Menghitung Jumlah Suku Barisan Aritmatika: Panduan Lengkap

Oct 16, 2025 by ADMIN 59 views

Hay teman-teman! Kali ini, kita akan membahas soal matematika yang seru: menghitung jumlah suku dalam barisan aritmatika. Soalnya cukup sederhana, tapi pemahamannya penting banget buat kalian yang lagi belajar matematika. Jadi, siap-siap ya, karena kita akan bedah soal ini sampai tuntas! Kita akan fokus pada soal yang sudah diberikan, yaitu mencari jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika, dengan diketahui $U_2 = 8$ dan $U_6 = 20$ . Jangan khawatir kalau kalian masih awam, karena kita akan bahas langkah demi langkah dengan bahasa yang mudah dimengerti. Tujuan utama kita adalah agar kalian bisa memahami konsepnya dengan baik dan mampu menyelesaikan soal serupa di kemudian hari. Mari kita mulai petualangan matematika ini!

Memahami Konsep Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah urutan bilangan di mana selisih antara dua suku berurutan selalu sama. Selisih ini disebut beda (b), dan menjadi kunci utama dalam memahami barisan aritmatika. Misalnya, jika kita punya barisan 2, 4, 6, 8, …, maka bedanya adalah 2 (4-2 = 2, 6-4 = 2, dst.). Nah, dalam soal kita, kita tidak langsung diberikan barisannya, tapi kita diberi informasi tentang suku ke-2 ( $U_2$ ) dan suku ke-6 ( $U_6$ ). Ini berarti kita perlu mencari beda (b) terlebih dahulu.

Rumus umum suku ke-n ( $U_n$ ) dalam barisan aritmatika adalah: $U_n = a + (n-1)b$ , di mana:

$a$ adalah suku pertama
$n$ adalah nomor suku
$b$ adalah beda

Dengan rumus ini, kita bisa mencari nilai $a$ dan $b$ . Ingat ya guys, konsep ini adalah fondasi penting. Jadi pastikan kalian benar-benar paham sebelum melangkah lebih jauh. Kita akan menggunakan informasi yang kita punya ( $U_2 = 8$ dan $U_6 = 20$ ) untuk menemukan nilai $a$ dan $b$ .

Untuk lebih jelasnya, mari kita jabarkan. Karena $U_2 = 8$ , maka $a + (2-1)b = 8$ , atau $a + b = 8$ . Kemudian, karena $U_6 = 20$ , maka $a + (6-1)b = 20$ , atau $a + 5b = 20$ . Sekarang, kita punya dua persamaan: $a + b = 8$ dan $a + 5b = 20$ . Kita bisa menyelesaikan sistem persamaan ini untuk menemukan nilai $a$ dan $b$ . Jangan khawatir, kita akan bahas cara menyelesaikannya di bagian selanjutnya!

Mencari Beda (b) dan Suku Pertama (a)

Sekarang, mari kita selesaikan sistem persamaan yang sudah kita dapatkan. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, seperti metode substitusi atau eliminasi. Kita akan gunakan metode eliminasi karena lebih mudah dalam kasus ini. Pertama, kita punya persamaan:

$a + b = 8$
$a + 5b = 20$

Untuk mengeliminasi $a$ , kita kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2): $(a + 5b) - (a + b) = 20 - 8$ . Ini menyederhanakan menjadi $4b = 12$ . Sekarang, kita bisa mencari nilai $b$ dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 4: $b = 12 / 4 = 3$ . Jadi, beda (b) dari barisan aritmatika ini adalah 3.

Selanjutnya, kita akan mencari nilai $a$ . Kita bisa menggunakan salah satu persamaan awal, misalnya $a + b = 8$ . Karena kita sudah tahu $b = 3$ , kita bisa substitusikan nilai $b$ ke dalam persamaan: $a + 3 = 8$ . Untuk mencari $a$ , kita kurangkan 3 dari kedua sisi: $a = 8 - 3 = 5$ . Jadi, suku pertama (a) dari barisan aritmatika ini adalah 5. Sekarang, kita sudah punya semua informasi yang kita butuhkan: $a = 5$ dan $b = 3$ .

Dengan mengetahui $a$ dan $b$ , kita bisa menentukan semua suku dalam barisan tersebut. Suku-sukunya akan menjadi 5, 8, 11, 14, 17, 20, dan seterusnya. Kalian bisa lihat bahwa selisih antara suku-suku berurutan memang selalu 3, sesuai dengan nilai $b$ yang kita temukan. Gampang kan?

Menghitung Jumlah 6 Suku Pertama ( $S_6$ )

Nah, sekarang kita sampai pada bagian yang paling penting: menghitung jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika. Untuk menghitung jumlah suku, kita punya rumus:

$S_n = rac{n}{2} [2a + (n-1)b]$ , di mana:

$S_n$ adalah jumlah n suku pertama
$n$ adalah jumlah suku yang ingin dihitung
$a$ adalah suku pertama
$b$ adalah beda

Dalam soal kita, kita ingin mencari $S_6$ (jumlah 6 suku pertama). Kita sudah tahu $a = 5$ , $b = 3$ , dan $n = 6$ . Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:

$S_6 = rac{6}{2} [2(5) + (6-1)3]$ $S_6 = 3 [10 + 5(3)]$ $S_6 = 3 [10 + 15]$ $S_6 = 3 [25]$ $S_6 = 75$

Jadi, jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika ini adalah 75. Mudah, bukan? Kita bisa juga mengeceknya dengan menjumlahkan keenam suku pertama yang sudah kita temukan sebelumnya: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = 75. Hasilnya sama, kan? Ini membuktikan bahwa perhitungan kita benar.

Kesimpulan dan Tips Tambahan

Kesimpulan:

Barisan aritmatika memiliki beda (b) yang konstan.
Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$
Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = rac{n}{2} [2a + (n-1)b]$
Dalam soal ini, $S_6 = 75$

Tips Tambahan:

Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian benar-benar mengerti konsep dasar barisan aritmatika sebelum mengerjakan soal yang lebih kompleks.
Latihan Soal: Semakin banyak kalian berlatih, semakin mudah kalian memahami dan menyelesaikan soal.
Cek Kembali: Selalu cek kembali perhitungan kalian untuk memastikan tidak ada kesalahan.
Gunakan Rumus: Hafalkan rumus-rumus penting dan gunakan dengan tepat.
Visualisasi: Jika memungkinkan, visualisasikan barisan aritmatika untuk mempermudah pemahaman. Kalian bisa menggambar atau membuat tabel.

Dengan memahami konsep dan rumus-rumus di atas, serta rajin berlatih, kalian pasti bisa menguasai materi barisan aritmatika dengan baik. Jangan menyerah jika kalian mengalami kesulitan di awal. Teruslah belajar dan berlatih, dan kalian akan melihat hasilnya. Semangat belajar, guys! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya ya!