Mencari Suku Pertama & Rasio Barisan Geometri

by ADMIN 46 views

Halo, para pejuang matematika! Kali ini kita bakal ngebahas soal barisan geometri yang sering bikin pusing. Tapi tenang aja, guys, kalau kita paham konsepnya, semua jadi gampang. Yuk, langsung aja kita bedah soalnya!

Memahami Barisan Geometri

Sebelum kita nyelam ke soalnya, penting banget buat kita ngerti dulu apa sih barisan geometri itu. Jadi, barisan geometri itu adalah barisan bilangan di mana setiap suku sesudahnya didapat dari suku sebelumnya dengan mengalikan suatu bilangan tetap yang bukan nol. Bilangan tetap ini kita sebut sebagai rasio (dilambangkan dengan r). Kalau di barisan aritmetika kan nambahnya tetap, nah kalau di geometri ini ngalinya yang tetap, guys!

Rumus umum suku ke-n barisan geometri itu kayak gini: Un=aimesrn−1U_n = a imes r^{n-1}. Di sini, a itu adalah suku pertama, dan r adalah rasio. Paham ya sampai sini? Kalau belum, coba deh bayangin barisan 2, 4, 8, 16, 32... Di sini suku pertamanya (a) adalah 2. Kalau mau cari rasio (r), tinggal bagi suku kedua sama suku pertama (4/2 = 2), atau suku ketiga sama suku kedua (8/4 = 2). Jadi rasionya adalah 2. Mudah kan? Nah, sekarang kita siap buat ngadepin soal yang lebih menantang!

Menganalisis Soal dan Mencari Suku Pertama dan Rasio

Oke, guys, sekarang kita lihat soalnya. Kita dikasih tahu kalau di sebuah barisan geometri, suku ke-4 (U_4) itu nilainya 6, dan suku ke-7 (U_7) itu nilainya rac{4}{3}. Nah, tugas pertama kita adalah nyari a (suku pertama) dan r (rasio). Gimana caranya? Kita manfaatin rumus umum tadi, tapi kita bikin jadi sistem persamaan.

Kita punya:

  • U4=aimesr4−1=aimesr3=6U_4 = a imes r^{4-1} = a imes r^3 = 6 (Persamaan 1)
  • U_7 = a imes r^{7-1} = a imes r^6 = rac{4}{3} (Persamaan 2)

Nah, biar gampang nyari r, kita bisa bagi Persamaan 2 dengan Persamaan 1. Kenapa dibagi? Soalnya, kalau dibagi, nanti si a bakal ilang, dan kita cuma perlu ngurusin r. Coba kita buktiin:

rac{U_7}{U_4} = rac{a imes r^6}{a imes r^3} = rac{ rac{4}{3}}{6}

Sederhanain yuk:

r^{6-3} = rac{4}{3 imes 6}

r^3 = rac{4}{18}

r^3 = rac{2}{9}

Waduh, kok hasilnya aneh gini? Hmm, kayaknya ada yang salah deh di soalnya atau di pemahaman kita. Coba kita cek lagi ya, guys. Kalau suku ke-7 itu lebih kecil dari suku ke-4, dan nilainya pecahan, ini artinya rasionya itu nilainya kurang dari 1, atau malah negatif. Tapi, kalau rasionya negatif, suku-sukunya bakal bergantian positif negatif. Di sini, suku ke-4 nilainya positif (6) dan suku ke-7 nilainya positif ( rac{4}{3}). Ini artinya, rasionya pasti positif. Jadi, kalau U7<U4U_7 < U_4, maka pasti 0<r<10 < r < 1. Oke, mari kita lanjutin proses pembagiannya, mungkin ada kesalahan hitung dari saya.

rac{U_7}{U_4} = rac{a imes r^6}{a imes r^3} = rac{ rac{4}{3}}{6}

r^3 = rac{4}{3 imes 6}

r^3 = rac{4}{18}

r^3 = rac{2}{9}

Oke, ini masih sama. Kayaknya ada yang salah dengan soal aslinya, tapi kita akan coba lanjutkan dengan asumsi bahwa ini adalah soal yang benar dan kita harus menemukan nilai r dari r^3 = rac{2}{9}. Untuk mendapatkan r, kita akan mengakarkan pangkat tiga dari rac{2}{9}.

r=oot3\ rac29r = oot{3}\ rac{2}{9}

Ini adalah nilai rasio yang sebenarnya, meskipun terlihat rumit. Nilai ini kira-kira adalah 0.580.58. Karena nilai rr ini positif dan kurang dari 1, maka memang benar bahwa suku ke-7 lebih kecil dari suku ke-4.

Sekarang, setelah kita punya nilai r, kita bisa cari a pakai salah satu persamaan. Kita pakai Persamaan 1 aja ya, yang lebih simpel:

aimesr3=6a imes r^3 = 6

Kita udah tahu r^3 = rac{2}{9}, jadi:

a imes rac{2}{9} = 6

Untuk nyari a, kita pindah ruas aja:

a = 6 imes rac{9}{2}

a = rac{54}{2}

a=27a = 27

Jadi, suku pertama (a) adalah 27 dan rasio (r) adalah oot3\ rac29 oot{3}\ rac{2}{9}.

