Menghitung Nilai Trigonometri Segitiga Siku-Siku: Soal Dan Solusi

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika tentang trigonometri pada segitiga siku-siku. Soal ini sering muncul di ujian, jadi penting banget untuk kita pahami konsepnya. Kita akan membahas langkah demi langkah cara menyelesaikan soal ini dengan detail dan mudah dimengerti.

Soal Trigonometri Segitiga Siku-Siku

Soalnya adalah: Diketahui segitiga KLM siku-siku di L. Jika KL = 12 cm dan ∠K = 60°, tentukan nilai dari ekspresi trigonometri berikut:

$\frac{\sin M \cos M - 1}{\tan^2 M}$

Wah, kelihatannya rumit ya? Tapi tenang, guys! Kita akan pecahkan soal ini bersama-sama. Yuk, kita mulai!

Memahami Konsep Dasar Trigonometri

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita refresh dulu konsep dasar trigonometri. Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga. Khususnya, kita akan fokus pada segitiga siku-siku.

Perbandingan Trigonometri Dasar

Pada segitiga siku-siku, ada tiga perbandingan trigonometri dasar yang perlu kita ingat:

• Sinus (sin): Perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi miring.
• Cosinus (cos): Perbandingan antara sisi samping sudut dengan sisi miring.
• Tangen (tan): Perbandingan antara sisi depan sudut dengan sisi samping.

Rumusnya adalah sebagai berikut:

• sin (sudut) = sisi depan / sisi miring
• cos (sudut) = sisi samping / sisi miring
• tan (sudut) = sisi depan / sisi samping

Selain itu, kita juga perlu mengingat hubungan identitas trigonometri, seperti:

• tan (sudut) = sin (sudut) / cos (sudut)
• sin² (sudut) + cos² (sudut) = 1

Konsep-konsep ini akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal ini. Jadi, pastikan kalian sudah paham ya, guys!

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal

Sekarang, mari kita pecahkan soal yang diberikan langkah demi langkah. Ini dia langkah-langkahnya:

1. Menggambar Segitiga KLM

Langkah pertama yang penting adalah menggambar segitiga KLM siku-siku di L. Ini akan membantu kita memvisualisasikan soal dan memahami hubungan antara sudut dan sisi.

• Buatlah garis horizontal sebagai alas segitiga. Titik di ujung kiri kita beri nama L (karena siku-siku di L).
• Buatlah garis vertikal dari titik L ke atas. Ini adalah sisi tegak segitiga.
• Hubungkan ujung garis vertikal dengan titik di ujung kanan alas. Kita beri nama titik ini K.
• Titik di atas kita beri nama M. Sekarang kita punya segitiga KLM siku-siku di L.

2. Menentukan Panjang Sisi KM

Kita tahu KL = 12 cm dan ∠K = 60°. Kita perlu mencari panjang sisi KM (sisi miring) terlebih dahulu. Kita bisa menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.

cos K = sisi samping / sisi miring

cos 60° = KL / KM

Kita tahu cos 60° = 1/2 dan KL = 12 cm, jadi:

1/2 = 12 / KM

KM = 12 * 2 = 24 cm

Jadi, panjang sisi KM adalah 24 cm.

3. Menentukan Panjang Sisi LM

Selanjutnya, kita cari panjang sisi LM (sisi depan sudut K). Kita bisa menggunakan perbandingan trigonometri sinus.

sin K = sisi depan / sisi miring

sin 60° = LM / KM

Kita tahu sin 60° = √3/2 dan KM = 24 cm, jadi:

√3/2 = LM / 24

LM = (√3/2) * 24 = 12√3 cm

Jadi, panjang sisi LM adalah 12√3 cm.

4. Menentukan Sudut M

Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°, kita bisa menentukan besar sudut M.

∠L + ∠K + ∠M = 180°

90° + 60° + ∠M = 180°

∠M = 180° - 90° - 60° = 30°

Jadi, besar sudut M adalah 30°.

5. Menghitung Nilai sin M, cos M, dan tan M

Sekarang kita sudah punya semua informasi yang dibutuhkan untuk menghitung nilai sin M, cos M, dan tan M.

sin M = sisi depan / sisi miring = KL / KM = 12 / 24 = 1/2

cos M = sisi samping / sisi miring = LM / KM = (12√3) / 24 = √3/2

tan M = sisi depan / sisi samping = KL / LM = 12 / (12√3) = 1/√3 = √3/3

6. Mensubstitusikan Nilai ke dalam Ekspresi

Akhirnya, kita bisa substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi yang diberikan:

$\frac{\sin M \cos M - 1}{\tan^2 M}$ = $\frac{(1/2)(\sqrt{3}/2) - 1}{(\sqrt{3}/3)^2}$

Mari kita sederhanakan:

= $\frac{\sqrt{3}/4 - 1}{3/9}$

= $\frac{\sqrt{3}/4 - 1}{1/3}$

Untuk menghilangkan pecahan di pembilang, kita kalikan dengan 4:

= $\frac{\sqrt{3} - 4}{4} * 3$

= $\frac{3(\sqrt{3} - 4)}{4}$

Jadi, nilai dari ekspresi trigonometri tersebut adalah $\frac{3(\sqrt{3} - 4)}{4}$.

Kesimpulan dan Tips

Nah, guys, kita sudah berhasil menyelesaikan soal ini! Kuncinya adalah memahami konsep dasar trigonometri, menggambar segitiga untuk visualisasi, dan teliti dalam perhitungan. Trigonometri memang seru ya, apalagi kalau kita bisa memecahkan soal-soal yang menantang.

Tips tambahan:

• Latihan soal: Semakin banyak latihan, semakin mahir kita dalam menyelesaikan soal trigonometri.
• Gunakan identitas trigonometri: Identitas trigonometri bisa membantu menyederhanakan perhitungan.
• Perhatikan sudut istimewa: Sudut-sudut seperti 30°, 45°, dan 60° memiliki nilai trigonometri yang mudah diingat.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya jika ada yang belum jelas. Sampai jumpa di pembahasan soal matematika lainnya! Tetap semangat belajar!