Kuasai Pembagian Polinomial: Cara Bersusun, Horner, & Horner Kino!

Oct 16, 2025 by ADMIN 67 views

Hai guys! Kali ini, kita akan menyelami dunia pembagian polinomial. Tenang, jangan panik dulu! Kita akan belajar cara menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dari pembagian polinomial dengan berbagai metode seru. Mulai dari cara bersusun yang klasik, sampai metode Horner dan Horner Kino yang lebih stylish dan efisien. Siap-siap, ya! Kita akan bedah soal-soal latihan yang seru.

Pembagian Polinomial: Fondasi yang Wajib Kamu Kuasai!

Pembagian polinomial adalah salah satu konsep dasar dalam matematika, khususnya aljabar. Memahami cara membagi polinomial adalah kunci untuk memecahkan berbagai masalah, mulai dari mencari akar-akar persamaan polinomial hingga menyederhanakan ekspresi matematika yang rumit. So, penting banget buat kita semua untuk benar-benar memahami konsep ini. Ada beberapa metode yang bisa kita gunakan, dan semuanya punya kelebihan masing-masing. Mari kita mulai dengan yang paling klasik, yaitu cara bersusun.

Cara Bersusun: Sang Legenda Pembagian!

Cara bersusun adalah metode yang paling mirip dengan pembagian bilangan bulat biasa. Guys, metode ini mungkin terasa old school, tapi tetap fundamental untuk memahami konsep pembagian polinomial. Dengan cara ini, kita akan membagi polinomial P(x) dengan polinomial Q(x), dan mencari hasil bagi H(x) serta sisa S(x). Prosesnya melibatkan pengurangan berulang, mirip dengan pembagian bilangan. Langkah-langkahnya cukup sederhana, tapi butuh ketelitian.

Mari kita coba dengan soal pertama: $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x - 1$ dibagi $Q(x) = x - 5$ .

Siapkan: Susun polinomial P(x) di dalam tanda kurung panjang (seperti pembagian biasa) dan Q(x) di luar.
Bagi suku pertama: Bagi suku pertama P(x) (yaitu $x^4$ ) dengan suku pertama Q(x) (yaitu $x$ ). Hasilnya adalah $x^3$ . Tulis $x^3$ di atas tanda kurung panjang.
Kalikan: Kalikan $x^3$ dengan seluruh Q(x) ( $x - 5$ ). Hasilnya adalah $x^4 - 5x^3$ . Tulis di bawah P(x).
Kurangkan: Kurangkan hasil perkalian dari P(x). Ingat, kurangkan semua suku dengan hati-hati! Hasilnya adalah $2x^3 + 2x - 1$ .
Ulangi: Turunkan suku berikutnya dari P(x) (dalam hal ini, tidak ada, tapi kita bisa anggap ada $0x^2$ ). Bagi suku pertama dari hasil pengurangan ( $2x^3$ ) dengan suku pertama Q(x) ( $x$ ). Hasilnya adalah $2x^2$ . Tulis di atas tanda kurung panjang.
Kalikan: Kalikan $2x^2$ dengan Q(x) ( $x - 5$ ). Hasilnya adalah $2x^3 - 10x^2$ . Tulis di bawah hasil pengurangan sebelumnya.
Kurangkan: Kurangkan. Hasilnya adalah $10x^2 + 2x - 1$ .
Ulangi lagi: Bagi $10x^2$ dengan $x$ . Hasilnya adalah $10x$ . Kalikan dengan Q(x). Kurangkan. Hasilnya adalah $52x - 1$ .
Ulangi terus: Bagi $52x$ dengan $x$ . Hasilnya adalah $52$ . Kalikan dengan Q(x). Kurangkan. Hasilnya adalah $259$ . Sisa pembagian.

Hasilnya: H(x) = $x^3 + 2x^2 + 10x + 52$ dan S(x) = $259$ .

Gimana, cukup panjang, kan? Tapi, dengan latihan, cara bersusun akan terasa lebih mudah.

Soal Kedua dengan Cara Bersusun: Latihan yang Lebih Menantang!

Sekarang, mari kita coba soal kedua: $P(x) = 3x^4 - 6x^3 + 2x - 7$ dibagi $Q(x) = 3x - 2$ .

Siapkan: Sama seperti sebelumnya, susun P(x) dan Q(x).
Bagi: Bagi $3x^4$ dengan $3x$ . Hasilnya adalah $x^3$ . Tulis di atas.
Kalikan: Kalikan $x^3$ dengan $3x - 2$ . Hasilnya adalah $3x^4 - 2x^3$ . Tulis di bawah P(x).
Kurangkan: Hasilnya adalah $-4x^3 + 2x - 7$ .
Ulangi: Bagi $-4x^3$ dengan $3x$ . Hasilnya adalah $- rac{4}{3}x^2$ . Tulis di atas.
Kalikan: Kalikan $- rac{4}{3}x^2$ dengan $3x - 2$ . Hasilnya adalah $-4x^3 + rac{8}{3}x^2$ . Tulis di bawah.
Kurangkan: Hasilnya adalah $- rac{8}{3}x^2 + 2x - 7$ .
Ulangi terus. Pembagian akan terus berlanjut hingga derajat sisa lebih kecil dari derajat pembagi.

Hasilnya: H(x) = $x^3 - rac{4}{3}x^2 - rac{8}{9}x + rac{2}{27}$ dan S(x) = $- rac{179}{27}$ . Woah, pecahan, guys! Tapi, jangan khawatir, latihan terus akan membuatmu semakin jago!

Bagan Horner: Pembagian Cepat dan Efisien!

Bagan Horner adalah metode yang lebih ringkas dan cepat untuk membagi polinomial. Metode ini sangat berguna, terutama jika pembaginya berbentuk linier (x - k). Yuk, kita coba lagi soal pertama menggunakan metode Horner.

