Memahami Fungsi Kuadrat: Analisis Grafik F(x) = 4(x²-8x+12)

by ADMIN 60 views

Hey guys! Kali ini kita akan seru-seruan membahas tentang fungsi kuadrat yang didefinisikan oleh f(x) = 4(x²-8x+12). Jangan khawatir, kita akan bedah tuntas mulai dari konsep dasar sampai menganalisis grafiknya. Tujuannya, biar kalian makin jago dalam matematika, khususnya bab fungsi kuadrat. Kita akan tentukan benar atau salah dari beberapa pernyataan yang berkaitan dengan grafik fungsi ini. Siap-siap ya, karena kita akan menjelajahi dunia grafik fungsi yang menarik!

Memahami Konsep Dasar Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum f(x) = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola ini bisa terbuka ke atas (jika a > 0) atau terbuka ke bawah (jika a < 0). Nah, dalam kasus kita, fungsi f(x) = 4(x²-8x+12) bisa kita ubah menjadi bentuk umum dengan cara mengalikan konstanta 4 ke dalam kurung. Hasilnya adalah f(x) = 4x² - 32x + 48. Di sini, a = 4, b = -32, dan c = 48. Karena a = 4 (positif), maka parabola akan terbuka ke atas. Artinya, grafik fungsi ini memiliki titik minimum. Titik minimum ini adalah titik terendah dari parabola.

Pentingnya Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Titik puncak adalah titik yang sangat penting dalam grafik parabola. Titik ini adalah titik balik dari parabola, bisa berupa titik minimum (jika parabola terbuka ke atas) atau titik maksimum (jika parabola terbuka ke bawah). Untuk mencari titik puncak (x_p, y_p), kita bisa menggunakan rumus: x_p = -b / (2a) dan y_p = f(x_p). Dalam kasus kita, x_p = -(-32) / (2 * 4) = 4. Kemudian, kita cari y_p dengan memasukkan x_p ke dalam fungsi: y_p = f(4) = 4(4² - 8*4 + 12) = 4(16 - 32 + 12) = 4(-4) = -16. Jadi, titik puncak dari grafik fungsi ini adalah (4, -16). Ini berarti, nilai minimum dari fungsi ini adalah -16, yang terjadi saat x = 4.

Selain titik puncak, ada juga yang namanya sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri selalu x = x_p, di mana x_p adalah absis dari titik puncak. Dalam kasus kita, persamaan sumbu simetrinya adalah x = 4. Sumbu simetri ini sangat membantu kita dalam menggambar grafik, karena kita bisa menggunakan sumbu ini sebagai acuan untuk mencerminkan bagian-bagian parabola.

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang membuat f(x) = 0. Dengan kata lain, akar-akar ini adalah titik potong grafik parabola dengan sumbu x. Untuk mencari akar-akar ini, kita bisa menggunakan beberapa cara, seperti faktorisasi, rumus abc (rumus kuadratik), atau melengkapkan kuadrat sempurna. Dalam kasus kita, kita bisa menggunakan faktorisasi. Kita mulai dengan menyederhanakan fungsi f(x) = 4(x² - 8x + 12) = 0. Kita bisa membagi kedua sisi dengan 4, sehingga menjadi x² - 8x + 12 = 0. Kemudian, kita faktorkan persamaan kuadrat ini menjadi (x - 6)(x - 2) = 0. Dari sini, kita dapatkan akar-akarnya adalah x = 6 dan x = 2. Ini berarti, grafik parabola memotong sumbu x di titik (6, 0) dan (2, 0).

Menganalisis Pernyataan tentang Grafik Fungsi f(x) = 4(x²-8x+12)

Sekarang, mari kita analisis beberapa pernyataan yang berkaitan dengan grafik fungsi f(x) = 4(x²-8x+12).

  1. Titik puncak grafik fungsi f adalah (4, -16). Kita sudah menghitung sebelumnya bahwa titik puncak fungsi ini adalah (4, -16). Pernyataan ini benar. Titik puncak ini sangat penting karena menunjukkan nilai minimum dari fungsi kuadrat ini.

  2. Sumbu simetri grafik fungsi f adalah x = 4. Kita juga sudah membahas bahwa persamaan sumbu simetri adalah x = x_p, dan kita telah menghitung x_p = 4. Jadi, pernyataan ini benar. Sumbu simetri membagi grafik menjadi dua bagian yang simetris.

  3. Grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik. Kita sudah mencari akar-akar persamaan kuadrat, yaitu x = 6 dan x = 2. Ini berarti grafik memotong sumbu x di dua titik, yaitu (6, 0) dan (2, 0). Jadi, pernyataan ini benar.

  4. Nilai minimum fungsi f adalah -16. Kita telah menemukan bahwa titik puncaknya adalah (4, -16), yang berarti nilai minimumnya adalah -16. Pernyataan ini benar.

  5. Grafik fungsi f terbuka ke bawah. Karena koefisien a = 4 (positif), maka grafik fungsi ini terbuka ke atas, bukan ke bawah. Jadi, pernyataan ini salah.

  6. Diskriminan fungsi f positif. Diskriminan (D) dari fungsi kuadrat dihitung dengan rumus D = b² - 4ac. Dalam kasus ini, D = (-32)² - 4 * 4 * 48 = 1024 - 768 = 256. Karena D > 0, maka pernyataan ini benar. Diskriminan positif menunjukkan bahwa grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.

Kesimpulan

Alright guys, kita sudah selesai menganalisis fungsi kuadrat f(x) = 4(x²-8x+12). Kita sudah membahas konsep dasar, titik puncak, sumbu simetri, akar-akar, dan diskriminan. Kita juga sudah menentukan benar atau salah dari beberapa pernyataan. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membuat kalian semakin paham tentang fungsi kuadrat. Jangan ragu untuk terus berlatih dan mencoba soal-soal lainnya. Semangat terus belajar matematikanya!