Lingkaran Dan Garis Singgung: Soal & Pembahasan Lengkap

Hey guys! Kali ini kita bakal bahas soal seru tentang lingkaran dan garis singgung. Soal ini sering banget muncul di ujian, jadi penting banget buat kita kuasai. Kita akan bedah soalnya step-by-step biar kalian semua paham konsepnya dan bisa ngerjain soal serupa dengan mudah. Yuk, langsung aja kita mulai!

Soal Lingkaran dan Garis Singgung

Diketahui persamaan lingkaran L adalah $x^2+ y^2 + 4x-8y-5=0$ dan persamaan garis h adalah $3x + 4y-15=0$. Garis g sejajar garis h dan menyinggung lingkaran L. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan Benar atau Salah untuk setiap pernyataan terkait garis g dan lingkaran L tersebut.

Soal ini kelihatan agak kompleks ya, tapi jangan panik dulu! Kita pecah jadi bagian-bagian kecil biar lebih gampang. Intinya, kita punya lingkaran L, garis h, dan garis g yang sejajar dengan h dan menyinggung L. Tugas kita adalah menentukan kebenaran pernyataan-pernyataan tentang hubungan antara garis g dan lingkaran L.

Memahami Konsep Dasar

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada beberapa konsep dasar yang perlu kita pahami dulu, guys. Ini penting banget buat jadi bekal kita ngerjain soal-soal lingkaran dan garis singgung:

• Persamaan Lingkaran: Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a, b)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jarinya. Kita juga bisa punya bentuk umum yang lain, yaitu $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. Nah, dari bentuk umum ini, kita bisa cari pusat lingkaran dengan rumus $(-A/2, -B/2)$ dan jari-jarinya dengan rumus $r = \sqrt{(A/2)^2 + (B/2)^2 - C}$.
• Garis Singgung Lingkaran: Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Ada beberapa cara buat menentukan persamaan garis singgung, tergantung informasi yang kita punya. Misalnya, kalau kita tahu gradien garis singgung, kita bisa pakai rumus $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}$, di mana $m$ adalah gradien dan $r$ adalah jari-jari lingkaran.
• Garis Sejajar: Dua garis dikatakan sejajar kalau mereka punya gradien yang sama. Jadi, kalau kita tahu persamaan garis h, kita bisa langsung tahu gradien garis g yang sejajar dengan h.
• Jarak Titik ke Garis: Rumus jarak titik $(x_1, y_1)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Rumus ini penting banget buat nyari jarak antara pusat lingkaran ke garis singgung.

Penting: Konsep-konsep di atas ini adalah kunci utama buat menyelesaikan soal ini. Jadi, pastikan kalian benar-benar paham ya!

Langkah-Langkah Penyelesaian

Oke, sekarang kita siap buat ngerjain soalnya. Berikut adalah langkah-langkah yang bisa kita ikuti:

1. Tentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran L: Dari persamaan lingkaran $x^2+ y^2 + 4x-8y-5=0$, kita bisa tentukan nilai A, B, dan C. Lalu, kita pakai rumus yang tadi udah kita bahas buat cari pusat dan jari-jari lingkaran.

   • $A = 4$
   • $B = -8$
   • $C = -5$

   Pusat lingkaran: $(-A/2, -B/2) = (-4/2, -(-8)/2) = (-2, 4)$

   Jari-jari lingkaran: $r = \sqrt{(A/2)^2 + (B/2)^2 - C} = \sqrt{(4/2)^2 + (-8/2)^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = \sqrt{25} = 5$

   Jadi, pusat lingkaran L adalah (-2, 4) dan jari-jarinya adalah 5.

2. Tentukan Gradien Garis h dan Garis g: Karena garis g sejajar dengan garis h, mereka punya gradien yang sama. Kita ubah dulu persamaan garis h $3x + 4y - 15 = 0$ ke bentuk $y = mx + c$ buat cari gradiennya.

   $4y = -3x + 15$

   $y = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4}$

   Dari sini, kita tahu bahwa gradien garis h adalah $-3/4$. Karena garis g sejajar dengan h, maka gradien garis g juga -3/4.

3. Tentukan Persamaan Garis g: Kita udah tahu gradien garis g, tapi kita belum tahu persamaan lengkapnya. Karena garis g menyinggung lingkaran L, maka jarak dari pusat lingkaran ke garis g harus sama dengan jari-jari lingkaran. Kita pakai rumus jarak titik ke garis yang tadi udah kita bahas.

   Misalkan persamaan garis g adalah $3x + 4y + C = 0$ (kita pakai koefisien x dan y yang sama dengan garis h karena mereka sejajar). Kita cari nilai C dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis:

   $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

   $5 = \frac{|3(-2) + 4(4) + C|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$

   $5 = \frac{|-6 + 16 + C|}{\sqrt{25}}$

   $5 = \frac{|10 + C|}{5}$

   $25 = |10 + C|$

   Dari sini, kita dapat dua kemungkinan nilai C:

   • $10 + C = 25$, maka $C = 15$
   • $10 + C = -25$, maka $C = -35$

   Jadi, kita punya dua kemungkinan persamaan garis g:

   • $g_1: 3x + 4y + 15 = 0$
   • $g_2: 3x + 4y - 35 = 0$

4. Analisis Pernyataan-Pernyataan: Nah, sekarang kita udah punya semua informasi yang kita butuhkan. Kita bisa analisis pernyataan-pernyataan yang diberikan di soal dan tentukan apakah pernyataan tersebut benar atau salah. Ini bagian yang paling penting, guys! Pastikan kalian teliti dan hati-hati dalam menganalisis setiap pernyataan.

Contoh Analisis Pernyataan

Misalnya, ada pernyataan seperti ini: "Garis g memotong sumbu y di titik (0, -3.75)". Untuk membuktikan pernyataan ini benar atau salah, kita bisa substitusikan x = 0 ke persamaan garis g dan cari nilai y nya.

Kita ambil salah satu persamaan garis g, misalnya $3x + 4y + 15 = 0$:

$3(0) + 4y + 15 = 0$

$4y = -15$

$y = -15/4 = -3.75$

Karena kita dapat y = -3.75, maka garis g memotong sumbu y di titik (0, -3.75). Jadi, pernyataan ini BENAR.

Tips: Ulangi langkah ini untuk semua pernyataan yang diberikan di soal.

Kesimpulan

Guys, menyelesaikan soal lingkaran dan garis singgung memang butuh pemahaman konsep yang kuat dan ketelitian dalam perhitungan. Tapi, dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa! Ingat, kunci utamanya adalah memahami konsep dasar, mengikuti langkah-langkah penyelesaian dengan sistematis, dan teliti dalam menganalisis setiap pernyataan.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan atau kesulitan, jangan ragu buat tanya di kolom komentar. Semangat terus belajarnya! 😉