Langkah-langkah Jitu dengan Metode Horner:

Tentukan k: Jika pembaginya adalah (x - k), maka k = 5 (karena Q(x) = x - 5).
Tulis koefisien: Tulis koefisien dari P(x): 1, -3, 0, 2, -1 (Perhatikan, kita perlu memasukkan 0 untuk suku yang tidak ada, seperti $x^2$ dalam kasus ini).

Buat bagan: Buat bagan Horner seperti ini:

5 | 1  -3   0   2  -1
  |______________________

Turunkan koefisien pertama: Turunkan koefisien pertama (1) ke bawah.
```
5 | 1  -3   0   2  -1
  |______________________
      1
```
Kalikan dan jumlahkan: Kalikan 1 dengan k (5), hasilnya 5. Tulis di bawah -3, lalu jumlahkan: -3 + 5 = 2.
```
5 | 1  -3   0   2  -1
  |    5
  |______________________
      1   2
```
Ulangi: Kalikan 2 dengan 5, hasilnya 10. Tulis di bawah 0, lalu jumlahkan: 0 + 10 = 10.
```
5 | 1  -3   0   2  -1
  |    5  10
  |______________________
      1   2  10
```

Ulangi terus: Kalikan 10 dengan 5, hasilnya 50. Jumlahkan 2 + 50 = 52.

5 | 1  -3   0   2  -1
  |    5  10  50
  |______________________
      1   2  10  52

Ulangi lagi: Kalikan 52 dengan 5, hasilnya 260. Jumlahkan -1 + 260 = 259.

5 | 1  -3   0   2  -1
  |    5  10  50  260
  |______________________
      1   2  10  52 | 259

Baca hasilnya: Koefisien hasil bagi (H(x)) adalah 1, 2, 10, 52 (dari kiri ke kanan). Jadi, H(x) = $x^3 + 2x^2 + 10x + 52$ . Sisa (S(x)) adalah 259.

Hasilnya: Sama seperti cara bersusun, bukan? Tapi, lebih cepat dan ringkas!

Horner untuk Soal Kedua: Lebih Mudah, Lebih Cepat!

Sekarang, coba kita selesaikan soal kedua, tapi kali ini menggunakan metode Horner.

Masalahnya: Metode Horner biasanya lebih mudah digunakan jika pembaginya berbentuk (x - k). Bagaimana jika pembaginya adalah (3x - 2)?
Solusi: Kita bisa membagi kedua ruas persamaan dengan 3, sehingga pembaginya menjadi (x - 2/3).
Proses: Dengan k = 2/3, kita lakukan langkah-langkah Horner seperti sebelumnya.
Koefisien: 3, -6, 0, 2, -7.

    2/3 | 3  -6   0   2  -7
        |    2  -8/3  -16/9  -14/27
        |________________________________
          3  -4  -8/3  2/9  -203/27

Hasil: Hasil bagi H(x) = $3x^3 - 4x^2 - rac{8}{3}x + rac{2}{9}$ dan sisa S(x) = $- rac{203}{27}$ .

Penting: Jangan lupa untuk membagi hasil bagi (H(x)) dengan koefisien x pada pembagi (dalam hal ini, 3). Jadi, H(x) sebenarnya adalah $x^3 - rac{4}{3}x^2 - rac{8}{9}x + rac{2}{27}$ . Sisa tetap sama.

Horner Kino: Lebih Canggih, Lebih Efisien!

Horner Kino adalah pengembangan dari metode Horner. Metode ini sangat berguna jika pembaginya berbentuk kuadrat atau lebih tinggi. Tapi, untuk soal-soal kita, kita akan tetap menggunakan Horner Kino untuk pembagi linier, agar kita bisa membandingkan hasilnya.

Langkah-langkah dengan Metode Horner Kino:

Sama seperti Horner: Tentukan k dan tulis koefisien polinomial P(x).
Buat bagan: Sama seperti Horner.
Langkah Pertama: Lakukan langkah-langkah Horner seperti biasa. Bedanya, kita akan menandai hasil bagi dengan garis vertikal.
Horner Kino: Setelah mendapatkan hasil bagi dan sisa, kita tidak perlu melakukan langkah tambahan untuk mendapatkan H(x) dan S(x), hasilnya langsung terbaca.

Soal 1: Mari kita coba soal pertama dengan metode Horner Kino.
```
5 | 1  -3   0   2  -1
  |    5  10  50  260
  |______________________
      1   2  10  52 | 259
```
Hasilnya sama persis dengan metode Horner!

Soal 2: Coba lagi dengan soal kedua. Ingat, bagi pembagi dengan 3 terlebih dahulu.

2/3 | 3  -6   0   2  -7
    |    2  -8/3  -16/9  -14/27
    |________________________________
      3  -4  -8/3  2/9 | -203/27

Kesimpulan: Horner Kino memberikan hasil yang sama, namun dengan cara yang lebih efisien, terutama untuk pembagi yang lebih kompleks.

Memilih Metode yang Tepat:

Cara Bersusun: Cocok untuk pemula dan untuk memahami konsep dasar. Cocok untuk semua jenis pembagi.
Horner: Paling efisien jika pembaginya berbentuk (x - k).
Horner Kino: Cocok untuk pembagi yang lebih kompleks (kuadrat atau lebih tinggi), dan tetap efisien untuk pembagi linier.

Guys, semua metode ini powerful dan berguna. Pilihlah metode yang paling kamu kuasai dan yang paling efisien untuk soal yang kamu hadapi. Keep practicing, dan kamu akan semakin mahir dalam pembagian polinomial!

Semoga berhasil, dan selamat belajar! Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang kurang jelas. See you di pembahasan selanjutnya!