Menentukan DHP: 3x + Y < 6 Dan Y ≥ 2

by ADMIN 37 views

Kalian pernah gak sih, ketemu soal matematika yang bikin bingung tujuh keliling? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas cara menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dari sistem pertidaksamaan linear. Soal yang mau kita pecahin adalah: tentukan DHP dari 3x + y < 6 dan y ≥ 2! Kedengerannya agak rumit ya, tapi tenang, guys, dengan penjelasan yang simpel dan langkah-langkah yang jelas, kalian pasti langsung paham deh!

Apa Itu Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)?

Sebelum kita mulai, penting banget buat kita ngerti dulu apa itu DHP. Jadi, DHP itu adalah daerah di grafik yang memuat semua titik (x, y) yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem. Gampangnya, ini adalah area di mana semua syarat atau batasan yang diberikan oleh pertidaksamaan itu berlaku. Nah, cara menentukannya gimana? Yuk, kita simak langkah-langkahnya!

Langkah 1: Menggambar Garis Batas

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menggambar garis batas dari masing-masing pertidaksamaan. Garis batas ini diperoleh dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=). Jadi, pertidaksamaan 3x + y < 6 kita ubah menjadi 3x + y = 6, dan y ≥ 2 menjadi y = 2.

Untuk menggambar garis 3x + y = 6, kita butuh minimal dua titik. Cara paling mudah adalah dengan mencari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y. Titik potong dengan sumbu x diperoleh saat y = 0, sehingga kita punya 3x + 0 = 6, yang menghasilkan x = 2. Jadi, titik potongnya adalah (2, 0). Titik potong dengan sumbu y diperoleh saat x = 0, sehingga kita punya 3(0) + y = 6, yang menghasilkan y = 6. Jadi, titik potongnya adalah (0, 6). Sekarang, kita punya dua titik, yaitu (2, 0) dan (0, 6). Hubungkan kedua titik ini dengan sebuah garis lurus. Inilah garis batas untuk pertidaksamaan pertama.

Selanjutnya, kita gambar garis y = 2. Ini adalah garis horizontal yang melewati titik (0, 2) dan sejajar dengan sumbu x. Jadi, garis ini akan memotong sumbu y di titik 2.

Langkah 2: Menentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan

Setelah kita menggambar garis batas, langkah berikutnya adalah menentukan daerah mana yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan. Caranya adalah dengan melakukan uji titik. Kita pilih sebuah titik yang tidak terletak pada garis batas, misalnya titik (0, 0), dan kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan.

Untuk pertidaksamaan 3x + y < 6, kita substitusikan x = 0 dan y = 0, sehingga kita punya 3(0) + 0 < 6, yang menghasilkan 0 < 6. Karena pernyataan ini benar, maka daerah yang memuat titik (0, 0) adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 3x + y < 6. Karena pertidaksamaannya menggunakan tanda “kurang dari” (<), maka garis batasnya digambar putus-putus untuk menandakan bahwa titik-titik pada garis batas tidak termasuk dalam DHP.

Untuk pertidaksamaan y ≥ 2, kita substitusikan y = 0, sehingga kita punya 0 ≥ 2. Karena pernyataan ini salah, maka daerah yang memuat titik (0, 0) bukanlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan y ≥ 2. Jadi, daerah yang memenuhi adalah daerah di atas garis y = 2, termasuk garis itu sendiri, karena pertidaksamaannya menggunakan tanda “lebih dari atau sama dengan” (≥). Garis batasnya digambar penuh karena titik-titik pada garis batas termasuk dalam DHP.

Langkah 3: Menentukan DHP

Setelah kita menentukan daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan, langkah terakhir adalah menentukan DHP. DHP adalah daerah yang merupakan irisan dari semua daerah yang memenuhi pertidaksamaan. Dalam kasus ini, DHP adalah daerah yang berada di bawah garis 3x + y = 6 (tidak termasuk garisnya) dan di atas garis y = 2 (termasuk garisnya). Daerah ini adalah daerah yang dibatasi oleh kedua garis tersebut dan terletak di kuadran I dan II.

