Nilai Invers Komposisi Fungsi F(x) Dan G(x)

Halo, guys! Kali ini kita bakal ngobrolin soal matematika yang seru banget, yaitu tentang fungsi komposisi dan inversnya. Buat kalian yang lagi pusing tujuh keliling mikirin soal kayak gini, tenang aja! Kita bakal kupas tuntas sampai kalian ngerti luar dalem. Langsung aja yuk, kita bahas soal: Diketahui $f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = 4x-3$, tentukan $(f ext{ o } g)^{-1}(4)?$ Wah, kelihatannya rumit ya? Tapi tenang, kita bisa kok ngerjainnya bareng-bareng. Pastiin kalian siapin catatan dan pena biar nggak ketinggalan poin pentingnya!

Memahami Konsep Fungsi Komposisi dan Invers

Sebelum kita terjun ke penyelesaian soalnya, penting banget buat kita pahamin dulu apa sih sebenernya fungsi komposisi dan invers itu. Anggap aja fungsi komposisi itu kayak kerja bareng dua fungsi. Jadi, output dari satu fungsi jadi input buat fungsi yang lain. Nah, kalau fungsi invers itu kebalikannya. Dia bakal ngembaliin nilai input semula dari sebuah output. Jadi, kalau tadi $f(x)$ masukin nilai $x$ terus jadi $y$, nah inversnya si $f^{-1}(y)$ bakal ngembaliin lagi jadi $x$. Gampangnya gini, kalau fungsi itu kayak 'pergi', inversnya itu 'pulang'.

Dalam soal ini, kita punya dua fungsi, yaitu $f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = 4x-3$. Nah, yang diminta itu $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$. Apa artinya ini? Pertama, kita harus cari dulu hasil dari komposisi $f(x)$ dan $g(x)$, yang ditulis sebagai $(f ext{ o } g)(x)$. Ini artinya, kita masukin dulu $g(x)$ ke dalam $f(x)$. Jadi, di mana pun ada $x$ di fungsi $f(x)$, kita ganti pake semua bentuk dari $g(x)$. Setelah dapet hasil komposisinya, baru deh kita cari inversnya. Dan terakhir, baru kita masukin angka 4 ke fungsi invers hasil komposisi tadi. Udah kebayang kan alurnya? Jangan panik dulu, kita bakal jabarin langkah demi langkah biar makin jelas.

Supaya makin pede, yuk kita ulang sebentar konsep dasarnya. Fungsi komposisi $(f ext{ o } g)(x)$ itu sama dengan $f(g(x))$. Ini berarti nilai $g(x)$ dimasukkan ke dalam fungsi $f$. Sementara itu, fungsi invers $(f ext{ o } g)^{-1}(y)$ adalah fungsi yang mengembalikan hasil komposisi ke nilai awalnya. Jadi, kalau $(f ext{ o } g)(x) = y$, maka $(f ext{ o } g)^{-1}(y) = x$. Konsep ini sangat fundamental dan jadi kunci utama kita dalam menyelesaikan soal ini. Menguasai konsep ini akan membuat soal-soal matematika lainnya terasa lebih mudah, lho!

Jadi, sekali lagi, kita punya $f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = 4x-3$. Tugas kita adalah menemukan nilai dari $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$. Ini berarti kita mencari nilai $x$ sedemikian rupa sehingga ketika dimasukkan ke dalam fungsi komposisi $(f ext{ o } g)(x)$, hasilnya adalah 4. Atau dengan kata lain, kita mencari nilai $x$ sehingga $(f ext{ o } g)(x) = 4$. Nanti, nilai $x$ yang kita temukan itulah yang menjadi jawaban dari $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$. Menarik, kan? Mari kita lanjutkan ke langkah berikutnya untuk menemukan jawabannya.

Langkah-langkah Menemukan Nilai $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$

Oke, guys, sekarang kita masuk ke bagian paling seru: solusi dari soal ini. Ingat, kita mau cari $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$. Ada dua cara nih buat ngerjainnya. Kalian bisa pilih mana yang paling nyaman buat kalian. Cara pertama, kita cari dulu fungsi komposisi $(f ext{ o } g)(x)$, terus kita cari inversnya, baru kita masukin angka 4. Cara kedua, kita bisa langsung aja manfaatin definisi invers. Jadi, kita anggap aja $(f ext{ o } g)^{-1}(4) = y$. Artinya, kalau kita masukin $y$ ke fungsi komposisi $(f ext{ o } g)(y)$, hasilnya harus 4. Nah, kita bakal pakai cara kedua ini karena biasanya lebih cepat dan nggak bikin pusing. Yuk, kita mulai!

