Menentukan HP Dengan Eliminasi: Solusi Lengkap & Mudah!

by ADMIN 56 views

Hai guys! Kali ini, kita akan seru-seruan menyelesaikan soal matematika tentang sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) menggunakan metode eliminasi. Metode eliminasi ini adalah salah satu cara ampuh buat menemukan himpunan penyelesaian (HP) dari persamaan-persamaan yang tampak rumit. Tenang aja, caranya gampang kok! Kita akan bedah satu per satu soalnya, mulai dari soal a, b, sampai c. Jadi, siapin buku catatan dan pulpen, ya! Mari kita mulai petualangan seru ini!

Memahami Konsep Dasar Eliminasi

Sebelum kita mulai, yuk, kita ingat-ingat lagi apa itu metode eliminasi. Metode eliminasi adalah cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel dari persamaan. Tujuannya adalah menyederhanakan persamaan menjadi lebih mudah dipecahkan. Biasanya, kita akan mengeliminasi variabel secara bergantian sampai akhirnya kita menemukan nilai semua variabel yang ada. Gampang, kan?

  • Inti dari metode eliminasi adalah membuat koefisien (angka di depan variabel) dari salah satu variabel sama pada dua persamaan. Setelah itu, kita bisa menjumlahkan atau mengurangi kedua persamaan tersebut sehingga variabel yang koefisiennya sama tadi hilang. Dengan begitu, kita mendapatkan persamaan baru dengan variabel yang lebih sedikit. Nah, dari persamaan baru inilah kita bisa mencari nilai variabel lainnya. Terus ulangi proses ini sampai semua variabel ditemukan.
  • Tips Jitu: Perhatikan dengan seksama koefisien variabel yang akan dieliminasi. Jika koefisiennya sudah sama, langsung saja jumlahkan atau kurangkan persamaannya. Jika belum sama, kita perlu mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan suatu bilangan agar koefisiennya sama. Pilihlah variabel yang paling mudah untuk dieliminasi. Biasanya, variabel dengan koefisien yang paling kecil atau yang sudah memiliki tanda berlawanan (satu positif, satu negatif) adalah pilihan yang tepat.

Penyelesaian Soal dengan Metode Eliminasi

Sekarang, mari kita mulai beraksi dengan soal-soal berikut ini! Kita akan selesaikan satu per satu dengan langkah-langkah yang jelas dan mudah diikuti. Dijamin, kalian akan semakin jago dalam menyelesaikan soal SPLTV.

a. {x+3y+4z=22xβˆ’yβˆ’5z=33x+2yβˆ’2z=βˆ’1\begin{cases} x+3y+4z=2 \\ 2x-y-5z=3 \\ 3x+2y-2z=-1 \\ \end{cases}

Langkah 1: Eliminasi Variabel x dari Persamaan 1 dan 2.

  • Persamaan 1: x+3y+4z=2x + 3y + 4z = 2 (Kita kalikan dengan 2) -> 2x+6y+8z=42x + 6y + 8z = 4
  • Persamaan 2: 2xβˆ’yβˆ’5z=32x - y - 5z = 3
  • Kurangkan kedua persamaan: (2x+6y+8z)βˆ’(2xβˆ’yβˆ’5z)=4βˆ’3(2x + 6y + 8z) - (2x - y - 5z) = 4 - 3 -> 7y+13z=17y + 13z = 1 (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi Variabel x dari Persamaan 1 dan 3.

  • Persamaan 1: x+3y+4z=2x + 3y + 4z = 2 (Kita kalikan dengan 3) -> 3x+9y+12z=63x + 9y + 12z = 6
  • Persamaan 3: 3x+2yβˆ’2z=βˆ’13x + 2y - 2z = -1
  • Kurangkan kedua persamaan: (3x+9y+12z)βˆ’(3x+2yβˆ’2z)=6βˆ’(βˆ’1)(3x + 9y + 12z) - (3x + 2y - 2z) = 6 - (-1) -> 7y+14z=77y + 14z = 7 (Persamaan 5)

Langkah 3: Eliminasi Variabel y dari Persamaan 4 dan 5.

