Logaritma ^2log 245: Hitung Cepat Dan Mudah!

Halo, guys! Gimana kabarnya? Semoga selalu sehat dan semangat ya buat belajar, terutama buat kalian yang lagi ngadepin soal-soal matematika yang kadang bikin pusing tujuh keliling. Kali ini, kita bakal ngebahas tuntas salah satu topik yang sering banget muncul di ujian, yaitu tentang logaritma. Khususnya, kita akan fokus pada cara mencari nilai dari $^2 ight.log 245$ ketika diketahui dua informasi penting: $^7 ight.log 5 = m$ dan $^5 ight.log 4 = n$. Siap-siap ya, karena kita akan bongkar triknya biar soal ini jadi gampang banget!

Memahami Konsep Dasar Logaritma

Sebelum kita terjun langsung ke soalnya, penting banget nih buat nyegerin ingatan kita tentang apa sih logaritma itu. Sederhananya, logaritma itu kebalikan dari perpangkatan. Kalau kita punya $a^b = c$, maka dalam bentuk logaritma itu jadi $^a ight.log c = b$. Gampang kan? Nah, dalam soal kita ini, kita punya informasi $^7 ight.log 5 = m$. Ini artinya, 7 dipangkatkan dengan nilai tertentu (yaitu $m$) hasilnya adalah 5. Atau bisa ditulis $7^m = 5$. Terus, kita juga punya $^5 ight.log 4 = n$, yang artinya 5 dipangkatkan dengan nilai $n$ hasilnya adalah 4, atau $5^n = 4$.

Yang perlu kita cari adalah nilai dari $^2 ight.log 245$. Pertanyaannya, kok tiba-tiba ada angka 2 dan 245 di sini, sementara informasi yang dikasih itu angka 7, 5, 4, dan angka-angka basis logaritma yang berbeda? Nah, di sinilah serunya mainan logaritma, guys. Kita harus pinter-pinter mengubah basis logaritma dan memecah angka biar nyambung sama informasi yang udah ada. Sifat-sifat logaritma itu kayak kunci rahasia yang bisa buka semua pintu soal ini. Misalnya, ada sifat ^a ight.log b = rac{^c ight.log b}{^c ight.log a} yang sering banget dipakai buat mengubah basis logaritma. Terus ada juga sifat $^a ight.log (b imes c) = ^a ight.log b + ^a ight.log c$ dan $^a ight.log (b^c) = c imes ^a ight.log b$. Pokoknya, siapin catatan biar nggak lupa sama sifat-sifat sakti ini ya!

Menguraikan Angka 245 dan Mencari Hubungan

Oke, sekarang kita mulai serius nih. Kita punya target $^2 ight.log 245$. Angka 245 itu gede banget ya? Coba kita pecah dulu jadi faktor-faktor prima. Gampang kok, 245 itu kan bisa dibagi 5, hasilnya 49. Nah, 49 itu kan 7 kuadrat. Jadi, 245 itu sama dengan $5 imes 7^2$. Nah, ini udah mulai kelihatan hubungannya sama informasi yang dikasih, kan? Kita punya angka 5 dan angka 7 di sini. Sekarang, kita bisa ubah soal kita jadi $^2 ight.log (5 imes 7^2)$. Dengan pakai sifat logaritma yang penjumlahan tadi, ini bisa kita pecah jadi $^2 ight.log 5 + ^2 ight.log (7^2)$. Dan lebih lanjut lagi, pakai sifat pangkat, jadi $^2 ight.log 5 + 2 imes ^2 ight.log 7$.

Nah, sekarang masalahnya adalah kita punya $^2 ight.log 5$ dan $^2 ight.log 7$, tapi informasi yang dikasih itu basisnya 7 dan 5, bukan 2. Gimana dong? Tenang, jangan panik dulu. Ingat lagi sifat perubahan basis logaritma. Kita bisa pakai itu buat mengubah basis yang kita punya jadi basis 2, atau sebaliknya. Tapi sebelum itu, coba kita lihat dulu informasi yang dikasih: $^7 ight.log 5 = m$ dan $^5 ight.log 4 = n$. Dua informasi ini kayak dua keping puzzle yang siap disambung. Kalau kita perhatiin, angka 5 muncul di kedua informasi itu. Ini bisa jadi jembatan kita.