Menghitung Suku ke-12 Barisan Geometri

Sip, guys! Sekarang kita udah punya a dan r. Tugas berikutnya adalah nyari nilai suku ke-12 (U_12). Gampang banget, tinggal masukin aja nilai a dan r ke rumus Un=aimesrn−1U_n = a imes r^{n-1}:

U12=aimesr12−1U_{12} = a imes r^{12-1}

U12=aimesr11U_{12} = a imes r^{11}

Nah, kita kan punya r^3 = rac{2}{9}. Gimana cara nyari r11r^{11}? Kita bisa pecah r11r^{11} jadi r9imesr2r^9 imes r^2. Dan karena r9=(r3)3r^9 = (r^3)^3, maka kita bisa hitung:

r^9 = ig( rac{2}{9}ig)^3 = rac{2^3}{9^3} = rac{8}{729}

Terus, r2r^2 itu ig( oot{3}\ rac{2}{9}ig)^2 = oot{3}\ig( rac{2}{9}ig)^2 = oot{3}\ rac{4}{81}

Jadi, r^{11} = oot{3}\ rac{4}{81} imes rac{8}{729}. Ini jadi rumit banget, guys. Mari kita coba cara lain.

Kita bisa juga nulis r11r^{11} sebagai r9imesr2r^9 imes r^2. Atau, kita bisa juga menuliskannya sebagai r12/rr^{12} / r. Tapi ini juga nggak bikin gampang. Coba kita manfaatkan aimesr3=6a imes r^3 = 6 dan a imes r^6 = rac{4}{3}.

Kita mau cari U12=aimesr11U_{12} = a imes r^{11}.

Perhatikan pola ini: Un=Umimesrn−mU_n = U_m imes r^{n-m}.

Jadi, kita bisa cari U12U_{12} dari U7U_7:

U12=U7imesr12−7U_{12} = U_7 imes r^{12-7}

U12=U7imesr5U_{12} = U_7 imes r^5

Kita tahu U_7 = rac{4}{3}. Dan r5=r3imesr2r^5 = r^3 imes r^2. Kita sudah punya r^3 = rac{2}{9}.

r^2 = ig( oot{3}\ rac{2}{9}ig)^2 = oot{3}\ rac{4}{81}

Jadi, r^5 = rac{2}{9} imes oot{3}\ rac{4}{81}. Ini masih rumit.

Mari kita coba cara lain yang lebih terstruktur. Kita tahu a=27a=27 dan r=oot3\ rac29r = oot{3}\ rac{2}{9}.

U_{12} = 27 imes ig( oot{3}\ rac{2}{9}ig)^{11}

Kita bisa menulis (oot3\ rac29)11( oot{3}\ rac{2}{9})^{11} sebagai ( rac{2}{9})^{11/3}.

U_{12} = 27 imes ( rac{2}{9})^{11/3}

Ini adalah bentuk eksak dari suku ke-12. Kalau kita coba hitung nilainya secara desimal, kita akan mendapatkan hasil yang perkiraannya. rimesrimesr=2/9r imes r imes r = 2/9. Jadi rimesr=(2/9)/rr imes r = (2/9)/r. Ini nggak membantu.

Coba kita lihat lagi hubungannya U4=6U_4=6 dan U7=4/3U_7=4/3.

U7/U4=r3=(4/3)/6=4/18=2/9U_7 / U_4 = r^3 = (4/3) / 6 = 4/18 = 2/9. Ini sudah kita dapatkan.

Sekarang kita mau cari U12U_{12}.

U12=U7imesr5U_{12} = U_7 imes r^5

Kita perlu r5r^5. Karena r3=2/9r^3 = 2/9, maka r5=r3imesr2=(2/9)imesr2r^5 = r^3 imes r^2 = (2/9) imes r^2. Ini masih perlu r2r^2.

Atau kita bisa pakai U12=U4imesr8U_{12} = U_4 imes r^8.

U12=6imesr8U_{12} = 6 imes r^8

Kita perlu r8r^8. r8=r6imesr2=(r3)2imesr2=(2/9)2imesr2=(4/81)imesr2r^8 = r^6 imes r^2 = (r^3)^2 imes r^2 = (2/9)^2 imes r^2 = (4/81) imes r^2.

Atau r8=r9/r=(r3)3/r=(2/9)3/r=(8/729)/rr^8 = r^9 / r = (r^3)^3 / r = (2/9)^3 / r = (8/729) / r.

Ini benar-benar membuat nilai suku ke-12 menjadi sangat rumit jika kita harus menghitungnya secara eksak tanpa kalkulator. Kemungkinan besar, soal ini dirancang untuk menguji pemahaman konsep atau ada typo pada angkanya.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban dalam bentuk paling sederhana yang bisa dicapai, mari kita coba fokus pada pangkat.

Kita punya a=27a = 27. Dan r=oot3\ rac29r = oot{3}\ rac{2}{9}.

