Komposisi Fungsi: Soal Dan Pembahasan Lengkap

by ADMIN 46 views
Iklan Headers

Komposisi fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu. Gampangnya, kita memasukkan output dari suatu fungsi ke fungsi lainnya. Nah, biar makin paham, yuk kita bahas soal-soal komposisi fungsi berikut ini!

Soal 1

Jika f(x)=2x+3{f(x) = 2x + 3} dan g(x)=x2−1{g(x) = x^2 - 1}, tentukan:

  • (f∘g)(x){(f \circ g)(x)}
  • (g∘f)(x){(g \circ f)(x)}.

Pembahasan Soal 1

Oke guys, di soal ini kita punya dua fungsi, yaitu f(x)=2x+3{f(x) = 2x + 3} dan g(x)=x2−1{g(x) = x^2 - 1}. Tugas kita adalah mencari komposisi fungsi (f∘g)(x){(f \circ g)(x)} dan (g∘f)(x){(g \circ f)(x)}. Ingat ya, urutan fungsi dalam komposisi itu penting banget!

Mencari (f∘g)(x){(f \circ g)(x)}

(f∘g)(x){(f \circ g)(x)} artinya kita memasukkan fungsi g(x){g(x)} ke dalam fungsi f(x){f(x)}. Jadi, setiap ada 'x' di fungsi f(x){f(x)}, kita ganti dengan fungsi g(x){g(x)}.

  • f(x)=2x+3{f(x) = 2x + 3}
  • f(g(x))=2(g(x))+3{f(g(x)) = 2(g(x)) + 3}
  • f(g(x))=2(x2−1)+3{f(g(x)) = 2(x^2 - 1) + 3}
  • f(g(x))=2x2−2+3{f(g(x)) = 2x^2 - 2 + 3}
  • f(g(x))=2x2+1{f(g(x)) = 2x^2 + 1}

Jadi, (f∘g)(x)=2x2+1{(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1}.

Mencari (g∘f)(x){(g \circ f)(x)}

Sekarang, kita cari (g∘f)(x){(g \circ f)(x)}. Ini berarti kita memasukkan fungsi f(x){f(x)} ke dalam fungsi g(x){g(x)}. Jadi, setiap ada 'x' di fungsi g(x){g(x)}, kita ganti dengan fungsi f(x){f(x)}.

  • g(x)=x2−1{g(x) = x^2 - 1}
  • g(f(x))=(f(x))2−1{g(f(x)) = (f(x))^2 - 1}
  • g(f(x))=(2x+3)2−1{g(f(x)) = (2x + 3)^2 - 1}
  • g(f(x))=(4x2+12x+9)−1{g(f(x)) = (4x^2 + 12x + 9) - 1}
  • g(f(x))=4x2+12x+8{g(f(x)) = 4x^2 + 12x + 8}

Jadi, (g∘f)(x)=4x2+12x+8{(g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8}.

Kesimpulan Soal 1

  • (f∘g)(x)=2x2+1{(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1}
  • (g∘f)(x)=4x2+12x+8{(g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8}

Soal 2

Diketahui f(x)=x−4{f(x) = x - 4} dan g(x)=3x{g(x) = 3x}. Tentukan:

  • (f∘g)(2){(f \circ g)(2)}
  • (g∘f)(2){(g \circ f)(2)}.

Pembahasan Soal 2

Di soal kedua ini, kita juga punya dua fungsi, yaitu f(x)=x−4{f(x) = x - 4} dan g(x)=3x{g(x) = 3x}. Bedanya, sekarang kita diminta mencari nilai komposisi fungsi pada x=2{x = 2}.

Mencari (f∘g)(2){(f \circ g)(2)}

Ada dua cara untuk mencari (f∘g)(2){(f \circ g)(2)}. Cara pertama, kita cari dulu fungsi (f∘g)(x){(f \circ g)(x)}, baru kemudian kita substitusikan x=2{x = 2}. Cara kedua, kita cari dulu nilai g(2){g(2)}, baru kemudian hasilnya kita masukkan ke fungsi f(x){f(x)}.

Cara 1: Cari fungsi (f∘g)(x){(f \circ g)(x)} dulu

  • f(x)=x−4{f(x) = x - 4}
  • f(g(x))=g(x)−4{f(g(x)) = g(x) - 4}
  • f(g(x))=3x−4{f(g(x)) = 3x - 4}

Jadi, (f∘g)(x)=3x−4{(f \circ g)(x) = 3x - 4}.