Kita tahu kalau $^7 ight.log 5 = m$. Kalau kita mau ubah ke basis 2, kita bisa pakai rumus: ^7 ight.log 5 = rac{^2 ight.log 5}{^2 ight.log 7}. Jadi, m = rac{^2 ight.log 5}{^2 ight.log 7}. Dari sini, kita bisa dapat hubungan antara $^2 ight.log 5$ dan $^2 ight.log 7$. Tapi, ini masih melibatkan dua variabel yang belum kita tahu nilainya. Gimana kalau kita coba utak-atik informasi yang kedua? Kita punya $^5 ight.log 4 = n$. Angka 4 itu kan 2 kuadrat, jadi $^5 ight.log (2^2) = n$. Pakai sifat pangkat, jadi $2 imes ^5 ight.log 2 = n$. Nah, dari sini kita bisa dapetin ^5 ight.log 2 = rac{n}{2}.

Ingat, kita mau cari $^2 ight.log 245$ yang tadi sudah kita pecah jadi $^2 ight.log 5 + 2 imes ^2 ight.log 7$. Kalau kita bisa dapetin nilai $^2 ight.log 5$ dan $^2 ight.log 7$ dalam bentuk $m$ dan $n$, beres deh soalnya. Coba kita fokus lagi ke $^7 ight.log 5 = m$. Kalau kita ubah ke basis 5, jadi rac{^5 ight.log 5}{^5 ight.log 7} = m. Karena $^5 ight.log 5$ itu kan 1, jadi rac{1}{^5 ight.log 7} = m. Dari sini, kita dapat ^5 ight.log 7 = rac{1}{m}. Nah, ini udah mulai menarik! Kita punya hubungan antara basis 5 dan angka 7.

Sekarang, coba kita lihat lagi informasi yang kita punya dan yang mau kita cari. Kita punya $^7 ight.log 5 = m$ dan $^5 ight.log 4 = n$. Kita juga punya ^5 ight.log 2 = rac{n}{2}. Dan kita tahu $245 = 5 imes 7^2$. Yang mau dicari adalah $^2 ight.log 245$. Kalau kita pakai sifat perubahan basis, bisa jadi ^2 ight.log 245 = rac{^5 ight.log 245}{^5 ight.log 2}. Angka 245 itu kan $5 imes 7^2$. Jadi, $^5 ight.log 245 = ^5 ight.log (5 imes 7^2) = ^5 ight.log 5 + ^5 ight.log (7^2) = 1 + 2 imes ^5 ight.log 7$.

Kita sudah dapat ^5 ight.log 7 = rac{1}{m}. Jadi, ^5 ight.log 245 = 1 + 2 imes rac{1}{m} = 1 + rac{2}{m}.

Terus, kita juga udah punya ^5 ight.log 2 = rac{n}{2}.

Nah, sekarang kita tinggal masukin ke rumus awal tadi: ^2 ight.log 245 = rac{^5 ight.log 245}{^5 ight.log 2} = rac{1 + rac{2}{m}}{rac{n}{2}}.

Untuk menyederhanakan, kita bisa kaliin pembilang sama penyebutnya. Pembilangnya bisa disamain penyebutnya dulu jadi rac{m+2}{m}.

Jadi, ^2 ight.log 245 = rac{rac{m+2}{m}}{rac{n}{2}} = rac{m+2}{m} imes rac{2}{n} = rac{2(m+2)}{mn}.

Yeay! Kita sudah ketemu jawabannya dalam bentuk $m$ dan $n$. Gampang kan kalau udah tahu triknya?

Memecah Masalah: Kunci Jawaban **$^2

ight.log 245$**

Sekarang, mari kita review langkah-langkahnya biar kalian makin paham dan nggak salah lagi nanti pas ngerjain soal mirip. Intinya, kita harus pintar-pintar melihat hubungan antar angka dan memanfaatkan sifat-sifat logaritma. Jangan takut untuk mengubah basis logaritma, guys. Itu adalah jurus pamungkas kita!

Langkah pertama adalah menguraikan angka yang ingin kita cari logaritmanya, yaitu 245. Kita temukan bahwa $245 = 5 imes 7^2$. Ini penting karena angka 5 dan 7 muncul di informasi yang diberikan ($^7 ight.log 5 = m$ dan $^5 ight.log 4 = n$). Jadi, $^2 ight.log 245$ bisa kita tulis sebagai $^2 ight.log (5 imes 7^2)$.

