Menyelesaikan Soal Matematika Variabel Acak Kontinu

Halo, teman-teman pecinta matematika! Kali ini kita akan bedah tuntas sebuah soal yang mungkin bikin pusing tujuh keliling, tapi tenang aja, kita akan hadapi bersama. Soal ini berkutat tentang variabel acak kontinu, yang mungkin terdengar rumit, tapi sebenarnya sangat menarik jika kita pahami konsep dasarnya. Kita akan fokus pada soal nomor 7.16 yang membahas tiga variabel acak, yaitu X, Y, dan Z, dengan fungsi kepadatan probabilitas bersama yang diberikan. Ada tiga poin penting yang harus kita cari: nilai konstanta c, fungsi marjinal dari Z, dan fungsi kepadatan probabilitas. Siap? Yuk, kita mulai petualangan kita di dunia probabilitas!

Mengenal Variabel Acak Kontinu dan Fungsi Kepadatan Probabilitas

Sebelum kita terjun ke soalnya, mari kita segarkan ingatan kita tentang apa itu variabel acak kontinu dan fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p.). Variabel acak kontinu adalah variabel yang bisa mengambil nilai apa saja dalam suatu rentang tertentu. Contohnya seperti tinggi badan, berat badan, atau suhu. Beda sama variabel diskrit yang nilainya cuma bisa dihitung (misalnya jumlah mobil atau jumlah siswa). Nah, karena variabel acak kontinu bisa mengambil nilai tak terhingga dalam sebuah interval, kita nggak bisa pakai fungsi massa probabilitas (f.m.p.) seperti pada variabel diskrit.

Di sinilah peran fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p.) atau probability density function (p.d.f.) masuk. f.k.p., yang biasa dilambangkan dengan $f(x)$ untuk satu variabel, $f(x,y)$ untuk dua variabel, atau $f(x,y,z)$ untuk tiga variabel seperti di soal kita, memberikan gambaran tentang seberapa mungkin suatu nilai acak muncul. Perlu diingat, nilai $f(x)$ itu sendiri bukan probabilitas. Probabilitas baru bisa didapat dengan mengintegralkan f.k.p. pada rentang tertentu. Ada dua syarat utama agar sebuah fungsi bisa disebut sebagai f.k.p.: pertama, nilainya harus selalu non-negatif ($f(x) gtr 0$); kedua, integral totalnya di seluruh domain harus sama dengan 1. Nah, syarat kedua ini yang bakal jadi kunci kita buat nyari nilai c di soal nanti. Jadi, kalau ketemu soal yang ada f.k.p. dengan konstanta yang belum diketahui, pastiin deh syarat integral totalnya sama dengan 1 itu kepake! Paham sampai sini, guys? Kalau udah, kita lanjut ke bagian inti soalnya ya.

(a) Menentukan Nilai Konstanta c**

Oke, sekarang kita masuk ke bagian pertama soal kita, yaitu mencari nilai konstanta c. Kita dikasih tahu bahwa fungsi kepadatan probabilitas bersama dari tiga variabel acak X, Y, dan Z adalah $f(x,y,z) = c$. Tapi, ini belum lengkap, ada syarat tambahan yang penting banget: $0 < x < y < z < 1$. Ini artinya, nilai X, Y, dan Z itu punya batasan yang saling terkait. X harus lebih besar dari 0 tapi lebih kecil dari Y, Y harus lebih kecil dari Z, dan Z harus lebih kecil dari 1. Ini membentuk sebuah daerah integrasi yang spesifik di ruang tiga dimensi.

