastikan kalian benar-benar paham.

Mencari f⁻¹(x)

  • f(x) = x + 3
  • Ganti f(x) dengan y: y = x + 3
  • Tukar x dan y: x = y + 3
  • Selesaikan untuk y: y = x - 3
  • Jadi, f⁻¹(x) = x - 3

Mencari g⁻¹(x)

  • g(x) = 2x - 1
  • Ganti g(x) dengan y: y = 2x - 1
  • Tukar x dan y: x = 2y - 1
  • Selesaikan untuk y: 2y = x + 1 => y = (x + 1)/2
  • Jadi, g⁻¹(x) = (x + 1)/2

Kesimpulan: f⁻¹(x) = x - 3 dan g⁻¹(x) = (x + 1)/2. Mudah, kan?

D. Latihan Soal Tambahan: Memantapkan Pemahaman

Sekarang, mari kita coba latihan soal tambahan agar semakin mahir. Kita akan mencari (g o f)(x) dan (f o g)(x) lagi. Hal ini bertujuan agar kalian semakin lancar dan tidak bingung lagi.

Menghitung (g o f)(x) (Ulangi)

Kita sudah tahu f(x) = x + 3 dan g(x) = 2x - 1

(g o f)(x) = g(f(x))

Substitusikan f(x) = x + 3 ke dalam g(x):

g(x + 3) = 2(x + 3) - 1

Sederhanakan:

g(x + 3) = 2x + 6 - 1

g(x + 3) = 2x + 5

Jadi, (g o f)(x) = 2x + 5

Menghitung (f o g)(x) (Ulangi)

(f o g)(x) = f(g(x))

Substitusikan g(x) = 2x - 1 ke dalam f(x):

f(2x - 1) = (2x - 1) + 3

Sederhanakan:

f(2x - 1) = 2x + 2

Jadi, (f o g)(x) = 2x + 2

Kesimpulan Akhir: Kita telah berhasil menyelesaikan semua bagian soal! Ingat, kunci dari soal ini adalah memahami konsep komposisi dan invers fungsi, serta teliti dalam melakukan perhitungan. Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain dan terus berlatih, ya! Semangat!

Tips Tambahan:

  • Buat catatan: Catat langkah-langkah penyelesaian agar lebih mudah diingat.
  • Latihan soal: Semakin banyak latihan, semakin mahir.
  • Pahami konsep: Jangan hanya menghafal rumus, tapi pahami konsep di baliknya.

Semoga panduan ini bermanfaat, guys! Selamat belajar dan semoga sukses!