Operasi Tertutup Pada Himpunan S: Buktikan!

Kalian pasti sering denger istilah operasi tertutup dalam matematika, kan? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas tentang itu, khususnya dalam konteks himpunan bilangan real. Jadi, siapin kopi atau teh kalian, dan mari kita mulai!

Apa itu Operasi Tertutup?

Sebelum kita masuk ke soal yang diberikan, penting banget buat kita paham dulu apa sih yang dimaksud dengan operasi tertutup. Secara sederhana, operasi biner (seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian) dikatakan tertutup pada suatu himpunan jika hasil dari operasi tersebut selalu berada di dalam himpunan itu sendiri.

Misalnya, himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. Kalau kita jumlahkan dua bilangan bulat, hasilnya pasti bilangan bulat juga. Jadi, operasi penjumlahan itu tertutup pada himpunan bilangan bulat. Tapi, kalau kita ambil himpunan bilangan asli (bilangan bulat positif) dengan operasi pengurangan, ini nggak selalu tertutup. Contohnya, 2 - 5 = -3. Hasilnya bukan bilangan asli, jadi operasi pengurangan nggak tertutup pada himpunan bilangan asli.

Kenapa ini penting? Karena konsep ketertutupan ini fundamental dalam banyak struktur matematika, seperti grup, ring, dan field. Struktur-struktur ini punya aturan-aturan tertentu, dan salah satu aturannya adalah operasi yang didefinisikan di dalamnya harus tertutup.

Soal Kita: Himpunan S dan Operasi ∘

Sekarang, mari kita lihat soal yang diberikan. Kita punya himpunan $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1\}$, yang artinya himpunan semua bilangan real kecuali -1. Terus, kita punya operasi biner ∘ yang didefinisikan sebagai:

$$a \circ b = a + b + ab$$

Tugas kita adalah menunjukkan bahwa operasi ∘ ini bersifat tertutup pada himpunan S. Artinya, kita harus membuktikan bahwa jika a dan b adalah anggota himpunan S (yaitu, a ≠ -1 dan b ≠ -1), maka a ∘ b juga harus anggota himpunan S (yaitu, a ∘ b ≠ -1).

Pembuktian Ketertutupan

Oke, guys, sekarang kita masuk ke bagian inti, yaitu pembuktiannya. Gimana caranya kita membuktikan bahwa a ∘ b ≠ -1?

Kita mulai dengan mengasumsikan bahwa a dan b adalah anggota himpunan S. Ini berarti:

• $a \neq -1$
• $b \neq -1$

Kita mau membuktikan bahwa $a \circ b \neq -1$. Kita bisa menggunakan bukti kontradiksi. Jadi, kita asumsikan kebalikannya, yaitu $a \circ b = -1$. Kalau kita bisa menunjukkan bahwa asumsi ini membawa kita ke kontradiksi, berarti asumsi kita salah, dan yang benar adalah $a \circ b \neq -1$.

Asumsikan $a \circ b = -1$. Maka:

$$a + b + ab = -1$$

Kita coba manipulasi persamaan ini supaya kita bisa melihat sesuatu yang menarik. Tambahkan 1 ke kedua sisi persamaan:

$$a + b + ab + 1 = 0$$

Sekarang, kita bisa faktorkan ruas kiri persamaan:

$$(a + 1)(b + 1) = 0$$

Dari sini, kita dapatkan dua kemungkinan:

1. $a + 1 = 0$, yang berarti $a = -1$
2. $b + 1 = 0$, yang berarti $b = -1$

Tapi, ini kontradiksi dengan asumsi awal kita bahwa $a \neq -1$ dan $b \neq -1$. Jadi, asumsi kita bahwa $a \circ b = -1$ itu salah.

Karena asumsi kita salah, maka yang benar adalah $a \circ b \neq -1$. Ini berarti, jika a dan b adalah anggota himpunan S, maka a ∘ b juga anggota himpunan S. Dengan kata lain, operasi ∘ bersifat tertutup pada himpunan S.

Selesai! Kita berhasil membuktikan bahwa operasi ∘ bersifat tertutup pada himpunan S.

Contoh Soal dan Pembahasan

Biar makin mantap, kita coba bahas contoh soal ya.

