Menentukan Daerah Pertidaksamaan Linear: Panduan Lengkap

by ADMIN 57 views
Iklan Headers

Matematika, siapa sih yang gak kenal? Kadang bikin pusing, tapi sering juga bikin penasaran. Nah, kali ini kita bakal bahas soal yang sering muncul di pelajaran matematika, yaitu menentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear. Soalnya kayak gini nih: x + y ≤ 4; x + 3y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0. Gimana cara ngerjainnya? Yuk, simak penjelasan lengkapnya!

Apa Itu Sistem Pertidaksamaan Linear?

Sebelum kita masuk ke cara penyelesaian, ada baiknya kita pahami dulu apa itu sistem pertidaksamaan linear. Secara sederhana, sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear yang harus dipenuhi secara bersamaan. Pertidaksamaan linear sendiri adalah kalimat matematika yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan, seperti ≤, ≥, <, atau >.

Pertidaksamaan linear ini biasanya digambarkan dalam bentuk garis lurus pada koordinat kartesius. Nah, daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang berada di salah satu sisi garis tersebut. Kalau sistem pertidaksamaan linear, berarti kita mencari daerah yang merupakan irisan dari daerah-daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan.

Dalam soal yang diberikan, kita punya empat pertidaksamaan linear:

  1. x + y ≤ 4
  2. x + 3y ≥ 6
  3. x ≥ 0
  4. y ≥ 0

Kita akan mencari daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan ini secara bersamaan. Daerah inilah yang disebut sebagai daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.

Langkah-Langkah Menentukan Daerah Penyelesaian

Oke, sekarang kita masuk ke langkah-langkah menentukan daerah penyelesaiannya. Ada beberapa cara yang bisa kita gunakan, tapi yang paling umum dan mudah dipahami adalah dengan metode grafik. Berikut langkah-langkahnya:

1. Menggambar Garis Batas

Langkah pertama adalah menggambar garis batas untuk setiap pertidaksamaan. Caranya, ubah dulu tanda ketidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=). Jadi, kita punya persamaan garis sebagai berikut:

  1. x + y = 4
  2. x + 3y = 6
  3. x = 0 (sumbu y)
  4. y = 0 (sumbu x)

Untuk menggambar garis, kita perlu minimal dua titik. Titik-titik ini bisa kita dapatkan dengan mencari titik potong garis dengan sumbu x dan sumbu y. Misalnya, untuk garis x + y = 4:

  • Jika x = 0, maka y = 4. Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, 4).
  • Jika y = 0, maka x = 4. Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (4, 0).

Dengan dua titik ini, kita bisa menggambar garis lurus yang melalui kedua titik tersebut. Lakukan hal yang sama untuk garis x + 3y = 6:

  • Jika x = 0, maka 3y = 6, sehingga y = 2. Jadi, titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2).
  • Jika y = 0, maka x = 6. Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (6, 0).

Untuk garis x = 0 dan y = 0, ini adalah sumbu y dan sumbu x itu sendiri.

2. Menentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan

Setelah kita menggambar garis batas, langkah selanjutnya adalah menentukan daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan. Caranya, kita bisa menggunakan titik uji. Pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis batas, misalnya titik (0, 0). Kemudian, substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam pertidaksamaan.

  • Untuk pertidaksamaan x + y ≤ 4: 0 + 0 ≤ 4 (Benar). Karena benar, maka daerah yang mengandung titik (0, 0) adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan ini. Karena pertidaksamaan ini menggunakan tanda '≤', maka garis batasnya tebal. Lain halnya jika menggunakan tanda '<', maka garis batasnya putus-putus.
  • Untuk pertidaksamaan x + 3y ≥ 6: 0 + 3(0) ≥ 6 (Salah). Karena salah, maka daerah yang mengandung titik (0, 0) bukanlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan ini. Jadi, daerah yang memenuhi adalah daerah yang berada di sisi lain garis, dan karena pertidaksamaan ini menggunakan tanda '≥', maka garis batasnya tebal. Lain halnya jika menggunakan tanda '>', maka garis batasnya putus-putus.
  • Untuk pertidaksamaan x ≥ 0: Ini berarti daerah yang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu y.
  • Untuk pertidaksamaan y ≥ 0: Ini berarti daerah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x.

3. Menentukan Daerah Penyelesaian

Setelah kita menentukan daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan, langkah terakhir adalah mencari irisan dari semua daerah tersebut. Daerah irisan inilah yang disebut sebagai daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Biasanya, daerah ini ditandai dengan diarsir atau diwarnai.

Dalam kasus ini, daerah penyelesaian adalah daerah yang:

  • Berada di bawah atau pada garis x + y = 4
  • Berada di atas atau pada garis x + 3y = 6
  • Berada di sebelah kanan sumbu y (x ≥ 0)
  • Berada di atas sumbu x (y ≥ 0)

Daerah ini biasanya berbentuk poligon yang terletak di kuadran pertama (karena x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar lebih jelas, kita coba bahas contoh soal yang mirip dengan soal di atas.

Soal: Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear berikut:

2x + y ≤ 8; x + 2y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0

Pembahasan:

  1. Menggambar Garis Batas:

    • 2x + y = 8: Titik potong dengan sumbu x (4, 0), titik potong dengan sumbu y (0, 8).
    • x + 2y = 8: Titik potong dengan sumbu x (8, 0), titik potong dengan sumbu y (0, 4).
    • x = 0 (sumbu y)
    • y = 0 (sumbu x)

  2. Menentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan:

    • 2x + y ≤ 8: Menggunakan titik uji (0, 0), 2(0) + 0 ≤ 8 (Benar). Jadi, daerah di bawah garis memenuhi.
    • x + 2y ≤ 8: Menggunakan titik uji (0, 0), 0 + 2(0) ≤ 8 (Benar). Jadi, daerah di bawah garis memenuhi.
    • x ≥ 0: Daerah di sebelah kanan sumbu y.
    • y ≥ 0: Daerah di atas sumbu x.

  3. Menentukan Daerah Penyelesaian:

Daerah penyelesaian adalah irisan dari semua daerah yang memenuhi. Daerah ini berbentuk segi empat yang terletak di kuadran pertama.

Tips dan Trik

Berikut beberapa tips dan trik yang bisa membantu kamu dalam menyelesaikan soal sistem pertidaksamaan linear:

  • Gunakan Kertas Grafik: Menggambar grafik di kertas grafik akan membantu kamu mendapatkan hasil yang lebih akurat.
  • Perhatikan Tanda Ketidaksamaan: Tanda ketidaksamaan akan menentukan apakah garis batasnya tebal atau putus-putus, dan daerah mana yang memenuhi.
  • Gunakan Titik Uji dengan Bijak: Pilih titik uji yang mudah dihitung dan tidak terletak pada garis batas.
  • Arsir atau Warnai Daerah Penyelesaian: Ini akan membantu kamu melihat dengan jelas daerah mana yang merupakan penyelesaian.

Kesimpulan

Menentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear memang butuh ketelitian dan pemahaman konsep yang baik. Tapi, dengan langkah-langkah yang sistematis dan latihan yang cukup, kamu pasti bisa menguasai materi ini. Jadi, jangan takut untuk mencoba dan terus belajar, guys! Matematika itu asyik kok, asal kita mau berusaha.

Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membantu kamu dalam memahami materi sistem pertidaksamaan linear. Selamat belajar dan semoga sukses!