Contoh Soal Lain dan Pembahasan

Biar makin mantap, yuk kita coba contoh soal lain!

Soal: Tentukan DHP dari sistem pertidaksamaan berikut:

  • x + y ≤ 4
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Pembahasan:

  1. Menggambar Garis Batas:

    • x + y = 4 (garis lurus yang melewati titik (4, 0) dan (0, 4))
    • x = 0 (sumbu y)
    • y = 0 (sumbu x)

  2. Menentukan Daerah yang Memenuhi Pertidaksamaan:

    • Untuk x + y ≤ 4, uji titik (0, 0): 0 + 0 ≤ 4 (Benar). Jadi, daerah yang memenuhi adalah daerah di bawah garis x + y = 4, termasuk garisnya.
    • Untuk x ≥ 0, daerah yang memenuhi adalah daerah di sebelah kanan sumbu y, termasuk sumbu y.
    • Untuk y ≥ 0, daerah yang memenuhi adalah daerah di atas sumbu x, termasuk sumbu x.

  3. Menentukan DHP:

    DHP adalah daerah yang merupakan irisan dari ketiga daerah tersebut. Dalam kasus ini, DHP adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh garis x + y = 4, sumbu x, dan sumbu y. Daerah ini terletak di kuadran I.

Tips dan Trik Tambahan

  • Gunakan Kertas Grafik: Menggambar di kertas grafik akan membantu kalian untuk mendapatkan gambar yang lebih akurat.
  • Perhatikan Tanda Pertidaksamaan: Tanda pertidaksamaan (<, >, ≤, ≥) akan menentukan apakah garis batas termasuk dalam DHP atau tidak. Jika menggunakan tanda ≤ atau ≥, garis batas digambar penuh. Jika menggunakan tanda < atau >, garis batas digambar putus-putus.
  • Uji Titik dengan Hati-Hati: Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis batas. Jika pernyataan yang dihasilkan benar, maka daerah yang memuat titik uji adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan. Jika pernyataan yang dihasilkan salah, maka daerah yang berlawanan adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan.
  • Arsir Daerah yang Tidak Memenuhi: Beberapa orang lebih suka mengarsir daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan. Dengan cara ini, DHP adalah daerah yang tidak terarsir.

Kesimpulan

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dari sistem pertidaksamaan linear memang butuh sedikit ketelitian dan pemahaman konsep. Tapi, dengan mengikuti langkah-langkah yang sudah kita bahas tadi, dijamin kalian bisa menguasai materi ini dengan mudah. Ingat, kuncinya adalah: gambar garis batas, uji titik, dan tentukan irisan daerah yang memenuhi. Selamat mencoba dan semoga sukses, guys!

Jadi, begitulah cara menentukan DHP dari sistem pertidaksamaan linear 3x + y < 6 dan y ≥ 2. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membantu kalian dalam memahami materi ini. Jangan lupa untuk terus berlatih soal-soal lain agar semakin mahir. Semangat terus belajarnya!

Dengan memahami konsep DHP ini, kalian akan lebih mudah dalam menyelesaikan berbagai masalah optimasi linear, yang banyak digunakan dalam bidang ekonomi, teknik, dan lain-lain. Jadi, jangan anggap remeh materi ini ya, guys! Kuasai dengan baik, dan kalian akan merasakan manfaatnya di kemudian hari.

Oh iya, satu lagi tips penting: jangan malu untuk bertanya jika ada hal yang belum kalian pahami. Bertanya kepada guru, teman, atau mencari referensi dari sumber lain adalah cara yang efektif untuk meningkatkan pemahaman kalian. Ingat, belajar itu adalah proses yang berkelanjutan, jadi jangan pernah berhenti untuk mencari ilmu!

Semoga artikel ini bermanfaat ya! Sampai jumpa di pembahasan materi matematika lainnya. Tetap semangat dan teruslah belajar, guys! Matematika itu asyik kok, asal kita mau berusaha untuk memahaminya. Selamat belajar!