Kupas Tuntas Soal TKA Matematika Level Menengah: Solusi Jitu & Pembahasan Lengkap!

Guys, kali ini kita akan bedah soal TKA (Tes Kemampuan Akademik) matematika level menengah yang sering muncul. Jangan khawatir, kita akan bahas dengan santai dan mudah dipahami, lengkap dengan solusi jitu dan trik-triknya. Penasaran kan? Yuk, langsung saja kita mulai!

Memahami Soal: $(g \circ f)(x)=4x^2+12x-7$ dan $g(x)=x^2-2$, maka $f(x+1)=$

Soal ini adalah tipe soal komposisi fungsi yang sering banget muncul di ujian masuk perguruan tinggi. Kuncinya adalah memahami konsep komposisi fungsi dan bagaimana cara memanipulasi persamaan yang ada. Jangan panik dulu kalau lihat soalnya panjang, kita pecah jadi bagian-bagian kecil biar lebih gampang. Mari kita mulai dengan memahami apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan.

Apa yang Diketahui?

• $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x - 7$: Ini adalah komposisi fungsi g dan f. Artinya, fungsi f dimasukkan ke dalam fungsi g.
• $g(x) = x^2 - 2$: Ini adalah fungsi g yang kita ketahui.

Apa yang Ditanyakan?

• $f(x+1) = ?$ : Kita diminta mencari nilai dari fungsi f jika argumennya adalah $(x+1)$.

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Mencari f(x): Langkah pertama adalah mencari fungsi f(x) terlebih dahulu. Kita punya $(g \circ f)(x)$, yang artinya $g(f(x))$. Kita substitusi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.

   • Karena $g(x) = x^2 - 2$, maka $g(f(x)) = (f(x))^2 - 2$.
   • Kita tahu bahwa $g(f(x)) = 4x^2 + 12x - 7$. Jadi, kita bisa tulis: $(f(x))^2 - 2 = 4x^2 + 12x - 7$.
   • Kemudian, kita tambahkan 2 ke kedua sisi persamaan: $(f(x))^2 = 4x^2 + 12x - 5$.
   • Nah, sekarang kita perlu mencari bentuk $f(x)$ dengan cara mengakarkan persamaan di atas. Tapi, sebelum itu, kita coba ubah bentuk $4x^2 + 12x - 5$ agar lebih mudah diakarkan.

2. Memanipulasi Persamaan: Perhatikan bentuk $4x^2 + 12x$. Kita bisa mencoba untuk menyusunnya menjadi bentuk kuadrat sempurna. Perhatikan bahwa $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$. Hampir sama, kan?

   • Kita bisa tulis $4x^2 + 12x - 5$ sebagai $(4x^2 + 12x + 9) - 14$.
   • Ini sama dengan $(2x + 3)^2 - 14$.
   • Jadi, $(f(x))^2 = (2x + 3)^2 - 14$.

3. Mencari f(x) dengan Sedikit Trik: Nah, kalau kita langsung akarkan persamaan di atas, hasilnya akan sedikit rumit karena ada $-14$. Tapi, kita bisa menggunakan pendekatan lain. Perhatikan pilihan jawaban yang ada (A. $x+4$, B. $x+5$, C. $2x+3$, D. $2x+5$, E. $2x+4$). Kita bisa mencoba mensubstitusi pilihan jawaban ke dalam persamaan komposisi fungsi yang diketahui.

   • Coba-coba dengan pilihan C ($2x+3$): Jika $f(x) = 2x + 3$, maka $g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 2 = 4x^2 + 12x + 9 - 2 = 4x^2 + 12x + 7$. Hampir sama, tapi beda di konstanta.
   • Perhatikan Perbedaan Konstanta: Perbedaan konstanta ini penting. Kita tahu $g(f(x)) = 4x^2 + 12x - 7$. Jika kita mengubah sedikit bentuk $f(x)$ agar sesuai, kita bisa dapatkan jawabannya.
   • Karena $(2x+3)^2-2 = 4x^2+12x+7$, sedangkan $(g \circ f)(x)=4x^2+12x-7$, maka untuk mendapatkan -7, kita harus mengurangi 14 dari 7. Sehingga f(x) = 2x+3-4=2x-1. Tapi, karena soal meminta f(x+1), maka kita substitusikan x+1 ke f(x), yaitu 2(x+1) - 1 = 2x+1. Tetapi, tidak ada jawaban yang sesuai, sehingga kita perlu melakukan pengecekan ulang.