Selanjutnya, kita gunakan sifat logaritma untuk memecahnya: $^2 ight.log (5 imes 7^2) = ^2 ight.log 5 + ^2 ight.log (7^2) = ^2 ight.log 5 + 2 imes ^2 ight.log 7$. Nah, di sini masalahnya, kita perlu nilai $^2 ight.log 5$ dan $^2 ight.log 7$, tapi informasi yang ada basisnya beda.

Karena informasi kita adalah $^7 ight.log 5 = m$ dan $^5 ight.log 4 = n$, kita harus mengubah basisnya agar nyambung. Coba kita ubah $^7 ight.log 5 = m$ ke basis 5. Menggunakan sifat perubahan basis rac{^c ight.log b}{^c ight.log a}, kita bisa tulis ^7 ight.log 5 = rac{^5 ight.log 5}{^5 ight.log 7}. Karena $^5 ight.log 5 = 1$, maka rac{1}{^5 ight.log 7} = m. Dari sini kita dapat ^5 ight.log 7 = rac{1}{m}.

Sekarang, kita lihat informasi kedua: $^5 ight.log 4 = n$. Angka 4 itu kan $2^2$. Jadi, $^5 ight.log (2^2) = n$. Pakai sifat pangkat, $2 imes ^5 ight.log 2 = n$. Maka, ^5 ight.log 2 = rac{n}{2}.

Sekarang kita punya modal yang cukup: ^5 ight.log 7 = rac{1}{m} dan ^5 ight.log 2 = rac{n}{2}. Ingat, target kita adalah mencari $^2 ight.log 245$.

Cara paling mudah adalah dengan mengubah basis logaritma yang kita inginkan (basis 2) menjadi salah satu basis yang kita kuasai (misalnya basis 5). Jadi, kita gunakan rumus perubahan basis lagi:

^2 ight.log 245 = rac{^5 ight.log 245}{^5 ight.log 2}

Kita sudah tahu $245 = 5 imes 7^2$. Jadi, pembilangnya menjadi:

$^5 ight.log 245 = ^5 ight.log (5 imes 7^2) = ^5 ight.log 5 + ^5 ight.log (7^2) = 1 + 2 imes ^5 ight.log 7$

Ganti $^5 ight.log 7$ dengan rac{1}{m}: 1 + 2 imes rac{1}{m} = 1 + rac{2}{m}.

Jadi, pembilangnya adalah 1 + rac{2}{m} = rac{m+2}{m}.

Untuk penyebutnya, kita sudah punya: ^5 ight.log 2 = rac{n}{2}.

Sekarang kita tinggal gabungkan:

^2 ight.log 245 = rac{rac{m+2}{m}}{rac{n}{2}} = rac{m+2}{m} imes rac{2}{n} = rac{2(m+2)}{mn}.

Jadi, nilai dari $^2 ight.log 245$ adalah rac{2(m+2)}{mn}. Gimana, guys? Keren kan? Dengan memahami sifat-sifat logaritma dan sedikit trik manipulasi aljabar, soal sesulit ini bisa jadi gampang.

Kenapa Logaritma Penting?

Topik logaritma ini nggak cuma muncul di soal ujian matematika aja lho, guys. Konsep logaritma itu punya banyak aplikasi di dunia nyata. Misalnya, dalam skala Richter untuk mengukur kekuatan gempa bumi, dalam pengukuran keasaman (pH) air, dalam analisis pertumbuhan populasi, bahkan dalam ilmu komputer untuk mengukur kompleksitas algoritma. Jadi, belajar logaritma ini bukan cuma buat lulus ujian, tapi juga buat nambah wawasan kita tentang bagaimana matematika bekerja di sekitar kita.

Memahami $^2 ight.log 245$ dan cara menyelesaikannya adalah salah satu latihan bagus untuk mengasah kemampuan berpikir logis dan analitis kita. Kemampuan ini sangat berguna di berbagai bidang, nggak cuma di matematika. Jadi, jangan pernah berhenti belajar dan eksplorasi ya, guys! Terus semangat buat menaklukkan soal-soal matematika lainnya!

Kalau ada pertanyaan atau ada cara lain yang lebih simpel buat nyelesaiin soal ini, jangan ragu buat share di kolom komentar ya! Kita sama-sama belajar di sini. Sampai jumpa di pembahasan berikutnya!