Ingat syarat kedua fungsi kepadatan probabilitas yang kita bahas tadi? Integral totalnya harus sama dengan 1. Nah, ini saatnya kita pakai konsep itu. Karena kita punya tiga variabel acak kontinu, kita perlu melakukan integral lipat tiga. Batasan integralnya kita ambil dari syarat yang diberikan. Integral dari $f(x,y,z)$ terhadap $x$, $y$, dan $z$ di seluruh domainnya harus sama dengan 1. Jadi, kita bisa tuliskan sebagai:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = 1$$

Sekarang, kita substitusikan batasan yang ada: $0 < x < y < z < 1$. Ini berarti:

• Z bergerak dari 0 sampai 1.
• Untuk setiap nilai Z, Y bergerak dari 0 sampai Z.
• Untuk setiap nilai Y, X bergerak dari 0 sampai Y.

Jadi, integralnya menjadi:

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} c \, dx \, dy \, dz = 1$$

Sekarang, mari kita hitung integralnya langkah demi langkah, mulai dari dalam:

1. Integral terhadap $x$: $\int_{0}^{y} c \, dx = c[x]_{0}^{y} = c(y - 0) = cy$
2. Sekarang, hasil ini kita integralkan terhadap $y$: $\int_{0}^{z} cy \, dy = c \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{z} = c \left( \frac{z^2}{2} - 0 \right) = \frac{c}{2} z^2$
3. Terakhir, hasil ini kita integralkan terhadap $z$: $\int_{0}^{1} \frac{c}{2} z^2 \, dz = \frac{c}{2} \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{c}{2} \left( \frac{1^3}{3} - 0 \right) = \frac{c}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{c}{6}$

Karena hasil integral totalnya harus sama dengan 1, maka:

$$\frac{c}{6} = 1$$

Dari sini, kita bisa langsung dapat nilai c:

$$c = 6$$

Jadi, nilai konstanta c yang memenuhi adalah 6. Keren, kan? Kita berhasil menyelesaikan bagian pertama soal ini hanya dengan menggunakan sifat dasar dari fungsi kepadatan probabilitas. Ingat ya, guys, integral total f.k.p. itu selalu 1! Ini adalah konsep fundamental yang sering banget muncul di berbagai soal probabilitas.

(b) Mencari Fungsi Marjinal dari Z

Lanjut ke bagian kedua, kita diminta untuk mencari fungsi marjinal dari Z. Fungsi marjinal ini penting banget karena memberitahu kita distribusi probabilitas dari satu variabel saja, tanpa mempedulikan variabel lainnya. Kalau kita punya fungsi kepadatan probabilitas bersama $f(x,y,z)$ untuk tiga variabel, untuk mendapatkan fungsi kepadatan probabilitas marjinal dari Z, yaitu $f_Z(z)$, kita perlu mengintegralkan fungsi bersama tersebut terhadap variabel lainnya, yaitu X dan Y.

Fungsi marjinal dari Z didefinisikan sebagai:

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \, dx \, dy$$

Kita sudah tahu bahwa $f(x,y,z) = c = 6$ dan domainnya adalah $0 < x < y < z < 1$. Jadi, kita perlu mengintegralkan $f(x,y,z)$ terhadap $x$ dan $y$ dengan batasan yang sesuai. Batasan untuk $z$ adalah $0 < z < 1$. Nah, untuk $x$ dan $y$, kita harus perhatikan hubungannya dengan $z$ dan satu sama lain. Dari $0 < x < y < z$, kita tahu bahwa:

• $y$ harus lebih kecil dari $z$ ($y < z$) dan lebih besar dari $x$ ($y > x$). Karena $x$ minimal 0, maka $y$ minimal harus lebih besar dari 0. Jadi, $0 < y < z$.
• $x$ harus lebih kecil dari $y$ ($x < y$) dan lebih besar dari 0 ($x > 0$). Jadi, $0 < x < y$.

