Latihan Soal Turunan Fungsi: Definisi Dan Contoh Soal

Hay guys! Siapa di sini yang lagi belajar matematika? Pasti lagi ketemu sama yang namanya turunan fungsi, kan? Nah, kali ini kita bakal bahas soal latihan turunan fungsi yang sering banget muncul. Kita akan kupas tuntas cara menentukan turunan menggunakan definisi turunan. Jadi, buat kalian yang masih bingung, yuk simak baik-baik!

Apa Itu Definisi Turunan?

Sebelum kita masuk ke soal latihan, penting banget buat kita pahami dulu apa sih definisi turunan itu. Secara sederhana, turunan fungsi di suatu titik itu adalah kemiringan garis singgung kurva fungsi di titik tersebut. Bayangin aja kita punya kurva yang meliuk-liuk, nah turunan ini ngasih tau seberapa curam sih kurva itu di titik tertentu.

Secara matematis, definisi turunan fungsi f(x) di titik x adalah:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Kelihatan rumit ya? Jangan khawatir, guys! Intinya sih kita mencari selisih nilai fungsi di dua titik yang berdekatan banget (x dan x + h), terus dibagi sama selisih jarak antara dua titik itu (h), dan kita ambil limitnya saat h mendekati nol. Nah, hasil limit inilah yang disebut turunan fungsi.

Kenapa sih kita perlu definisi turunan ini? Karena definisi ini adalah fondasi dari semua aturan turunan yang lebih kompleks. Jadi, dengan memahami definisi ini, kita akan lebih mudah memahami konsep turunan secara keseluruhan. Selain itu, ada beberapa fungsi yang turunannya lebih mudah dicari menggunakan definisi daripada menggunakan aturan turunan biasa. Jadi, penting banget buat kita kuasai!

Oke, sekarang kita udah punya gambaran tentang definisi turunan. Selanjutnya, kita akan bahas soal-soal latihan dan lihat gimana sih cara menggunakan definisi ini untuk mencari turunan fungsi. Siap?

Soal Latihan 1: f(x) = x² + 5t

Ini dia soal pertama kita: f(x) = x² + 5t. Nah, di soal ini, kita diminta buat nyari turunan fungsi f(x) ini menggunakan definisi turunan. Gimana caranya? Yuk, kita pecahkan sama-sama!

Langkah 1: Tulis definisi turunan

Seperti yang udah kita bahas sebelumnya, definisi turunan itu adalah:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Langkah 2: Cari f(x + h)

Selanjutnya, kita perlu cari nilai f(x + h). Caranya, kita ganti setiap x di fungsi f(x) dengan (x + h). Jadi, kita punya:

f(x + h) = (x + h)² + 5t

Jangan lupa, kita perlu jabarin (x + h)² ini. Ingat rumus (a + b)² = a² + 2ab + b², ya! Jadi:

f(x + h) = x² + 2xh + h² + 5t

Langkah 3: Masukkan ke definisi turunan

Sekarang, kita udah punya f(x + h) dan f(x). Kita bisa masukkin ini ke definisi turunan:

f'(x) = lim (h -> 0) [(x² + 2xh + h² + 5t) - (x² + 5t)] / h

Perhatikan ada beberapa suku yang bisa saling menghilangkan (x² dan 5t). Jadi, kita sederhanakan:

f'(x) = lim (h -> 0) [2xh + h²] / h

Langkah 4: Sederhanakan dan cari limit

Di sini, kita bisa keluarin h sebagai faktor persekutuan di pembilang:

f'(x) = lim (h -> 0) h(2x + h) / h

Terus, kita bisa coret h di pembilang dan penyebut:

f'(x) = lim (h -> 0) (2x + h)

Nah, sekarang kita tinggal cari limitnya saat h mendekati 0. Artinya, kita ganti h dengan 0:

f'(x) = 2x + 0 = 2x

Jadi, turunan dari f(x) = x² + 5t adalah f'(x) = 2x. Gimana, guys? Gampang kan?

Catatan Penting: Perhatikan bahwa 5t adalah konstanta karena tidak mengandung variabel x. Turunan dari konstanta adalah 0. Inilah mengapa 5t menghilang saat kita menghitung f'(x).