  • Persamaan 4: 7y+13z=17y + 13z = 1
  • Persamaan 5: 7y+14z=77y + 14z = 7
  • Kurangkan kedua persamaan: (7y+14z)βˆ’(7y+13z)=7βˆ’1(7y + 14z) - (7y + 13z) = 7 - 1 -> z=6z = 6

Langkah 4: Substitusi Nilai z ke Persamaan 4 untuk Menemukan y.

  • 7y+13(6)=17y + 13(6) = 1 -> 7y+78=17y + 78 = 1 -> 7y=βˆ’777y = -77 -> y=βˆ’11y = -11

Langkah 5: Substitusi Nilai y dan z ke Persamaan 1 untuk Menemukan x.

  • x+3(βˆ’11)+4(6)=2x + 3(-11) + 4(6) = 2 -> xβˆ’33+24=2x - 33 + 24 = 2 -> xβˆ’9=2x - 9 = 2 -> x=11x = 11

Kesimpulan: Himpunan Penyelesaian (HP) = {(11, -11, 6)}

b. {xβˆ’2y+z=22xβˆ’y+z=32xβˆ’4y+z=10\begin{cases} x-2y+z=2 \\ 2x-y+z=3 \\ 2x-4y+z=10 \\ \end{cases}

Langkah 1: Eliminasi Variabel z dari Persamaan 1 dan 2.

  • Persamaan 1: xβˆ’2y+z=2x - 2y + z = 2
  • Persamaan 2: 2xβˆ’y+z=32x - y + z = 3
  • Kurangkan kedua persamaan: (2xβˆ’y+z)βˆ’(xβˆ’2y+z)=3βˆ’2(2x - y + z) - (x - 2y + z) = 3 - 2 -> x+y=1x + y = 1 (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi Variabel z dari Persamaan 1 dan 3.

  • Persamaan 1: xβˆ’2y+z=2x - 2y + z = 2
  • Persamaan 3: 2xβˆ’4y+z=102x - 4y + z = 10
  • Kurangkan kedua persamaan: (2xβˆ’4y+z)βˆ’(xβˆ’2y+z)=10βˆ’2(2x - 4y + z) - (x - 2y + z) = 10 - 2 -> xβˆ’2y=8x - 2y = 8 (Persamaan 5)

Langkah 3: Eliminasi Variabel x dari Persamaan 4 dan 5.

  • Persamaan 4: x+y=1x + y = 1
  • Persamaan 5: xβˆ’2y=8x - 2y = 8
  • Kurangkan kedua persamaan: (x+y)βˆ’(xβˆ’2y)=1βˆ’8(x + y) - (x - 2y) = 1 - 8 -> 3y=βˆ’73y = -7 -> y = - rac{7}{3}

Langkah 4: Substitusi Nilai y ke Persamaan 4 untuk Menemukan x.

  • x + (- rac{7}{3}) = 1 -> x = 1 + rac{7}{3} -> x = rac{10}{3}

Langkah 5: Substitusi Nilai x dan y ke Persamaan 1 untuk Menemukan z.

  • rac{10}{3} - 2(- rac{7}{3}) + z = 2 -> rac{10}{3} + rac{14}{3} + z = 2 -> rac{24}{3} + z = 2 -> 8+z=28 + z = 2 -> z=βˆ’6z = -6

Kesimpulan: Himpunan Penyelesaian (HP) = {(103\frac{10}{3}, βˆ’73-\frac{7}{3}, -6)}

c. {2xβˆ’3y+4z=83x+2yβˆ’z=4xβˆ’y+2z=5\begin{cases} 2x-3y+4z=8 \\ 3x+2y-z=4 \\ x-y+2z=5 \\ \end{cases}

Langkah 1: Eliminasi Variabel z dari Persamaan 2 dan 3.