Dengan demikian, integralnya menjadi:

$$f_Z(z) = \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} 6 \, dx \, dy$$

Sekarang, kita hitung integralnya:

1. Integral terhadap $x$: $\int_{0}^{y} 6 \, dx = 6[x]_{0}^{y} = 6(y - 0) = 6y$
2. Hasilnya kita integralkan terhadap $y$: $\int_{0}^{z} 6y \, dy = 6 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{z} = 6 \left( \frac{z^2}{2} - 0 \right) = 3z^2$

Jadi, fungsi kepadatan probabilitas marjinal dari Z adalah:

$$f_Z(z) = 3z^2$$

Tapi, jangan lupa! Fungsi ini hanya berlaku dalam domain yang sesuai. Berdasarkan batasan awal $0 < x < y < z < 1$, nilai $z$ itu sendiri dibatasi antara 0 dan 1. Maka, fungsi marjinal dari Z adalah:

$$f_Z(z) = \begin{cases} 3z^2 & \text{untuk } 0 < z < 1 \\ 0 & \text{selain itu} \end{cases}$$

Hati-hati ya, guys! Selalu perhatikan domain dari setiap fungsi yang kita cari. Domain ini krusial untuk memastikan bahwa fungsi yang kita dapatkan itu valid. Dengan mendapatkan $f_Z(z)$, kita sekarang tahu bagaimana probabilitas Z tersebar dalam rentang 0 sampai 1, tanpa perlu memikirkan nilai X dan Y.

(c) Menentukan Fungsi Kepadatan Probabilitas (f.k.p.) Gabungan X dan Y

Bagian terakhir dari soal ini adalah mencari fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p.) gabungan dari X dan Y, atau biasa disebut fungsi kepadatan probabilitas marjinal dari X dan Y, yaitu $f_{XY}(x,y)$. Berbeda dengan mencari fungsi marjinal Z yang kita integralkan terhadap X dan Y, kali ini kita akan mengintegralkan fungsi kepadatan probabilitas bersama $f(x,y,z)$ terhadap variabel yang tidak kita inginkan dalam hasil akhir, yaitu Z.

Fungsi kepadatan probabilitas marjinal dari X dan Y didefinisikan sebagai:

$$f_{XY}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y,z) \, dz$$

Kita punya $f(x,y,z) = 6$ dan domainnya $0 < x < y < z < 1$. Nah, di sini kita perlu hati-hati menentukan batasan integral untuk $z$. Variabel $z$ itu sendiri dibatasi oleh $z < 1$. Selain itu, $z$ juga harus lebih besar dari $y$ (karena $y < z$). Jadi, batasan integral untuk $z$ adalah dari $y$ sampai 1.

Dengan demikian, integralnya menjadi:

$$f_{XY}(x,y) = \int_{y}^{1} 6 \, dz$$

Mari kita hitung integralnya:

$$f_{XY}(x,y) = 6[z]_{y}^{1} = 6(1 - y)$$

Sama seperti sebelumnya, kita perlu menentukan domain di mana fungsi ini berlaku. Batasan aslinya adalah $0 < x < y < z < 1$. Dari sini, kita bisa tentukan batasan untuk $x$ dan $y$:

• $y$ harus lebih kecil dari 1 ($y < 1$) dan lebih besar dari $x$ ($y > x$).
• $x$ harus lebih besar dari 0 ($x > 0$) dan lebih kecil dari $y$ ($x < y$).

Jadi, domain untuk $f_{XY}(x,y)$ adalah $0 < x < y < 1$. Maka, fungsi kepadatan probabilitas gabungan dari X dan Y adalah:

$$f_{XY}(x,y) = \begin{cases} 6(1 - y) & \text{untuk } 0 < x < y < 1 \\ 0 & \text{selain itu} \end{cases}$$

Selamat! Kita sudah berhasil menyelesaikan ketiga bagian dari soal 7.16 ini. Kita sudah menemukan nilai c, fungsi marjinal dari Z, dan fungsi kepadatan probabilitas gabungan X dan Y. Memang soal-soal seperti ini butuh ketelitian dan pemahaman yang baik tentang konsep integral dan definisi fungsi kepadatan probabilitas. Tapi, kalau sudah terbiasa, pasti akan terasa lebih mudah. Terus semangat belajar matematika, ya! Kalau ada soal lain yang mau dibahas, jangan ragu kasih tahu!