4. Pengecekan Ulang dan Koreksi: Mari kita perbaiki pendekatan kita. Kita punya $(f(x))^2 = 4x^2 + 12x - 5$. Kita bisa coba memfaktorkan bentuk kuadrat di ruas kanan.

   • $4x^2 + 12x - 5$ bisa difaktorkan menjadi $(2x + 5)(2x - 1)$.
   • Oleh karena itu, $f(x)$ bisa jadi adalah $\sqrt{(2x + 5)(2x - 1)}$. Tapi, karena kita mencari $f(x+1)$ dan jawabannya berbentuk linear, kemungkinan ada kesalahan perhitungan atau asumsi awal. Mari kita kembali ke langkah manipulasi persamaan.

5. Pendekatan yang Lebih Tepat: Kembali ke $g(f(x)) = (f(x))^2 - 2 = 4x^2 + 12x - 7$.

   • Tambahkan 2 ke kedua sisi: $(f(x))^2 = 4x^2 + 12x - 5$.
   • Kita tahu $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$. Maka, kita bisa tulis: $4x^2 + 12x - 5 = (2x + 3)^2 - 14$.
   • Sehingga, kita bisa berasumsi bahwa $f(x)$ berkaitan dengan $2x + 3$. Mari kita coba substitusi $f(x) = 2x + k$ ke dalam $g(f(x))$.
   • $g(2x + k) = (2x + k)^2 - 2 = 4x^2 + 4kx + k^2 - 2$.
   • Kita ingin ini sama dengan $4x^2 + 12x - 7$. Maka, $4k = 12$ dan $k^2 - 2 = -7$.
   • Dari $4k = 12$, kita dapat $k = 3$. Tapi, jika $k = 3$, maka $k^2 - 2 = 9 - 2 = 7$, bukan -7. Ada yang salah.

6. Memperbaiki Kesalahan: Kita kembali ke persamaan awal: $(f(x))^2 - 2 = 4x^2 + 12x - 7$.

   • Tambahkan 2: $(f(x))^2 = 4x^2 + 12x - 5$.
   • Kita tahu $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$. Jadi, $(f(x))^2$ sedikit berbeda.
   • Coba kita ubah sedikit: $4x^2 + 12x - 5 = 4x^2 + 12x + 9 - 14 = (2x + 3)^2 - 14$.
   • Jadi, kita tidak bisa langsung mencari $f(x)$ dalam bentuk linear. Perlu pendekatan lain.
   • Mari kita perhatikan pilihan jawaban lagi. Kita ingin mencari $f(x+1)$.
   • Jika f(x) = 2x + k: Maka $f(x+1) = 2(x+1) + k = 2x + 2 + k$.
   • Coba kita lihat pilihan jawaban: C. $2x + 3$, D. $2x + 5$, E. $2x + 4$.
   • Jika $f(x+1) = 2x + 3$, maka $k = 1$. Tapi, kita belum tahu nilai $f(x)$.
   • Mari kita coba pendekatan dengan mensubstitusi nilai x tertentu. Misalnya, x = 0.
   • Jika x = 0, maka $(g \circ f)(0) = -7$. Dan $g(x) = x^2 - 2$.
   • Kita cari $f(0)$: $g(f(0)) = (f(0))^2 - 2 = -7$. Jadi, $(f(0))^2 = -5$. Tidak mungkin!
   • Kemungkinan ada kesalahan soal atau perlu pendekatan lain.
   • Mencoba Pilihan Jawaban: Coba kita substitusi balik pilihan jawaban ke persamaan.
   • C. Jika $f(x+1) = 2x + 3$, maka $f(x) = 2(x-1) + 3 = 2x + 1$. Maka, $g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2 - 2 = 4x^2 + 4x + 1 - 2 = 4x^2 + 4x - 1$. Tidak cocok.
   • D. Jika $f(x+1) = 2x + 5$, maka $f(x) = 2(x-1) + 5 = 2x + 3$. Maka, $g(f(x)) = g(2x+3) = (2x+3)^2 - 2 = 4x^2 + 12x + 9 - 2 = 4x^2 + 12x + 7$. Hampir cocok!
   • E. Jika $f(x+1) = 2x + 4$, maka $f(x) = 2(x-1) + 4 = 2x + 2$. Maka, $g(f(x)) = g(2x+2) = (2x+2)^2 - 2 = 4x^2 + 8x + 4 - 2 = 4x^2 + 8x + 2$. Tidak cocok.

7. Kesimpulan: Setelah pengecekan, pilihan D ($2x + 5$) memberikan hasil yang paling mendekati, meskipun masih belum sepenuhnya sesuai. Perlu diingat bahwa dalam soal TKA, kadang-kadang terdapat sedikit