Menemukan Nilai 'a' Lingkaran Yang Menyinggung Garis

Halo, para penggila matematika! Kali ini kita bakal kupas tuntas soal lingkaran yang bikin pusing tapi seru abis. Kalian pernah ketemu soal yang bunyinya kayak gini:

"Lingkaran berpusat P(a - 1,-3) dan berjari-jari 4 satuan, menyinggung garis $3x-4y + 5 = 0$. Nilai a yang bulat adalah ..."

Nah, kalau kalian masih bingung gimana cara nyelesaiinnya, tenang aja! Artikel ini bakal jadi teman setia kalian. Kita bakal bedah soal ini langkah demi langkah, biar kalian nggak cuma hafal rumus, tapi beneran paham konsepnya. Siap-siap ya, karena matematika itu nggak sesulit yang kalian bayangkan, asalkan tahu triknya! Mari kita mulai petualangan kita mencari nilai 'a' yang bulat ini, sambil ngopi atau nyemil kesukaan kalian.

Pahami Konsep Dasar Lingkaran dan Garis Singgung

Sebelum kita terjun ke soal yang spesifik, penting banget nih buat nginget lagi konsep dasar tentang lingkaran dan garis singgung. Guys, lingkaran itu kan kumpulan titik yang punya jarak sama dari satu titik pusat. Jarak ini yang kita sebut jari-jari. Nah, kalau ada garis singgung, itu artinya garis yang cuma nyentuh lingkaran di satu titik aja. Nggak boleh motong apalagi lewatin lingkarannya.

Hubungan antara pusat lingkaran, jari-jari, dan garis singgung itu krusial banget. Coba bayangin gini, kalau jari-jari itu kayak tangan yang menggapai keluar dari pusat lingkaran, nah garis singgung itu kayak tembok yang pas banget di ujung jari itu. Jadi, jarak terpendek dari pusat lingkaran ke garis singgung itu pasti sama dengan jari-jarinya. Ini nih kunci utamanya, guys!

Dalam soal ini, kita dikasih tahu pusat lingkarannya P(a - 1,-3) dan jari-jarinya adalah 4. Terus, ada garis $3x-4y + 5 = 0$ yang katanya menyinggung lingkaran ini. Artinya, jarak dari titik P ke garis $3x-4y + 5 = 0$ itu harus sama dengan 4. Gampang kan konsepnya? Nah, sekarang kita tinggal aplikasiin ke rumusnya.

Rumus jarak dari titik $(x_1, y_1)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ itu bunyinya gini: $ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $

Di soal kita, titiknya adalah pusat P(a - 1,-3). Jadi, $x_1 = (a - 1)$ dan $y_1 = -3$. Garisnya adalah $3x-4y + 5 = 0$, jadi $A = 3$, $B = -4$, dan $C = 5$. Dan jaraknya, si 'd', itu sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu 4.

Jadi, kita punya:

$$4 = \frac{|3(a - 1) + (-4)(-3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$

Ingat ya, guys, tanda mutlak itu penting. Karena jarak nggak mungkin negatif. Nanti kita bakal nemu dua kemungkinan nilai.

Menghitung Jarak Titik ke Garis

Oke, guys, sekarang saatnya kita masuk ke perhitungan yang lebih detail. Kita udah punya rumusnya, pusat lingkarannya, garisnya, dan jari-jarinya. Saatnya kita cemplungin semua data itu ke dalam rumus jarak titik ke garis. Ingat, kunci soal ini adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran.

Dari soal, kita tahu:

• Pusat lingkaran $P = (x_1, y_1) = (a - 1, -3)$.
• Jari-jari lingkaran $r = 4$.
• Garis singgungnya adalah $3x - 4y + 5 = 0$. Jadi, $A = 3$, $B = -4$, dan $C = 5$.

Rumus jarak titik $(x_1, y_1)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah:

$$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Karena garis tersebut menyinggung lingkaran, maka jarak $d$ harus sama dengan jari-jari $r$. Jadi, kita substitusikan nilai-nilai yang kita punya:

$$4 = \frac{|3(a - 1) + (-4)(-3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$

Mari kita selesaikan bagian penyebutnya dulu, guys. Biar nggak pusing:

$$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Nah, sekarang kita substitusikan kembali ke persamaan:

$$4 = \frac{|3(a - 1) + (-4)(-3) + 5|}{5}$$

Selanjutnya, kita selesaikan bagian pembilangnya, tapi ingat kita harus hati-hati dengan tanda mutlak. Pertama, kita sederhanakan ekspresi di dalam tanda mutlak:

$$3(a - 1) + (-4)(-3) + 5 = 3a - 3 + 12 + 5$$

$$= 3a + (-3 + 12 + 5)$$

$$= 3a + 14$$

Jadi, persamaannya menjadi:

$$4 = \frac{|3a + 14|}{5}$$

Sekarang, kita kalikan kedua sisi dengan 5 untuk menghilangkan penyebut:

$$4 \times 5 = |3a + 14|$$

$$20 = |3a + 14|$$

Sampai sini, kita sudah berhasil menyederhanakan soalnya. Kita tahu bahwa nilai mutlak dari suatu ekspresi sama dengan 20. Ini berarti, ekspresi di dalam tanda mutlak itu bisa bernilai 20 atau -20. Ini yang akan kita gunakan untuk mencari nilai 'a'. Tetap semangat ya, guys! Kita hampir sampai.