Soal:

Misalkan $a = 2$ dan $b = 3$. Tentukan $a \circ b$ dan periksa apakah hasilnya termasuk dalam himpunan S.

Pembahasan:

Kita hitung $a \circ b$ menggunakan definisi operasi ∘:

$$a \circ b = a + b + ab = 2 + 3 + (2)(3) = 2 + 3 + 6 = 11$$

Karena 11 adalah bilangan real dan $11 \neq -1$, maka $a \circ b = 11$ termasuk dalam himpunan S.

Sifat-Sifat Lain dari Operasi ∘

Selain ketertutupan, ada beberapa sifat lain yang menarik dari operasi ∘ ini. Kita bisa cek apakah operasi ini bersifat komutatif, asosiatif, punya elemen identitas, atau punya invers.

Komutatif

Operasi ∘ bersifat komutatif jika $a \circ b = b \circ a$ untuk semua a dan b dalam S. Mari kita buktikan:

$$a \circ b = a + b + ab$$

$$b \circ a = b + a + ba$$

Karena penjumlahan dan perkalian bilangan real bersifat komutatif, maka $a + b = b + a$ dan $ab = ba$. Jadi:

$$a \circ b = a + b + ab = b + a + ba = b \circ a$$

Kesimpulan: Operasi ∘ bersifat komutatif.

Asosiatif

Operasi ∘ bersifat asosiatif jika $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ untuk semua a, b, dan c dalam S. Mari kita cek:

$$(a \circ b) \circ c = (a + b + ab) \circ c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c$$

$$= a + b + ab + c + ac + bc + abc$$

$$a \circ (b \circ c) = a \circ (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc)$$

$$= a + b + c + bc + ab + ac + abc$$

Karena penjumlahan bersifat komutatif, maka $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$.

Kesimpulan: Operasi ∘ bersifat asosiatif.

Elemen Identitas

Elemen identitas e adalah elemen sedemikian sehingga $a \circ e = a$ dan $e \circ a = a$ untuk semua a dalam S. Mari kita cari elemen identitasnya:

$$a \circ e = a + e + ae = a$$

Kurangkan a dari kedua sisi:

$$e + ae = 0$$

Faktorkan e:

$$e(1 + a) = 0$$

Karena $a \neq -1$, maka $1 + a \neq 0$. Jadi, satu-satunya solusi adalah $e = 0$.

Mari kita cek apakah 0 berfungsi sebagai elemen identitas:

$$a \circ 0 = a + 0 + a(0) = a$$

$$0 \circ a = 0 + a + 0(a) = a$$

Kesimpulan: Elemen identitas untuk operasi ∘ adalah 0.

Elemen Invers

Elemen invers $a^{-1}$ dari a adalah elemen sedemikian sehingga $a \circ a^{-1} = e$ dan $a^{-1} \circ a = e$, di mana e adalah elemen identitas. Dalam kasus ini, e = 0. Mari kita cari elemen inversnya:

$$a \circ a^{-1} = a + a^{-1} + aa^{-1} = 0$$

Kita mau mencari $a^{-1}$. Kita bisa atur ulang persamaan di atas:

$$a^{-1}(1 + a) = -a$$

$$a^{-1} = \frac{-a}{1 + a}$$

Kita perlu memastikan bahwa $a^{-1}$ juga termasuk dalam himpunan S, yaitu $a^{-1} \neq -1$. Jika $a^{-1} = -1$, maka:

$$\frac{-a}{1 + a} = -1$$

$$-a = -1 - a$$

$$0 = -1$$

Ini kontradiksi. Jadi, $a^{-1} \neq -1$ dan $a^{-1}$ termasuk dalam himpunan S.

Kesimpulan: Elemen invers dari a adalah $\frac{-a}{1 + a}$.

Kesimpulan Akhir

Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang operasi tertutup pada himpunan S dengan operasi ∘ yang didefinisikan sebagai $a \circ b = a + b + ab$. Kita sudah membuktikan bahwa operasi ini bersifat tertutup, komutatif, asosiatif, punya elemen identitas (0), dan punya elemen invers $\frac{-a}{1 + a}$. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan bikin kalian makin paham ya, guys! Jangan ragu buat tanya kalau ada yang masih bingung. Semangat terus belajarnya!