Memahami Fungsi G(x) = Sqrt(x^2-9)

by ADMIN 35 views

Halo guys! Kali ini kita bakal kupas tuntas tentang fungsi matematika yang menarik nih, yaitu g(x) = \sqrt{x^2-9}. Buat kalian yang lagi belajar matematika, terutama kalkulus atau analisis fungsi, pasti sering ketemu sama soal-soal kayak gini. Nah, biar nggak bingung lagi, yuk kita bedah satu per satu pernyataan yang ada dan cari tahu mana yang benar.

Mengenal Fungsi g(x) = Sqrt(x^2-9)

Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita pahami dulu apa sih fungsi g(x) = \sqrt{x^2-9} ini. Fungsi ini adalah fungsi akar kuadrat yang di dalamnya ada ekspresi kuadrat. Kunci utama dalam memahami fungsi akar kuadrat adalah domain dan range-nya. Domain itu adalah semua nilai x yang mungkin kita masukkan ke dalam fungsi, sedangkan range adalah semua nilai y (atau g(x)) yang dihasilkan oleh fungsi tersebut. Ingat ya, di dalam akar kuadrat (bilangan real), kita nggak boleh punya bilangan negatif. Jadi, ekspresi di dalam akar kuadrat haruslah lebih besar dari atau sama dengan nol.

Untuk fungsi g(x) kita, ini berarti x^2 - 9 ≥ 0. Nah, pertidaksamaan ini yang akan menentukan domain dari fungsi kita. Kalau kita bisa menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan benar, separuh perjuangan kita udah beres, guys! Biar lebih gampang, kita bisa faktorkan ekspresi x^2 - 9 ini. Ingat rumus selisih dua kuadrat? Ya, benar banget, a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Jadi, x^2 - 9 bisa kita tulis jadi (x-3)(x+3). Maka, pertidaksamaan kita menjadi (x-3)(x+3) ≥ 0. Nah, sekarang tinggal cari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ini. Kita bisa pakai garis bilangan untuk memvisualisasikan solusinya. Titik-titik kritisnya adalah saat (x-3) = 0 (yaitu x=3) dan saat (x+3) = 0 (yaitu x=-3). Dengan menguji interval di antara dan di luar titik-titik ini, kita bisa menemukan di mana hasil perkaliannya positif atau nol.

Mari kita uji intervalnya:

  1. Untuk x < -3 (misalnya x = -4): (-4-3)(-4+3) = (-7)(-1) = 7. Ini positif (≥ 0).
  2. Untuk -3 ≤ x ≤ 3 (misalnya x = 0): (0-3)(0+3) = (-3)(3) = -9. Ini negatif (< 0).
  3. Untuk x > 3 (misalnya x = 4): (4-3)(4+3) = (1)(7) = 7. Ini positif (≥ 0).

Jadi, nilai x yang memenuhi (x-3)(x+3) ≥ 0 adalah x ≤ -3 atau x ≥ 3. Inilah yang kita sebut sebagai domain dari fungsi g(x), atau bisa ditulis Dg = {x | x ≤ -3 atau x ≥ 3}.

Menganalisis Pernyataan yang Diberikan

Sekarang, setelah kita tahu domainnya, mari kita cocokkan dengan pilihan-pilihan pernyataan yang diberikan:

Pernyataan 1: Dg=(x|x≤-3 atau x≥3)

Wah, ini persis banget sama yang kita temukan tadi, guys! Dari analisis domain di atas, kita sudah membuktikan bahwa domain fungsi g(x) = \sqrt{x^2-9} memang benar x ≤ -3 atau x ≥ 3. Jadi, pernyataan ini benar.

Pernyataan 2: Rg=(y|y≥0)

Selanjutnya, kita perlu mencari tahu tentang range (Rg) dari fungsi ini. Range adalah himpunan nilai output (y atau g(x)) yang mungkin dihasilkan. Ingat, fungsi kita adalah akar kuadrat: g(x) = \sqrt{x^2-9}. Sifat dasar dari akar kuadrat adalah selalu menghasilkan nilai non-negatif. Artinya, hasil dari \sqrt{...} itu pasti lebih besar dari atau sama dengan nol. Jadi, y ≥ 0 itu sudah pasti benar untuk fungsi akar kuadrat manapun. Tapi, apakah semua nilai y ≥ 0 bisa dicapai? Kita perlu cek lagi. Dari domain kita, kita tahu bahwa x bisa sekecil -3 atau sebesar 3 (atau lebih ekstrem lagi). Ketika x = 3 atau x = -3, nilai di dalam akar adalah 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0. Jadi, g(3) = \sqrt{0} = 0 dan g(-3) = \sqrt{0} = 0. Ini berarti nilai minimum yang bisa dicapai oleh y adalah 0. Nah, kalau x semakin menjauh dari 3 atau -3 (misalnya x = 4 atau x = -4), nilai x^2 akan semakin besar. x^2-9 juga akan semakin besar, dan akarnya pun akan semakin besar. Contohnya, g(4) = \sqrt{4^2-9} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7} \approx 2.6. g(5) = \sqrt{5^2-9} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4. Jadi, seiring nilai x yang semakin besar (positif maupun negatif), nilai g(x) akan terus meningkat tanpa batas. Dengan demikian, nilai y yang bisa dicapai adalah semua nilai mulai dari 0 hingga tak terhingga. Jadi, Rg = (y | y ≥ 0). Pernyataan ini juga benar.

Pernyataan 3: Grafik fungsi g memotong sumbu x=-1

Untuk mengetahui apakah grafik fungsi memotong sumbu x, kita perlu mencari nilai x ketika y = 0. Kita sudah melakukannya saat mencari domain, yaitu ketika g(x) = 0. Ini terjadi ketika \sqrt{x^2-9} = 0, yang berarti x^2 - 9 = 0. Solusinya adalah x = 3 dan x = -3. Jadi, grafik fungsi g memotong sumbu x di titik x = 3 dan x = -3, bukan di x = -1. Pernyataan ini salah.

Pernyataan 4: Sumbu y adalah sumbu simetri grafik fungsi g

Sebuah grafik dikatakan simetris terhadap sumbu y jika untuk setiap titik (x, y) pada grafik, titik (-x, y) juga ada pada grafik. Mari kita cek fungsi kita, g(x) = \sqrt{x^2-9}. Jika kita ganti x dengan -x, kita dapatkan g(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 9} = \sqrt{x^2 - 9}. Hasilnya sama dengan g(x)! Ini menunjukkan bahwa fungsi kita adalah fungsi genap, dan sumbu y memang merupakan sumbu simetri dari grafiknya. Jadi, pernyataan ini benar.

Kesimpulan

Setelah melakukan analisis mendalam, kita menemukan bahwa ada beberapa pernyataan yang benar terkait fungsi g(x) = \sqrt{x^2-9}. Pernyataan yang benar adalah:

  • Dg=(x|x≤-3 atau x≥3) (Ini adalah domainnya)
  • Rg=(y|y≥0) (Ini adalah range-nya)
  • Sumbu y adalah sumbu simetri grafik fungsi g (Ini karena fungsinya genap)

Pernyataan yang salah adalah grafik fungsi g memotong sumbu x=-1.

Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami fungsi ini dengan lebih baik ya, guys! Jangan ragu untuk terus berlatih dan bertanya jika ada yang kurang jelas. Matematika itu seru kalau kita mau ngulik bareng-bareng! Tetap semangat belajar!