Menentukan Nilai 2a - B Dari Translasi Kurva

Oct 21, 2025 by ADMIN 45 views

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika tentang translasi kurva. Soal ini cukup menarik karena menggabungkan konsep translasi dengan persamaan kuadrat. Buat kalian yang lagi belajar materi ini, yuk simak pembahasan berikut!

Memahami Soal Translasi Kurva

Soalnya begini: Kurva dengan persamaan y = 2x² - 15x + 26 ditranslasi oleh vektor translasi ${\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}$ menghasilkan kurva baru dengan persamaan y = 2x² - 11x + 5. Nah, tugas kita adalah menentukan nilai dari 2a - b. Keliatannya agak rumit ya? Tapi tenang, kita akan pecahkan soal ini langkah demi langkah.

Keywords translasi kurva ini sangat penting untuk dipahami. Translasi itu sederhananya adalah pergeseran. Jadi, kurva awal kita digeser sejauh a satuan secara horizontal dan b satuan secara vertikal. Pergeseran ini akan mengubah persamaan kurvanya. Nah, perubahan inilah yang akan kita manfaatkan untuk mencari nilai a dan b.

Dalam menyelesaikan soal-soal matematika seperti ini, penting banget untuk memahami konsep dasarnya. Kita harus tahu apa itu translasi, bagaimana translasi memengaruhi persamaan suatu kurva, dan bagaimana cara kita merepresentasikan translasi dalam bentuk vektor. Kalau konsep dasarnya kuat, soal serumit apapun pasti bisa kita taklukkan!

Selain itu, kita juga perlu jago dalam manipulasi aljabar. Persamaan kuadrat itu penuh dengan variabel dan koefisien. Kita harus paham cara mengotak-atik persamaan ini, mulai dari menyederhanakan, memfaktorkan, sampai melengkapkan kuadrat. Kemampuan aljabar ini akan sangat membantu kita dalam menemukan solusi akhir.

So, sebelum kita masuk ke langkah-langkah penyelesaian, pastikan kalian udah ngerti konsep translasi dan lancar dalam aljabar ya! Kalau belum, jangan khawatir. Kita akan bahas sedikit tentang konsep translasi di bagian selanjutnya.

Konsep Dasar Translasi

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, kita review dulu yuk konsep dasar translasi. Translasi itu, sederhananya, adalah pergeseran. Kita bisa menggeser suatu objek (titik, garis, kurva, atau bidang) tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. Bayangkan aja kamu menggeser meja di dalam ruangan. Meja itu tetap meja, kan? Cuma posisinya aja yang berubah.

Dalam matematika, translasi direpresentasikan dengan vektor translasi. Vektor ini menunjukkan arah dan seberapa jauh pergeseran terjadi. Misalnya, vektor ${\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}$ menunjukkan pergeseran sejauh a satuan horizontal (ke kanan jika a positif, ke kiri jika a negatif) dan b satuan vertikal (ke atas jika b positif, ke bawah jika b negatif).

Nah, bagaimana translasi memengaruhi persamaan kurva? Misalkan kita punya kurva dengan persamaan y = f(x). Kalau kurva ini kita translasi dengan vektor ${\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}$ , maka persamaan kurva yang baru akan menjadi y - b = f(x - a). Ingat ya, y diganti dengan (y - b) dan x diganti dengan (x - a).

Kenapa bisa begitu? Karena setiap titik (x, y) pada kurva awal akan bergeser menjadi titik (x + a, y + b) pada kurva yang baru. Jadi, untuk mendapatkan persamaan kurva yang baru, kita substitusikan x dengan (x - a) dan y dengan (y - b) ke persamaan kurva awal.

Konsep ini sangat penting untuk kita pahami dalam menyelesaikan soal translasi kurva. Kita akan menggunakan konsep ini untuk mencari hubungan antara persamaan kurva awal dan persamaan kurva hasil translasi.

Selain konsep translasi itu sendiri, kita juga perlu mengingat kembali tentang persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum y = ax² + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta. Bentuk kurva dari persamaan kuadrat adalah parabola. Translasi tidak mengubah bentuk parabola, hanya posisinya saja yang berubah.

Langkah-langkah Penyelesaian

Oke, sekarang kita siap untuk menyelesaikan soal kita. Berikut adalah langkah-langkahnya:

Tuliskan persamaan kurva awal dan kurva hasil translasi.
- Kurva awal: y = 2x² - 15x + 26
- Kurva hasil translasi: y = 2x² - 11x + 5
Gunakan konsep translasi untuk mendapatkan persamaan kurva hasil translasi dalam bentuk umum.

Kita tahu bahwa jika kurva y = f(x) ditranslasi dengan vektor ${\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}}$ , maka persamaan kurva yang baru adalah y - b = f(x - a). Dalam kasus ini, f(x) = 2x² - 15x + 26. Jadi, persamaan kurva hasil translasi adalah:

y - b = 2(x - a)² - 15(x - a) + 26
Jabarkan dan sederhanakan persamaan di atas.

Kita jabarkan (x - a)² dan distribusikan konstanta:

y - b = 2(x² - 2ax + a²) - 15x + 15a + 26

y - b = 2x² - 4ax + 2a² - 15x + 15a + 26

Sekarang, kita kelompokkan suku-suku yang memiliki variabel yang sama:

y = 2x² + (-4a - 15)x + (2a² + 15a + 26 + b)
Bandingkan koefisien persamaan hasil translasi dengan koefisien persamaan kurva hasil translasi yang diketahui.

Kita punya dua persamaan untuk kurva hasil translasi:
- y = 2x² - 11x + 5 (persamaan yang diketahui dari soal)
- y = 2x² + (-4a - 15)x + (2a² + 15a + 26 + b) (persamaan hasil translasi yang kita dapatkan)
Karena kedua persamaan ini merepresentasikan kurva yang sama, maka koefisien suku-suku yang bersesuaian harus sama. Jadi, kita punya:
- Koefisien x: -4a - 15 = -11
- Konstanta: 2a² + 15a + 26 + b = 5
Selesaikan sistem persamaan untuk mencari nilai a dan b.

Dari persamaan pertama, kita dapatkan:

-4a - 15 = -11

-4a = 4

a = -1

Substitusikan nilai a ke persamaan kedua:

2(-1)² + 15(-1) + 26 + b = 5

2 - 15 + 26 + b = 5

13 + b = 5

b = -8
Hitung nilai 2a - b.

Sekarang kita sudah punya nilai a dan b: a = -1 dan b = -8. Jadi:

2a - b = 2(-1) - (-8) = -2 + 8 = 6

Jadi, nilai dari 2a - b adalah 6.

Kesimpulan

Nah, guys, kita sudah berhasil menyelesaikan soal ini! Kunci dari soal ini adalah memahami konsep translasi kurva dan kemampuan aljabar yang mumpuni. Dengan memahami konsep dan latihan yang cukup, soal-soal seperti ini pasti bisa kita taklukkan.

Jadi, jangan malas untuk berlatih soal ya! Semakin banyak kita berlatih, semakin terbiasa kita dengan berbagai macam tipe soal dan semakin cepat kita dalam menyelesaikannya.

Semoga pembahasan ini bermanfaat buat kalian semua. Kalau ada pertanyaan atau mau request pembahasan soal lainnya, jangan ragu untuk tulis di kolom komentar ya! Semangat terus belajarnya!