Mencari Nilai 'a' yang Memenuhi

Oke, guys, kita sudah sampai pada tahap di mana kita punya persamaan $20 = |3a + 14|$. Nah, seperti yang sudah kita bahas sebelumnya, tanda mutlak ini membuat kita punya dua kemungkinan kasus. Ini dia yang bikin seru, karena kita harus mengecek kedua kemungkinan ini untuk memastikan mana yang benar atau apakah keduanya benar.

Kasus 1: Ekspresi di dalam tanda mutlak bernilai positif

Dalam kasus ini, kita asumsikan $3a + 14$ bernilai positif atau sama dengan nol, sehingga tanda mutlaknya bisa dihilangkan begitu saja:

$$3a + 14 = 20$$

Sekarang, kita tinggal selesaikan persamaan linear ini untuk mencari nilai 'a'. Kurangi kedua sisi dengan 14:

$$3a = 20 - 14$$

$$3a = 6$$

Bagi kedua sisi dengan 3:

$$a = \frac{6}{3}$$

$$a = 2$$

Jadi, dari kasus pertama, kita mendapatkan nilai $a = 2$. Ini adalah salah satu kandidat jawaban kita.

Kasus 2: Ekspresi di dalam tanda mutlak bernilai negatif

Dalam kasus ini, kita asumsikan $3a + 14$ bernilai negatif, sehingga saat tanda mutlaknya dihilangkan, kita perlu menambahkan tanda negatif di depannya, atau dengan kata lain, $3a + 14 = -20$.

$$3a + 14 = -20$$

Sekarang, kita selesaikan lagi persamaan linear ini: Kurangi kedua sisi dengan 14:

$$3a = -20 - 14$$

$$3a = -34$$

Bagi kedua sisi dengan 3:

$$a = \frac{-34}{3}$$

Nilai $a = -34/3$ ini bukanlah bilangan bulat. Ingat, soal meminta nilai 'a' yang bulat.

Jadi, dari kedua kasus ini, hanya kasus pertama yang memberikan nilai 'a' yang bulat, yaitu $a = 2$.

Sekarang, mari kita cek apakah nilai $a = 2$ ini masuk akal. Jika $a=2$, maka pusat lingkarannya adalah $P(2-1, -3) = P(1, -3)$. Jari-jarinya 4. Garisnya $3x - 4y + 5 = 0$. Jarak dari P(1, -3) ke garis $3x - 4y + 5 = 0$ adalah:

$$d = \frac{|3(1) - 4(-3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 12 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|20|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$$

Nah, kan terbukti! Jaraknya sama dengan jari-jarinya. Makanya, $a=2$ adalah jawaban yang tepat.

Kesimpulan dan Pilihan Jawaban

Alright, guys, kita sudah sampai di akhir petualangan matematika kita kali ini. Kita sudah berhasil membedah soal tentang lingkaran yang menyinggung garis dengan tuntas. Dari perhitungan yang sudah kita lakukan, kita menemukan ada dua kemungkinan nilai untuk 'a', yaitu $a = 2$ dan $a = -34/3$.

Namun, ingat baik-baik pertanyaan soalnya. Soal ini meminta nilai 'a' yang bulat. Dari kedua nilai yang kita dapatkan, hanya $a = 2$ yang merupakan bilangan bulat. Nilai $a = -34/3$ adalah pecahan dan tidak memenuhi kriteria sebagai bilangan bulat.

Jadi, nilai bulat 'a' yang memenuhi kondisi soal adalah 2.

Sekarang mari kita lihat pilihan jawabannya:

A. -34 B. -2 C. 1 D. 2 E. 34

Berdasarkan hasil perhitungan kita, jawaban yang benar adalah D. 2.

Gimana, guys? Nggak sesulit yang dibayangkan, kan? Kuncinya adalah memahami konsep dasar jarak titik ke garis dan bagaimana mengaplikasikannya pada soal lingkaran yang menyinggung garis. Jangan lupa, selalu perhatikan detail pertanyaan, terutama ketika ada syarat seperti 'bilangan bulat'.

Semoga artikel ini membantu kalian lebih percaya diri dalam mengerjakan soal-soal matematika sejenis. Terus semangat belajar, dan jangan ragu untuk bertanya kalau ada yang masih bingung. Sampai jumpa di artikel selanjutnya, guys! Happy calculating!