Nilai Minimum Fungsi Objektif: Cara Menghitungnya!

by ADMIN 51 views

Kalian pernah gak sih denger tentang fungsi objektif? Atau mungkin lagi pusing nih sama soal matematika yang satu ini? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas tentang cara mencari nilai minimum dari fungsi objektif, khususnya dalam konteks daerah penyelesaian yang dibatasi oleh beberapa pertidaksamaan. Jadi, buat kalian yang lagi belajar program linear atau lagi nyiapin ujian, simak baik-baik ya!

Memahami Fungsi Objektif dan Daerah Penyelesaian

Sebelum kita masuk ke cara menghitungnya, penting banget buat kita paham dulu apa itu fungsi objektif dan daerah penyelesaian. Anggap aja gini, fungsi objektif itu kayak tujuan utama kita dalam suatu masalah. Biasanya, tujuan ini pengen kita maksimalkan (misalnya, keuntungan) atau kita minimalkan (misalnya, biaya). Nah, fungsi objektif ini bentuknya persamaan linear, contohnya kayak z = 4x + 5y, seperti yang ada di soal kita.

Terus, apa itu daerah penyelesaian? Daerah penyelesaian ini adalah kumpulan titik-titik (x, y) yang memenuhi semua pertidaksamaan yang diberikan. Pertidaksamaan ini kayak batasan-batasan gitu, misalnya x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0. Jadi, daerah penyelesaian ini bisa dibilang area di grafik yang isinya titik-titik yang 'sah' buat kita pakai.

Langkah-langkah Menentukan Nilai Minimum

Oke, sekarang kita udah ngerti konsep dasarnya. Gimana sih cara nyari nilai minimum dari fungsi objektif di daerah penyelesaian? Tenang, guys, caranya gak sesulit yang dibayangin kok. Kita ikutin langkah-langkah ini ya:

  1. Gambar Daerah Penyelesaian

    • Ini langkah pertama dan penting banget! Kita harus bisa visualisasikan daerah penyelesaiannya dulu. Caranya, gambar grafik dari setiap pertidaksamaan.
    • Untuk setiap pertidaksamaan, ubah dulu jadi persamaan (misalnya, x + y ≥ 8 jadi x + y = 8). Terus, gambar garisnya di koordinat kartesius.
    • Ingat ya, kalau pertidaksamaannya ada tanda '≥' atau '≤', garisnya digambar penuh. Kalau tandanya '>' atau '<', garisnya putus-putus.
    • Setelah itu, tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan. Caranya gampang kok, tinggal uji titik aja. Pilih sembarang titik di luar garis (misalnya, titik (0,0)), terus masukin ke pertidaksamaannya. Kalau pertidaksamaannya benar, berarti daerah yang ada titik itu yang kita arsir. Kalau salah, berarti daerah sebaliknya.
    • Lakukan ini untuk semua pertidaksamaan. Nanti, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang kena arsiran dari semua pertidaksamaan.

  2. Tentukan Titik-Titik Pojok

    • Titik pojok adalah titik-titik yang jadi 'sudut' di daerah penyelesaian. Biasanya, titik pojok ini adalah perpotongan antara dua garis batas daerah penyelesaian.
    • Cara nyari titik potongnya gimana? Ya tinggal selesaikan aja sistem persamaan linear dari dua garis yang berpotongan itu. Bisa pakai metode substitusi, eliminasi, atau campuran.

  3. Hitung Nilai Fungsi Objektif di Setiap Titik Pojok

    • Nah, ini inti dari pencarian nilai minimum kita. Setelah dapat semua titik pojok, kita hitung nilai fungsi objektif (z = 4x + 5y dalam kasus ini) di setiap titik pojok.
    • Caranya, tinggal masukin nilai x dan y dari setiap titik pojok ke dalam fungsi objektif.

  4. Pilih Nilai Minimum

    • Setelah kita dapat nilai fungsi objektif di semua titik pojok, tinggal kita bandingkan aja. Nilai yang paling kecil itulah nilai minimum dari fungsi objektif kita.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin jelas, kita coba bahas soal yang tadi, yuk! Kita mau cari nilai minimum dari fungsi objektif z = 4x + 5y dengan batasan:

  • x + y ≥ 8
  • x + 2y ≥ 12
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

  1. Gambar Daerah Penyelesaian

    • Kita gambar garis x + y = 8 dan x + 2y = 12. Jangan lupa juga garis x = 0 (sumbu y) dan y = 0 (sumbu x).
    • Uji titik (0,0) ke x + y ≥ 8, hasilnya 0 ≥ 8 (salah). Jadi, daerah yang diarsir adalah daerah yang gak ada titik (0,0).
    • Uji titik (0,0) ke x + 2y ≥ 12, hasilnya 0 ≥ 12 (salah). Jadi, daerah yang diarsir juga daerah yang gak ada titik (0,0).
    • Daerah x ≥ 0 berarti daerah di kanan sumbu y, dan y ≥ 0 berarti daerah di atas sumbu x.
    • Nanti, daerah penyelesaiannya bakal keliatan kayak bidang yang gak terbatas di kuadran pertama.

  2. Tentukan Titik-Titik Pojok

    • Kita punya tiga titik pojok di daerah penyelesaian ini: perpotongan garis x + y = 8 dan x = 0, perpotongan garis x + 2y = 12 dan x = 0, dan perpotongan garis x + y = 8 dan x + 2y = 12.
    • Perpotongan x + y = 8 dan x = 0: substitusi x = 0 ke x + y = 8, dapat y = 8. Jadi, titiknya (0, 8).
    • Perpotongan x + 2y = 12 dan x = 0: substitusi x = 0 ke x + 2y = 12, dapat y = 6. Jadi, titiknya (0, 6).
    • Perpotongan x + y = 8 dan x + 2y = 12: kita eliminasi x. Kurangkan kedua persamaan, dapat y = 4. Substitusi y = 4 ke x + y = 8, dapat x = 4. Jadi, titiknya (4, 4).

  3. Hitung Nilai Fungsi Objektif di Setiap Titik Pojok

    • Titik (0, 8): z = 4(0) + 5(8) = 40
    • Titik (0, 6): z = 4(0) + 5(6) = 30
    • Titik (4, 4): z = 4(4) + 5(4) = 36

  4. Pilih Nilai Minimum

    • Dari perhitungan di atas, nilai minimum fungsi objektif adalah 30, yang terjadi di titik (0, 6).

Tips dan Trik Tambahan

  • Teliti dalam Menggambar Grafik: Salah gambar grafik, bisa salah semua! Pastikan garisnya lurus, daerahnya diarsir dengan benar, dan titik potongnya dihitung dengan teliti.
  • Uji Titik Pojok yang 'Mencurigakan': Kadang, ada titik pojok yang keliatan gak mungkin jadi minimum atau maksimum. Tapi, tetep aja diuji ya, buat mastiin.
  • Pahami Konsep Program Linear: Kalau konsep dasarnya udah kuat, soal apapun jadi lebih gampang dikerjain.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, cara mencari nilai minimum dari fungsi objektif dalam program linear. Kuncinya adalah paham konsep, teliti dalam menghitung, dan banyak latihan soal. Dengan begitu, soal-soal kayak gini bakal jadi makanan sehari-hari buat kalian. Semangat terus belajarnya, ya! Jangan lupa, matematika itu seru kok, asal kita mau nyoba dan gak nyerah! Good luck!