Newton-Raphson: Solusi Persamaan Non-Linear, 2 Iterasi
Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang kelihatannya rumit banget, kayak sistem persamaan non-linear? Nah, kali ini kita bakal bahas cara menyelesaikannya dengan metode yang keren abis, yaitu Metode Newton-Raphson. Metode ini tuh kayak jurus jitu buat mecahin persamaan yang susah dipecahin pake cara biasa. Kita bakal fokus gimana cara pakai metode ini buat nyelesain sistem persamaan non-linear, khususnya dengan dua iterasi. Jadi, siap-siap ya buat nyerap ilmu baru!
Apa Itu Metode Newton-Raphson?
Sebelum kita masuk ke contoh soal, kenalan dulu yuk sama Metode Newton-Raphson. Jadi, metode ini tuh metode iteratif yang digunakan buat nyari akar (solusi) dari suatu fungsi. Singkatnya, kita mulai dengan tebakan awal, terus kita perbaiki tebakan itu langkah demi langkah sampe kita dapet solusi yang akurat. Keren kan? Metode ini sangat berguna dalam berbagai bidang, mulai dari teknik, fisika, sampe ekonomi.
Kenapa Metode Newton-Raphson Penting?
Metode ini penting banget karena banyak persamaan dalam dunia nyata itu non-linear, alias gak bisa diselesain pake cara aljabar biasa. Bayangin aja, persamaan yang ngedeskripsiin gerak planet, reaksi kimia, atau model ekonomi, seringkali bentuknya rumit banget. Nah, di sinilah Metode Newton-Raphson jadi pahlawan. Metode ini memungkinkan kita buat mengaproksimasi solusi dengan tingkat akurasi yang tinggi, meskipun persamaannya kompleks banget.
Contoh Soal: Sistem Persamaan Non-Linear
Oke, sekarang kita masuk ke contoh soal yang udah disebutin tadi. Kita punya sistem persamaan non-linear kayak gini:
- x² - y = 3
- x + y = 5
Target kita adalah nyari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan ini. Kelihatannya challenging, kan? Tapi tenang, dengan Metode Newton-Raphson, kita bisa taklukkin soal ini!
Langkah 1: Ubah ke Bentuk Fungsi
Langkah pertama, kita ubah dulu sistem persamaan ini ke bentuk fungsi. Kita definisiin dua fungsi:
- f₁(x, y) = x² - y - 3
- f₂(x, y) = x + y - 5
Jadi, nyari solusi sistem persamaan ini sama aja kayak nyari nilai x dan y yang bikin f₁(x, y) = 0 dan f₂(x, y) = 0.
Langkah 2: Hitung Turunan Parsial
Nah, ini bagian yang sedikit tricky. Kita perlu ngitung turunan parsial dari kedua fungsi tadi terhadap x dan y. Turunan parsial ini bakal kita pake buat nyusun matriks Jacobian. Jangan panik dulu kalo istilahnya kedengeran asing, intinya kita cuma perlu ngitung turunan biasa, tapi kita anggap variabel lain sebagai konstanta. Hasilnya:
- ∂f₁/∂x = 2x
- ∂f₁/∂y = -1
- ∂f₂/∂x = 1
- ∂f₂/∂y = 1
Langkah 3: Susun Matriks Jacobian
Matriks Jacobian itu matriks yang isinya turunan parsial yang udah kita hitung tadi. Bentuknya kayak gini:
J(x, y) = | 2x -1 | | 1 1 |
Matriks ini penting banget karena bakal kita pake buat iterasi selanjutnya.
Langkah 4: Tentukan Tebakan Awal
Metode Newton-Raphson itu metode iteratif, jadi kita butuh tebakan awal. Tebakan awal ini bisa ngaruh ke kecepatan konvergensi (seberapa cepet kita dapet solusi). Untuk soal ini, kita coba tebak x = 1 dan y = 1. Tebakan ini gak harus akurat banget, tapi makin deket sama solusi, makin bagus.