  • Persamaan 2: 3x+2yβˆ’z=43x + 2y - z = 4 (Kita kalikan dengan 2) -> 6x+4yβˆ’2z=86x + 4y - 2z = 8
  • Persamaan 3: xβˆ’y+2z=5x - y + 2z = 5
  • Jumlahkan kedua persamaan: (6x+4yβˆ’2z)+(xβˆ’y+2z)=8+5(6x + 4y - 2z) + (x - y + 2z) = 8 + 5 -> 7x+3y=137x + 3y = 13 (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi Variabel z dari Persamaan 1 dan 2.

  • Persamaan 1: 2xβˆ’3y+4z=82x - 3y + 4z = 8
  • Persamaan 2: 3x+2yβˆ’z=43x + 2y - z = 4 (Kita kalikan dengan 4) -> 12x+8yβˆ’4z=1612x + 8y - 4z = 16
  • Jumlahkan kedua persamaan: (2xβˆ’3y+4z)+(12x+8yβˆ’4z)=8+16(2x - 3y + 4z) + (12x + 8y - 4z) = 8 + 16 -> 14x+5y=2414x + 5y = 24 (Persamaan 5)

Langkah 3: Eliminasi Variabel y dari Persamaan 4 dan 5.

  • Persamaan 4: 7x+3y=137x + 3y = 13 (Kita kalikan dengan 5) -> 35x+15y=6535x + 15y = 65
  • Persamaan 5: 14x+5y=2414x + 5y = 24 (Kita kalikan dengan 3) -> 42x+15y=7242x + 15y = 72
  • Kurangkan kedua persamaan: (42x+15y)βˆ’(35x+15y)=72βˆ’65(42x + 15y) - (35x + 15y) = 72 - 65 -> 7x=77x = 7 -> x=1x = 1

Langkah 4: Substitusi Nilai x ke Persamaan 4 untuk Menemukan y.

  • 7(1)+3y=137(1) + 3y = 13 -> 7+3y=137 + 3y = 13 -> 3y=63y = 6 -> y=2y = 2

Langkah 5: Substitusi Nilai x dan y ke Persamaan 3 untuk Menemukan z.

  • 1βˆ’2+2z=51 - 2 + 2z = 5 -> βˆ’1+2z=5-1 + 2z = 5 -> 2z=62z = 6 -> z=3z = 3

Kesimpulan: Himpunan Penyelesaian (HP) = {(1, 2, 3)}

Tips Tambahan untuk Sukses Eliminasi

Selain memahami langkah-langkah di atas, ada beberapa tips jitu yang bisa kalian gunakan:

  • Ketelitian adalah Kunci: Pastikan kalian teliti dalam menghitung. Kesalahan kecil bisa berakibat fatal dan membuat jawaban kalian salah.
  • Cek Ulang Jawaban: Setelah mendapatkan HP, selalu cek kembali jawaban kalian dengan memasukkan nilai x, y, dan z ke dalam semua persamaan awal. Jika hasilnya sesuai, berarti jawaban kalian benar.
  • Latihan, Latihan, dan Latihan: Semakin sering kalian berlatih, semakin mahir kalian dalam menyelesaikan soal SPLTV. Coba kerjakan soal-soal lain yang serupa untuk mengasah kemampuan kalian.
  • Manfaatkan Teknologi: Jika kesulitan, kalian bisa menggunakan kalkulator atau aplikasi matematika untuk mengecek jawaban kalian. Tapi, usahakan untuk tetap mengerjakan secara manual terlebih dahulu agar kalian benar-benar paham konsepnya.
  • Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal langkah-langkahnya, tapi pahami juga konsep dasarnya. Dengan begitu, kalian bisa lebih mudah menyelesaikan soal-soal yang lebih bervariasi.

Kesimpulan: Selamat Mencoba!

Nah, gimana guys? Gampang kan menyelesaikan soal SPLTV dengan metode eliminasi? Semoga penjelasan ini bermanfaat, ya! Jangan ragu untuk mencoba soal-soal lain. Ingat, kunci sukses dalam belajar matematika adalah konsisten berlatih dan jangan takut mencoba. Semangat terus belajarnya, dan selamat mencoba! Sampai jumpa di pembahasan soal matematika lainnya! Kalau ada pertanyaan, jangan sungkan untuk bertanya, ya! Kami siap membantu!