U_{12} = a imes r^{11} = 27 imes ig( oot{3}\ rac{2}{9}ig)^{11}

U_{12} = 3^3 imes ig( rac{2}{9}ig)^{11/3}

U_{12} = 3^3 imes rac{2^{11/3}}{9^{11/3}}

U_{12} = 3^3 imes rac{2^{11/3}}{(3^2)^{11/3}}

U_{12} = 3^3 imes rac{2^{11/3}}{3^{22/3}}

U_{12} = rac{2^{11/3}}{3^{22/3 - 3}}

U_{12} = rac{2^{11/3}}{3^{22/3 - 9/3}}

U_{12} = rac{2^{11/3}}{3^{13/3}}

Ini masih bentuk yang sangat kompleks. Mari kita coba pendekatan lain yang lebih sederhana jika soal ini memang dari buku teks.

Misalkan soalnya adalah: Diketahui suku ke-4 adalah 16 dan suku ke-7 adalah 2. Maka r3=U7/U4=2/16=1/8r^3 = U_7/U_4 = 2/16 = 1/8. Sehingga r=1/2r = 1/2. Maka aimesr3=16ightarrowaimes(1/8)=16ightarrowa=128a imes r^3 = 16 ightarrow a imes (1/8) = 16 ightarrow a = 128. Maka U12=128imes(1/2)11=27imes2−11=2−4=1/16U_{12} = 128 imes (1/2)^{11} = 2^7 imes 2^{-11} = 2^{-4} = 1/16.

Kembali ke soal asli:

U4=6U_4 = 6, U7=4/3U_7 = 4/3. Kita dapat r3=2/9r^3 = 2/9, a=27a=27.

U12=aimesr11U_{12} = a imes r^{11}.

Kita bisa tulis r11=r9imesr2=(r3)3imesr2=(2/9)3imesr2=(8/729)imesr2r^{11} = r^9 imes r^2 = (r^3)^3 imes r^2 = (2/9)^3 imes r^2 = (8/729) imes r^2.

U12=27imes(8/729)imesr2U_{12} = 27 imes (8/729) imes r^2

U12=(27imes8)/729imesr2U_{12} = (27 imes 8) / 729 imes r^2

U12=216/729imesr2U_{12} = 216 / 729 imes r^2

Kita tahu 216=63216 = 6^3 dan 729=93=(32)3=36729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6. Jadi 216/729=(6/9)3=(2/3)3=8/27216/729 = (6/9)^3 = (2/3)^3 = 8/27.

U12=(8/27)imesr2U_{12} = (8/27) imes r^2.

Sekarang kita perlu r2r^2. r=oot3\ rac29r = oot{3}\ rac{2}{9}. Maka r^2 = ( rac{2}{9})^{2/3} = rac{2^{2/3}}{9^{2/3}} = rac{2^{2/3}}{(3^2)^{2/3}} = rac{2^{2/3}}{3^{4/3}}.

U_{12} = rac{8}{27} imes rac{2^{2/3}}{3^{4/3}}

U_{12} = rac{2^3}{3^3} imes rac{2^{2/3}}{3^{4/3}}

U_{12} = rac{2^{3 + 2/3}}{3^{3 + 4/3}}

U_{12} = rac{2^{11/3}}{3^{13/3}}

Jawaban eksak untuk suku ke-12 adalah rac{2^{11/3}}{3^{13/3}}. Jika ini soal ujian, kemungkinan besar ada kesalahan pada angkanya karena menghasilkan nilai yang tidak sederhana.

Menentukan Banyaknya Suku Barisan

Pertanyaan terakhir nih, guys: "Berapakah banyaknya suku barisan tersebut?". Nah, kalau pertanyaannya begini, ini biasanya berarti ada suku terakhir yang nilainya diketahui, atau ada kondisi lain yang mengakhiri barisan. Tapi, dari soal yang diberikan, yaitu hanya diketahui suku ke-4 dan suku ke-7, serta diminta mencari suku ke-12, ini mengindikasikan bahwa barisan tersebut adalah barisan tak hingga. Artinya, barisannya terus berjalan tanpa akhir.

Jadi, kalau pertanyaannya "Berapakah banyaknya suku barisan tersebut?" dalam konteks soal ini, jawabannya adalah tak terhingga atau tidak dapat ditentukan karena tidak ada informasi mengenai suku terakhir atau kondisi penghentian barisan. Berbeda kalau soalnya berbunyi, "Jika suku ke-n adalah sekian, tentukan n", nah itu baru kita bisa cari banyaknya suku.

Kesimpulannya, untuk soal ini, kita punya:

a. Suku pertama (a) = 27 dan rasio (r) =  oot3\ rac29\ oot{3}\ rac{2}{9}. b. Nilai suku ke-12 (U_12) = \ rac{2^{11/3}}{3^{13/3}}. c. Banyaknya suku barisan tersebut adalah tak terhingga.

Semoga penjelasan ini bikin kalian makin pede ya ngerjain soal-soal barisan geometri! Kalau ada yang masih bingung, jangan ragu tanya di kolom komentar ya, guys!