Langkah 5: Iterasi Pertama
Oke, sekarang kita masuk ke iterasi pertama. Rumus iterasi Newton-Raphson buat sistem persamaan adalah:
[xₙ₊₁, yₙ₊₁] = [xₙ, yₙ] - J(xₙ, yₙ)⁻¹ * [f₁(xₙ, yₙ), f₂(xₙ, yₙ)]
Wih, rumusnya keliatan serem ya? Tapi tenang, kita pecah pelan-pelan. Intinya, kita ngitung nilai x dan y yang baru (xₙ₊₁ dan yₙ₊₁) berdasarkan nilai x dan y sebelumnya (xₙ dan yₙ), matriks Jacobian, dan nilai fungsi f₁ dan f₂.
5.1. Hitung Nilai Fungsi dan Matriks Jacobian
Pertama, kita hitung nilai fungsi f₁ dan f₂ di titik tebakan awal (1, 1):
- f₁(1, 1) = 1² - 1 - 3 = -3
- f₂(1, 1) = 1 + 1 - 5 = -3
Terus, kita hitung matriks Jacobian di titik yang sama:
J(1, 1) = | 2 -1 | | 1 1 |
5.2. Hitung Invers Matriks Jacobian
Selanjutnya, kita perlu ngitung invers dari matriks Jacobian. Invers matriks 2x2 bisa dihitung pake rumus:
| a b |⁻¹ = 1/(ad - bc) * | d -b | | c d | | -c a |
Jadi, invers dari matriks Jacobian kita adalah:
J(1, 1)⁻¹ = 1/(2*1 - (-1)*1) * | 1 1 | | -1 2 |
= 1/3 * | 1 1 |
| -1 2 |
5.3. Aplikasi Rumus Iterasi
Nah, sekarang kita punya semua yang kita butuhin buat ngitung iterasi pertama:
[x₁, y₁] = [1, 1] - 1/3 * | 1 1 | * [-3, -3] | -1 2 |
Kita kaliin dulu matriks sama vektor:
| 1 1 | * [-3, -3] = [-6, -3] | -1 2 |
Terus, kita kaliin sama 1/3:
1/3 * [-6, -3] = [-2, -1]
Terakhir, kita kurangin dari tebakan awal:
[x₁, y₁] = [1, 1] - [-2, -1] = [3, 2]
Jadi, hasil iterasi pertama kita adalah x = 3 dan y = 2.
Langkah 6: Iterasi Kedua
Kita ulangin langkah 5 dengan tebakan awal yang baru, yaitu x = 3 dan y = 2.
6.1. Hitung Nilai Fungsi dan Matriks Jacobian
- f₁(3, 2) = 3² - 2 - 3 = 4
- f₂(3, 2) = 3 + 2 - 5 = 0
J(3, 2) = | 6 -1 | | 1 1 |
6.2. Hitung Invers Matriks Jacobian
J(3, 2)⁻¹ = 1/(6*1 - (-1)*1) * | 1 1 | | -1 6 |
= 1/7 * | 1 1 |
| -1 6 |
6.3. Aplikasi Rumus Iterasi
[x₂, y₂] = [3, 2] - 1/7 * | 1 1 | * [4, 0] | -1 6 |
Kita kaliin dulu matriks sama vektor:
| 1 1 | * [4, 0] = [4, -4] | -1 6 |
Terus, kita kaliin sama 1/7:
1/7 * [4, -4] = [4/7, -4/7]
Terakhir, kita kurangin dari tebakan awal:
[x₂, y₂] = [3, 2] - [4/7, -4/7] = [17/7, 18/7]
Jadi, hasil iterasi kedua kita adalah x ≈ 2.43 dan y ≈ 2.57.
Kesimpulan
Setelah dua iterasi, kita dapet solusi aproksimasi x ≈ 2.43 dan y ≈ 2.57. Guys, perlu diingat bahwa ini cuma aproksimasi, dan kita bisa dapet solusi yang lebih akurat dengan iterasi yang lebih banyak. Tapi, dengan dua iterasi aja, kita udah deket banget sama solusi aslinya. Metode Newton-Raphson emang powerful banget buat nyelesain sistem persamaan non-linear!
Semoga penjelasan ini bermanfaat ya! Jangan ragu buat latihan soal-soal lain, biar makin jago pake Metode Newton-Raphson. Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!