Soal Latihan 2: f(x) = 5x² + 10x - 1

Lanjut ke soal berikutnya, f(x) = 5x² + 10x - 1. Soal ini sedikit lebih kompleks, tapi tenang aja, kita bakal pecahkan langkah demi langkah seperti sebelumnya.

Langkah 1: Tulis definisi turunan

Seperti biasa, kita mulai dengan menuliskan definisi turunan:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Langkah 2: Cari f(x + h)

Sekarang, kita cari f(x + h) dengan mengganti x di f(x) dengan (x + h):

f(x + h) = 5(x + h)² + 10(x + h) - 1

Jangan lupa jabarin (x + h)² dan kali masuk 10 ke dalam (x + h):

f(x + h) = 5(x² + 2xh + h²) + 10x + 10h - 1

f(x + h) = 5x² + 10xh + 5h² + 10x + 10h - 1

Langkah 3: Masukkan ke definisi turunan

Kita masukkin f(x + h) dan f(x) ke definisi turunan:

f'(x) = lim (h -> 0) [(5x² + 10xh + 5h² + 10x + 10h - 1) - (5x² + 10x - 1)] / h

Sederhanakan dengan menghilangkan suku-suku yang sama:

f'(x) = lim (h -> 0) [10xh + 5h² + 10h] / h

Langkah 4: Sederhanakan dan cari limit

Keluarin h sebagai faktor persekutuan di pembilang:

f'(x) = lim (h -> 0) h(10x + 5h + 10) / h

Coret h di pembilang dan penyebut:

f'(x) = lim (h -> 0) (10x + 5h + 10)

Ganti h dengan 0 untuk mencari limit:

f'(x) = 10x + 5(0) + 10 = 10x + 10

Jadi, turunan dari f(x) = 5x² + 10x - 1 adalah f'(x) = 10x + 10. Udah mulai makin paham kan, guys?

Soal Latihan 3: f(t) = t³ + 2t² + 1

Soal terakhir nih! Kali ini fungsinya dalam variabel t: f(t) = t³ + 2t² + 1. Prosesnya sama aja kok, cuma variabelnya aja yang beda.

Langkah 1: Tulis definisi turunan

Ingat, definisi turunan sekarang dalam variabel t:

f'(t) = lim (h -> 0) [f(t + h) - f(t)] / h

Langkah 2: Cari f(t + h)

Ganti t di f(t) dengan (t + h):

f(t + h) = (t + h)³ + 2(t + h)² + 1

Kita perlu jabarin (t + h)³ dan (t + h)². Ingat rumus (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ dan (a + b)² = a² + 2ab + b²:

f(t + h) = t³ + 3t²h + 3th² + h³ + 2(t² + 2th + h²) + 1

f(t + h) = t³ + 3t²h + 3th² + h³ + 2t² + 4th + 2h² + 1

Langkah 3: Masukkan ke definisi turunan

Masukin f(t + h) dan f(t) ke definisi turunan:

f'(t) = lim (h -> 0) [(t³ + 3t²h + 3th² + h³ + 2t² + 4th + 2h² + 1) - (t³ + 2t² + 1)] / h

Sederhanakan:

f'(t) = lim (h -> 0) [3t²h + 3th² + h³ + 4th + 2h²] / h

Langkah 4: Sederhanakan dan cari limit

Keluarin h sebagai faktor persekutuan:

f'(t) = lim (h -> 0) h(3t² + 3th + h² + 4t + 2h) / h

Coret h:

f'(t) = lim (h -> 0) (3t² + 3th + h² + 4t + 2h)

Ganti h dengan 0:

f'(t) = 3t² + 3t(0) + (0)² + 4t + 2(0) = 3t² + 4t

Jadi, turunan dari f(t) = t³ + 2t² + 1 adalah f'(t) = 3t² + 4t. Mantap!

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, pembahasan soal latihan turunan fungsi menggunakan definisi turunan. Memang kelihatannya agak panjang dan ribet, tapi kalau kita ikutin langkah-langkahnya dengan teliti, pasti bisa kok. Ingat, kunci dari memahami turunan adalah latihan yang konsisten. Semakin banyak soal yang kalian kerjakan, semakin paham kalian dengan konsepnya.

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian ya! Jangan lupa, matematika itu asyik kok, asalkan kita mau belajar dan berusaha. Semangat terus belajarnya, guys! Sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!