Lingkaran $x^2+y^2-6x+8y+k=0$: Titik & Jari-jari

$$

Oke guys, kali ini kita bakal ngulik soal lingkaran yang kayaknya sering banget muncul di soal-soal matematika. Kita punya persamaan lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$, dan ada titik spesial nih, yaitu $(-3, 4)$, yang katanya terletak pada lingkaran tersebut. Nah, dari informasi ini, kita diminta buat ngecek beberapa pernyataan yang ada. Yuk, kita bedah satu-satu biar makin paham!

Memahami Persamaan Lingkaran dan Titik yang Dilalui

Nah, inti dari soal ini adalah gimana kita memahami konsep persamaan lingkaran dan apa artinya sebuah titik itu terletak pada lingkaran. Persamaan umum lingkaran itu kan kayak gini, $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a, b)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jarinya. Bentuk yang dikasih di soal, $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$, itu adalah bentuk umum lain dari persamaan lingkaran. Bedanya, pusat dan jari-jarinya nggak langsung kelihatan. Kita perlu sedikit 'manipulasi' biar bentuknya jadi kayak yang pertama tadi.

Terus, apa sih artinya titik $(-3, 4)$ itu terletak pada lingkaran? Gampang aja, guys. Artinya, kalau kita masukin nilai $x = -3$ dan $y = 4$ ke dalam persamaan lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$, maka persamaan itu akan benar-benar terpenuhi. Nilai $k$ itu semacam 'angka rahasia' yang bikin lingkaran itu punya ukuran dan posisi tertentu. Nah, karena titik $(-3, 4)$ ada di 'tepi' lingkaran, dia harus cocok sama persamaannya.

Jadi, langkah pertama yang paling logis adalah kita substitusi titik $(-3, 4)$ ini ke dalam persamaan lingkaran. Ini bakal jadi kunci buat kita nemuin nilai $k$. Siapin catatan dan pulpen ya, biar nggak ketinggalan detailnya. Ingat, di matematika, detail itu penting banget!

Pernyataan (1): Nilai $k = -75$

Nah, kita mulai nih sama pernyataan pertama. Katanya, nilai $k$ itu adalah -75. Gimana cara ngeceknya? Gampang banget, guys. Kita pakai informasi yang udah kita dapetin tadi: titik $(-3, 4)$ terletak pada lingkaran. Artinya, kalau kita masukin $x = -3$ dan $y = 4$ ke dalam persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$, hasilnya harus benar.

Yuk, kita coba substitusi:

$(-3)^2 + (4)^2 - 6(-3) + 8(4) + k = 0$

Kita hitung satu-satu ya:

$9 + 16 - (-18) + 32 + k = 0$

$9 + 16 + 18 + 32 + k = 0$

Sekarang kita jumlahin angka-angkanya:

$25 + 18 + 32 + k = 0$

$43 + 32 + k = 0$

$75 + k = 0$

Nah, dari sini kita bisa dapetin nilai $k$ nya:

$k = -75$

Wih! Ternyata pernyataan pertama benar, guys! Nilai $k$ memang -75. Keren kan? Satu poin berhasil kita taklukkan.

Pernyataan (3): Pusat Lingkaran adalah $(3, -4)$

Sekarang kita lanjut ke pernyataan ketiga. Katanya, pusat lingkaran itu ada di titik $(3, -4)$. Gimana cara ngeceknya? Kita perlu mengubah bentuk persamaan lingkaran yang tadi $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$ jadi bentuk standar $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Proses ini biasa disebut melengkapkan kuadrat sempurna.

Kita udah tahu nih kalau $k = -75$. Jadi, persamaannya jadi:

$x^2 + y^2 - 6x + 8y - 75 = 0$

Sekarang, kita kelompokin suku-suku yang punya $x$ dan yang punya $y$:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 75$

Biar jadi kuadrat sempurna, kita perlu nambahin angka tertentu di dalam kurung. Untuk suku $(x^2 - 6x)$, kita ambil koefisien dari $x$ yaitu $-6$, bagi dua jadi $-3$, terus kuadratin jadi $(-3)^2 = 9$. Untuk suku $(y^2 + 8y)$, kita ambil koefisien dari $y$ yaitu $8$, bagi dua jadi $4$, terus kuadratin jadi $4^2 = 16$.

Karena kita nambahin $9$ dan $16$ di sisi kiri, kita juga harus nambahin di sisi kanan biar persamaannya seimbang:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 75 + 9 + 16$

Sekarang, kita ubah bentuk dalam kurung jadi kuadrat sempurna:

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 100$

Nah, lihat bentuk ini. Bandingin sama $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Jelas banget dong kalau:

• $a = 3$
• $b = -4$ (karena $y+4$ sama dengan $y - (-4)$)
• $r^2 = 100$

Jadi, pusat lingkarannya adalah $(a, b) = (3, -4)$.

Yes! Pernyataan ketiga juga benar! Ternyata pusat lingkarannya memang di $(3, -4)$. Keren banget ya prosesnya.

Pernyataan (2): Jari-jari Lingkaran adalah 10

Setelah kita berhasil ngubah persamaan jadi bentuk standar $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 100$, kita bisa langsung lihat jari-jarinya. Ingat, di bentuk standar itu $r^2$ adalah angka di sisi kanan persamaan.

Di kasus kita, $r^2 = 100$.

Untuk dapetin jari-jarinya, kita tinggal akarin angka $100$ itu:

$r = \sqrt{100}$

$r = 10$

Boom! Pernyataan kedua juga benar! Jadi, jari-jari lingkaran ini adalah $10$. Mantap jiwa!

Pernyataan (4): Lingkaran juga melalui titik $(11, -7)$?

Sekarang kita sampai di pernyataan terakhir, guys. Katanya, lingkaran juga melalui titik $(11, -7)$. Gimana cara ngeceknya? Sama kayak langkah awal kita tadi, kita tinggal masukin aja koordinat titik ini ke dalam persamaan lingkaran yang udah kita punya. Kalau hasilnya benar (artinya, $x^2 + y^2 - 6x + 8y + k = 0$ terpenuhi), berarti titik itu memang ada di lingkarannya.

Kita udah tahu persamaannya kalau $k = -75$, atau dalam bentuk standar $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 100$. Kita pakai bentuk standar aja biar lebih gampang.

Sekarang, kita substitusi titik $(11, -7)$ ke dalam persamaan $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 100$:

$(11 - 3)^2 + (-7 + 4)^2 = ?$

$(8)^2 + (-3)^2 = ?$

$64 + 9 = ?$

$73 = ?$

Nah, kita lihat. Hasilnya adalah $73$. Sedangkan yang kita harapkan di persamaan standar adalah $100$. Karena $73 \neq 100$, berarti titik $(11, -7)$ itu tidak terletak pada lingkaran tersebut, guys.

Jadi, pernyataan keempat ini salah.

Kesimpulan Akhir

Oke, guys, setelah kita bedah satu-satu:

• Pernyataan (1) Nilai $k = -75$ -> BENAR
• Pernyataan (2) Jari-jari lingkaran adalah 10 -> BENAR
• Pernyataan (3) Pusat lingkaran adalah $(3, -4)$ -> BENAR
• Pernyataan (4) Lingkaran juga melalui titik $(11, -7)$ -> SALAH

Gimana? Gampang kan kalau udah tahu caranya? Kunci utamanya ada di memahami konsep substitusi titik ke persamaan dan cara melengkapkan kuadrat sempurna untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran. Semoga penjelasan ini bikin kalian makin pede ya ngerjain soal-soal matematika lainnya! Semangat terus belajarnya!