Memecahkan Persamaan Kuadrat: Akar Tunggal Dan Nilai A X B

Hai, teman-teman! Mari kita selami dunia persamaan kuadrat. Kali ini, kita akan membahas soal yang cukup menarik: "Jika 3 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $ax^2 - 12x + b = 0$, berapakah nilai $a imes b$?" Jangan khawatir jika kalian merasa sedikit terintimidasi, karena kita akan membahasnya langkah demi langkah. Tujuan kita adalah membuatnya mudah dipahami, bahkan bagi mereka yang mungkin merasa matematika itu sedikit menantang. Jadi, siap untuk belajar dan bersenang-senang?

Mari kita mulai dengan memahami apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana akar-akarnya bekerja. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$, di mana a, b, dan c adalah konstanta, dan a tidak sama dengan nol. Akar-akar dari persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang membuat persamaan menjadi nol. Nah, dalam soal kita, kita diberi tahu bahwa persamaan memiliki satu-satunya akar, yaitu 3. Ini berarti bahwa grafik persamaan kuadrat (yang berbentuk parabola) hanya menyentuh sumbu x di satu titik, yaitu x = 3. Konsep ini adalah kunci untuk memecahkan soal ini, guys!

Untuk memahami lebih dalam, mari kita ingat kembali beberapa konsep dasar. Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan menggunakan rumus kuadrat, atau dengan memfaktorkan persamaan jika memungkinkan. Namun, dalam kasus kita, kita tahu bahwa hanya ada satu akar. Ini mengindikasikan bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat (yaitu, $b^2 - 4ac$) harus sama dengan nol. Diskriminan ini memberikan informasi tentang jenis akar yang dimiliki persamaan kuadrat. Jika diskriminan positif, persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. Jika diskriminan nol, persamaan memiliki satu akar real (atau dua akar yang sama). Dan jika diskriminan negatif, persamaan memiliki dua akar kompleks. Jadi, dalam kasus kita, karena hanya ada satu akar, diskriminan harus nol. Ini adalah petunjuk penting lainnya untuk memecahkan soal ini. Sekarang, mari kita gunakan semua informasi ini untuk mencari nilai $a imes b$.

Langkah-Langkah Jitu Menemukan Nilai a x b

Oke, sekarang saatnya kita mulai memecahkan soal ini secara sistematis. Kita sudah tahu beberapa hal penting. Pertama, kita tahu bahwa x = 3 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $ax^2 - 12x + b = 0$. Kedua, kita tahu bahwa diskriminan harus sama dengan nol karena hanya ada satu akar. Ketiga, kita tahu bahwa jika x = 3 adalah akar, maka jika kita mengganti x dengan 3 dalam persamaan, persamaan tersebut harus bernilai nol. Mari kita gunakan fakta-fakta ini untuk menemukan nilai a dan b, kemudian menghitung $a imes b$.

Langkah 1: Mengganti x dengan 3 dalam Persamaan

Karena x = 3 adalah akar, kita bisa mengganti x dengan 3 dalam persamaan $ax^2 - 12x + b = 0$. Ini akan memberikan kita:

$a(3)^2 - 12(3) + b = 0$ $9a - 36 + b = 0$

Ini adalah persamaan pertama kita. Kita sekarang memiliki satu persamaan dengan dua variabel (a dan b). Kita perlu persamaan lain untuk menyelesaikannya. Untungnya, kita tahu bahwa diskriminan harus nol.

Langkah 2: Menggunakan Informasi Diskriminan

Diskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ adalah $b^2 - 4ac$. Dalam kasus kita, persamaan adalah $ax^2 - 12x + b = 0$, jadi kita memiliki:

• $a = a$
• $b = -12$
• $c = b$

Maka, diskriminannya adalah $(-12)^2 - 4(a)(b)$. Karena diskriminan harus nol, kita dapat menulis:

$(-12)^2 - 4ab = 0$ $144 - 4ab = 0$

Sekarang, kita punya dua persamaan:

1. $9a - 36 + b = 0$
2. $144 - 4ab = 0$

Langkah 3: Menyelesaikan Persamaan untuk a dan b

Mari kita selesaikan persamaan kedua untuk ab:

$144 - 4ab = 0$ $4ab = 144$ $ab = 36$

Sekarang, kita tahu bahwa hasil kali a dan b adalah 36. Tetapi, perhatikan bahwa soal meminta nilai $a imes b$, dan kita telah menemukannya! Jadi, tanpa perlu menemukan nilai a dan b secara terpisah, kita sudah bisa menjawab soalnya. Dengan demikian, nilai $a imes b$ adalah 36.

Kesimpulan: Jawaban yang Kita Cari!

Selamat, guys! Kita telah berhasil memecahkan soal ini. Dengan menggunakan informasi bahwa x = 3 adalah satu-satunya akar dan memahami konsep diskriminan, kita menemukan bahwa nilai $a imes b$ adalah 36. Ini berarti jawabannya adalah (A) 36. Soal ini mengajarkan kita pentingnya pemahaman konsep dasar persamaan kuadrat dan bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah. Jadi, lain kali kalian menemukan soal serupa, jangan ragu! Ingatlah langkah-langkah yang telah kita pelajari, dan kalian akan dapat menyelesaikannya dengan percaya diri. Ingat, latihan membuat sempurna. Teruslah berlatih, dan kalian akan menjadi ahli dalam memecahkan soal matematika!

Jadi, guys, matematika itu sebenarnya tidak seseram yang kalian pikirkan, kan? Dengan sedikit kesabaran dan latihan, kita bisa menaklukkan setiap soal. Jangan lupa untuk selalu mencari cara untuk memahami konsepnya, bukan hanya menghafalnya. Dengan begitu, matematika akan menjadi lebih menyenangkan dan menarik. Teruslah belajar dan jangan pernah menyerah!

Tips Tambahan: Untuk memperdalam pemahaman, cobalah untuk membuat soal serupa dan menyelesaikannya sendiri. Kalian juga bisa mencari soal-soal latihan tambahan di buku atau sumber online. Semakin banyak kalian berlatih, semakin mudah kalian akan memahami konsep-konsep matematika.

Selamat mencoba, dan semoga sukses! Jika kalian memiliki pertanyaan atau membutuhkan bantuan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya. Sampai jumpa di petualangan matematika berikutnya!