Kumpulan Soal Barisan Dan Deret Geometri + Pembahasannya

by ADMIN 57 views
Iklan Headers

Barisan dan deret geometri adalah materi penting dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai ujian. Buat kalian yang lagi belajar atau mau mempersiapkan diri menghadapi ujian, yuk simak kumpulan soal dan pembahasan barisan dan deret geometri berikut ini!

Apa Itu Barisan dan Deret Geometri?

Sebelum masuk ke soal-soal, kita refresh dulu yuk apa itu barisan dan deret geometri. Barisan geometri adalah urutan bilangan di mana setiap suku diperoleh dari suku sebelumnya dengan dikalikan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r).

Misalnya, barisan 2, 4, 8, 16,... adalah barisan geometri dengan rasio 2. Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Rumus umum untuk suku ke-n (Un) barisan geometri adalah:

Un = a * r^(n-1)

di mana:

  • a adalah suku pertama
  • r adalah rasio
  • n adalah nomor suku

Sementara itu, deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku dalam barisan geometri. Misalnya, deret dari barisan 2, 4, 8, 16,... adalah 2 + 4 + 8 + 16 + ... Rumus umum untuk jumlah n suku pertama (Sn) deret geometri adalah:

Sn = a(1 - r^n) / (1 - r), untuk r ≠ 1

atau

Sn = na, untuk r = 1

Oke, sekarang kita sudah ingat lagi konsep dasarnya. Mari kita lanjut ke contoh soal dan pembahasannya!

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Soal 1

Suku ke-3 suatu barisan geometri adalah 12 dan suku ke-6 adalah 96. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut.

Pembahasan:

  • Diketahui: U3 = 12, U6 = 96
  • Ditanya: a dan r

Kita gunakan rumus umum suku ke-n barisan geometri:

  • U3 = a * r^(3-1) = a * r^2 = 12 ... (1)
  • U6 = a * r^(6-1) = a * r^5 = 96 ... (2)

Bagi persamaan (2) dengan persamaan (1):

(a * r^5) / (a * r^2) = 96 / 12 r^3 = 8 r = 2

Substitusikan r = 2 ke persamaan (1):

a * 2^2 = 12 4a = 12 a = 3

Jadi, suku pertama (a) adalah 3 dan rasio (r) adalah 2.

Soal 2

Suku ke-2 suatu barisan geometri adalah 6 dan suku ke-5 adalah 162. Tentukan suku ke-8 barisan tersebut.

Pembahasan:

  • Diketahui: U2 = 6, U5 = 162
  • Ditanya: U8

Sama seperti soal sebelumnya, kita gunakan rumus umum suku ke-n:

  • U2 = a * r^(2-1) = a * r = 6 ... (1)
  • U5 = a * r^(5-1) = a * r^4 = 162 ... (2)

Bagi persamaan (2) dengan persamaan (1):

(a * r^4) / (a * r) = 162 / 6 r^3 = 27 r = 3

Substitusikan r = 3 ke persamaan (1):

a * 3 = 6 a = 2

Sekarang kita sudah tahu a = 2 dan r = 3. Kita bisa cari U8:

U8 = a * r^(8-1) = 2 * 3^7 = 2 * 2187 = 4374

Jadi, suku ke-8 barisan tersebut adalah 4374.

Soal 3

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku pertama 5 dan rasio 3. Tentukan suku ke-7 barisan tersebut.

Pembahasan:

  • Diketahui: a = 5, r = 3
  • Ditanya: U7

Langsung saja kita gunakan rumus umum:

U7 = a * r^(7-1) = 5 * 3^6 = 5 * 729 = 3645

Jadi, suku ke-7 barisan tersebut adalah 3645.

Contoh Soal dan Pembahasan Deret Geometri

Soal 1

Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret geometri 2 + 6 + 18 + ...

Pembahasan:

  • Diketahui: a = 2, r = 6/2 = 3, n = 6
  • Ditanya: S6

Kita gunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri:

Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)

S6 = 2(1 - 3^6) / (1 - 3) S6 = 2(1 - 729) / (-2) S6 = 2(-728) / (-2) S6 = 728

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah 728.

Soal 2

Jumlah 5 suku pertama suatu deret geometri adalah 93. Jika rasio deret tersebut adalah 2, tentukan suku pertama deret tersebut.

Pembahasan:

  • Diketahui: S5 = 93, r = 2, n = 5
  • Ditanya: a

Kita gunakan rumus jumlah n suku pertama:

Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)

93 = a(1 - 2^5) / (1 - 2) 93 = a(1 - 32) / (-1) 93 = a(-31) / (-1) 93 = 31a a = 93 / 31 a = 3

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 3.

Soal 3

Suatu deret geometri mempunyai suku pertama 4 dan rasio 3. Jika jumlah deret tersebut adalah 484, tentukan banyaknya suku dalam deret tersebut.

Pembahasan:

  • Diketahui: a = 4, r = 3, Sn = 484
  • Ditanya: n

Kita gunakan rumus jumlah n suku pertama:

Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)

484 = 4(1 - 3^n) / (1 - 3) 484 = 4(1 - 3^n) / (-2) 484 * (-2) = 4(1 - 3^n) -968 = 4 - 4 * 3^n -972 = -4 * 3^n 243 = 3^n 3^5 = 3^n n = 5

Jadi, banyaknya suku dalam deret tersebut adalah 5.

Soal-soal Latihan Tambahan

Nah, biar makin mantap, coba kerjakan soal-soal latihan tambahan berikut ini ya:

  1. Suku ke-4 suatu barisan geometri adalah 54 dan suku ke-7 adalah 1458. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut.
  2. Jumlah 8 suku pertama suatu deret geometri adalah 1785. Jika suku pertama deret tersebut adalah 3, tentukan rasio deret tersebut.
  3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 12 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai berhenti memantul.

(Tips: Soal nomor 3 ini adalah aplikasi deret geometri tak hingga. Coba ingat-ingat lagi rumusnya ya!)

Penutup

Itu dia kumpulan soal dan pembahasan barisan dan deret geometri. Gimana, guys? Semoga penjelasan ini mudah dipahami dan bisa membantu kalian dalam belajar ya. Jangan lupa, matematika itu butuh banyak latihan. Semakin sering kalian mengerjakan soal, semakin terlatih juga kemampuan kalian. Semangat terus belajarnya!

Jika ada pertanyaan atau kesulitan dalam mengerjakan soal-soal lain, jangan ragu untuk bertanya ya. Kalian juga bisa mencari referensi lain di internet atau buku-buku pelajaran. Good luck!