Cara 1: Mencari Fungsi Komposisi, lalu Inversnya

Pertama, kita cari dulu $(f ext{ o } g)(x)$. Ingat, ini artinya $f(g(x))$.

$(f ext{ o } g)(x) = f(g(x))$

Karena $f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = 4x-3$, maka:

$(f ext{ o } g)(x) = 3(g(x)) + 2$

Sekarang, ganti $g(x)$ dengan $4x-3$:

$(f ext{ o } g)(x) = 3(4x-3) + 2$

Buka kurungnya, guys:

$(f ext{ o } g)(x) = 12x - 9 + 2$

Jadi, hasil fungsi komposisinya adalah:

$(f ext{ o } g)(x) = 12x - 7$

Nah, sekarang kita punya fungsi komposisi baru, yaitu $h(x) = 12x - 7$. Tugas kita selanjutnya adalah mencari invers dari fungsi ini, yaitu $h^{-1}(x)$ atau $(f ext{ o } g)^{-1}(x)$.

Untuk mencari inversnya, kita misalkan $y = h(x)$. Jadi:

$y = 12x - 7$

Sekarang, kita perlu mengubah persamaan ini agar $x$ menjadi subjek utama. Tambahkan 7 ke kedua sisi:

$y + 7 = 12x$

Kemudian, bagi kedua sisi dengan 12:

rac{y + 7}{12} = x

Jadi, invers dari fungsi $h(x)$ adalah h^{-1}(y) = rac{y + 7}{12}. Kalau kita tulis dalam bentuk $x$, maka (f ext{ o } g)^{-1}(x) = rac{x + 7}{12}.

Terakhir, kita tinggal masukin angka 4 ke dalam fungsi invers ini:

(f ext{ o } g)^{-1}(4) = rac{4 + 7}{12}

(f ext{ o } g)^{-1}(4) = rac{11}{12}

Gimana? Gampang kan kalau udah tau caranya? Jadi, hasil dari $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$ adalah rac{11}{12}.

Cara 2: Menggunakan Definisi Invers Secara Langsung

Cara ini sedikit berbeda, tapi hasilnya bakal sama persis. Kita tahu bahwa kita mau cari $(f ext{ o } g)^{-1}(4)$. Nah, kita bisa misalkan nilai ini sebagai $y$. Jadi:

$(f ext{ o } g)^{-1}(4) = y$

Menurut definisi fungsi invers, ini artinya sama dengan:

$(f ext{ o } g)(y) = 4$

Sekarang, kita jabarkan $(f ext{ o } g)(y)$. Ingat, ini berarti $f(g(y))$.

$f(g(y)) = 4$

Kita tahu $g(y) = 4y - 3$. Jadi, kita substitusikan ini ke dalam $f(x)$. Ingat, $f(x) = 3x + 2$. Jadi, $f(g(y))$ artinya kita ganti $x$ di $f(x)$ dengan $g(y)$:

$3(g(y)) + 2 = 4$

Sekarang, substitusikan bentuk $g(y)$ yaitu $4y - 3$ ke dalam persamaan:

$3(4y - 3) + 2 = 4$

Buka kurungnya, guys:

$12y - 9 + 2 = 4$

Sederhanakan:

$12y - 7 = 4$

Sekarang, kita selesaikan untuk $y$. Tambahkan 7 ke kedua sisi:

$12y = 4 + 7$

$12y = 11$

Terakhir, bagi kedua sisi dengan 12:

y = rac{11}{12}

Karena kita tadi memisalkan $(f ext{ o } g)^{-1}(4) = y$, maka hasilnya adalah:

(f ext{ o } g)^{-1}(4) = rac{11}{12}

Lihat kan? Hasilnya sama persis! Cara ini jauh lebih efisien terutama kalau angkanya tidak terlalu