Sekarang, kita substitusikan x=2{x = 2}:

  • (f∘g)(2)=3(2)−4{(f \circ g)(2) = 3(2) - 4}
  • (f∘g)(2)=6−4{(f \circ g)(2) = 6 - 4}
  • (f∘g)(2)=2{(f \circ g)(2) = 2}

Cara 2: Cari nilai g(2){g(2)} dulu

  • g(x)=3x{g(x) = 3x}
  • g(2)=3(2)=6{g(2) = 3(2) = 6}

Kemudian, kita masukkan hasil ini ke fungsi f(x){f(x)}:

  • f(x)=x−4{f(x) = x - 4}
  • f(g(2))=f(6)=6−4=2{f(g(2)) = f(6) = 6 - 4 = 2}

Hasilnya sama kan? Jadi, (f∘g)(2)=2{(f \circ g)(2) = 2}.

Mencari (g∘f)(2){(g \circ f)(2)}

Sama seperti sebelumnya, kita bisa cari (g∘f)(2){(g \circ f)(2)} dengan dua cara.

Cara 1: Cari fungsi (g∘f)(x){(g \circ f)(x)} dulu

  • g(x)=3x{g(x) = 3x}
  • g(f(x))=3(f(x)){g(f(x)) = 3(f(x))}
  • g(f(x))=3(x−4){g(f(x)) = 3(x - 4)}
  • g(f(x))=3x−12{g(f(x)) = 3x - 12}

Jadi, (g∘f)(x)=3x−12{(g \circ f)(x) = 3x - 12}.

Sekarang, kita substitusikan x=2{x = 2}:

  • (g∘f)(2)=3(2)−12{(g \circ f)(2) = 3(2) - 12}
  • (g∘f)(2)=6−12{(g \circ f)(2) = 6 - 12}
  • (g∘f)(2)=−6{(g \circ f)(2) = -6}

Cara 2: Cari nilai f(2){f(2)} dulu

  • f(x)=x−4{f(x) = x - 4}
  • f(2)=2−4=−2{f(2) = 2 - 4 = -2}

Kemudian, kita masukkan hasil ini ke fungsi g(x){g(x)}:

  • g(x)=3x{g(x) = 3x}
  • g(f(2))=g(−2)=3(−2)=−6{g(f(2)) = g(-2) = 3(-2) = -6}

Sama lagi kan? Jadi, (g∘f)(2)=−6{(g \circ f)(2) = -6}.

Kesimpulan Soal 2

  • (f∘g)(2)=2{(f \circ g)(2) = 2}
  • (g∘f)(2)=−6{(g \circ f)(2) = -6}

Soal 3

Misalkan f(x)=x{f(x) = \sqrt{x}} dan g(x)=x2+1{g(x) = x^2 + 1}. Tentukan domain dari fungsi komposisi (f∘g)(x){(f \circ g)(x)}.

Pembahasan Soal 3

Domain komposisi fungsi, khususnya pada soal ini yaitu (f∘g)(x){(f \circ g)(x)} agak sedikit tricky nih. Kita harus ingat bahwa domain suatu fungsi adalah semua nilai x yang membuat fungsi tersebut terdefinisi. Pada fungsi akar kuadrat seperti f(x)=x{f(x) = \sqrt{x}}, kita tahu bahwa nilai di dalam akar (radikan) tidak boleh negatif. Dengan kata lain, radikan harus lebih besar atau sama dengan nol.

Mencari (f∘g)(x){(f \circ g)(x)}

Pertama, kita cari dulu fungsi komposisinya:

  • f(x)=x{f(x) = \sqrt{x}}
  • f(g(x))=g(x){f(g(x)) = \sqrt{g(x)}}
  • f(g(x))=x2+1{f(g(x)) = \sqrt{x^2 + 1}}

Jadi, (f∘g)(x)=x2+1{(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}}.

Menentukan Domain (f∘g)(x){(f \circ g)(x)}

Sekarang, kita tentukan domainnya. Kita tahu bahwa nilai di dalam akar harus lebih besar atau sama dengan nol:

  • x2+1≥0{x^2 + 1 \geq 0}

Perhatikan bahwa x2{x^2} selalu bernilai positif atau nol untuk semua bilangan real x. Jadi, x2+1{x^2 + 1} pasti selalu lebih besar dari nol (karena kita menambahkan 1). Dengan kata lain, tidak ada nilai x yang membuat x2+1{x^2 + 1} negatif.

Karena x2+1{x^2 + 1} selalu positif untuk semua bilangan real x, maka akar kuadrat dari x2+1{x^2 + 1} juga akan selalu terdefinisi untuk semua bilangan real x.

Kesimpulan Soal 3

Domain dari fungsi komposisi (f∘g)(x)=x2+1{(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}} adalah semua bilangan real, atau bisa kita tulis x∈R{x \in \mathbb{R}}.

Oke guys, semoga pembahasan soal-soal komposisi fungsi ini bisa membantu kalian lebih memahami materi ini ya! Jangan lupa terus berlatih soal agar semakin mahir. Semangat!