Peluang Bohlam Cacat: Soal Dan Pembahasan Matematika

by ADMIN 53 views
Iklan Headers

Hai guys! Kali ini kita akan membahas soal peluang yang sering banget muncul dalam matematika, khususnya tentang peluang kejadian binomial. Soal ini berkaitan dengan sebuah pabrik yang memproduksi bohlam lampu, dan kita akan mencari tahu peluang munculnya bohlam cacat. Penasaran? Yuk, kita bahas tuntas!

Soal Cerita: Pabrik Bohlam dan Inspeksi QC

Begini ceritanya: Sebuah pabrik memproduksi bohlam lampu. Dari data historis, diketahui bahwa rata-rata 20% dari bohlam yang diproduksi mengalami cacat (defektif). Nah, seorang inspektur Quality Control (QC) memilih 3 bohlam lampu secara acak dari lini produksi untuk diuji. Pertanyaannya adalah, berapa peluang dari 3 bohlam yang dipilih, ada sejumlah bohlam yang cacat?

Soal ini adalah contoh klasik dari distribusi binomial. Kenapa? Karena kita punya:

  • Sejumlah percobaan yang tetap (dalam hal ini, 3 bohlam dipilih).
  • Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil: bohlam cacat atau tidak cacat.
  • Peluang keberhasilan (mendapatkan bohlam cacat) sama untuk setiap percobaan (20% atau 0.2).
  • Percobaan-percobaan tersebut saling independen (hasil pemilihan satu bohlam tidak mempengaruhi hasil pemilihan bohlam lainnya).

Memahami Distribusi Binomial

Sebelum kita masuk ke perhitungan, penting banget untuk memahami konsep dasar distribusi binomial. Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang menggambarkan peluang sejumlah keberhasilan dalam sejumlah percobaan independen, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil (berhasil atau gagal).

Rumus umum untuk menghitung peluang dalam distribusi binomial adalah:

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Di mana:

  • P(X = k) adalah peluang mendapatkan tepat k keberhasilan dalam n percobaan.
  • (n choose k) adalah koefisien binomial, yang dihitung sebagai n! / (k! * (n - k)!), di mana ! adalah simbol faktorial (misalnya, 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1).
  • p adalah peluang keberhasilan dalam satu percobaan.
  • n adalah jumlah percobaan.
  • k adalah jumlah keberhasilan yang diinginkan.

Oke, sekarang kita sudah punya dasar teorinya. Mari kita terapkan rumus ini untuk menyelesaikan soal pabrik bohlam tadi.

Menganalisis Soal dan Menentukan Variabel

Dalam soal ini, kita punya:

  • n = 3 (jumlah bohlam yang dipilih)
  • p = 0.2 (peluang bohlam cacat)
  • Kita akan mencari peluang untuk berbagai kemungkinan jumlah bohlam cacat (k), yaitu 0, 1, 2, dan 3.

Sekarang, mari kita hitung peluangnya satu per satu.

1. Peluang Tidak Ada Bohlam Cacat (k = 0)

Kita akan menghitung P(X = 0), yaitu peluang tidak ada bohlam yang cacat dari 3 bohlam yang dipilih.

P(X = 0) = (3 choose 0) * (0.2)^0 * (1 - 0.2)^(3 - 0)

Mari kita pecah perhitungannya:

  • (3 choose 0) = 3! / (0! * 3!) = 1 (ingat, 0! = 1)
  • (0.2)^0 = 1 (bilangan apapun pangkat 0 adalah 1)
  • (1 - 0.2)^(3 - 0) = (0.8)^3 = 0.512

Jadi,

P(X = 0) = 1 * 1 * 0.512 = 0.512

Peluang tidak ada bohlam cacat adalah 0.512 atau 51.2%.

2. Peluang Satu Bohlam Cacat (k = 1)

Sekarang kita hitung P(X = 1), yaitu peluang ada satu bohlam cacat dari 3 bohlam yang dipilih.

P(X = 1) = (3 choose 1) * (0.2)^1 * (1 - 0.2)^(3 - 1)

Perhitungannya:

  • (3 choose 1) = 3! / (1! * 2!) = 3
  • (0.2)^1 = 0.2
  • (1 - 0.2)^(3 - 1) = (0.8)^2 = 0.64

Jadi,

P(X = 1) = 3 * 0.2 * 0.64 = 0.384

Peluang ada satu bohlam cacat adalah 0.384 atau 38.4%.

3. Peluang Dua Bohlam Cacat (k = 2)

Kita hitung P(X = 2), yaitu peluang ada dua bohlam cacat dari 3 bohlam yang dipilih.

P(X = 2) = (3 choose 2) * (0.2)^2 * (1 - 0.2)^(3 - 2)

Perhitungannya:

  • (3 choose 2) = 3! / (2! * 1!) = 3
  • (0.2)^2 = 0.04
  • (1 - 0.2)^(3 - 2) = (0.8)^1 = 0.8

Jadi,

P(X = 2) = 3 * 0.04 * 0.8 = 0.096

Peluang ada dua bohlam cacat adalah 0.096 atau 9.6%.

4. Peluang Tiga Bohlam Cacat (k = 3)

Terakhir, kita hitung P(X = 3), yaitu peluang ketiga bohlam yang dipilih cacat.

P(X = 3) = (3 choose 3) * (0.2)^3 * (1 - 0.2)^(3 - 3)

Perhitungannya:

  • (3 choose 3) = 3! / (3! * 0!) = 1
  • (0.2)^3 = 0.008
  • (1 - 0.2)^(3 - 3) = (0.8)^0 = 1

Jadi,

P(X = 3) = 1 * 0.008 * 1 = 0.008

Peluang ketiga bohlam cacat adalah 0.008 atau 0.8%.

Rangkuman Hasil Perhitungan

Setelah kita hitung satu per satu, berikut adalah rangkuman peluang untuk setiap kemungkinan jumlah bohlam cacat:

  • P(X = 0) = 0.512 (51.2%)
  • P(X = 1) = 0.384 (38.4%)
  • P(X = 2) = 0.096 (9.6%)
  • P(X = 3) = 0.008 (0.8%)

Jika kita jumlahkan semua peluang ini, hasilnya harus 1 (atau mendekati 1 karena pembulatan). Ini karena kita sudah mencakup semua kemungkinan yang ada.

Kesimpulan dan Aplikasi dalam Dunia Nyata

Guys, kita sudah berhasil menyelesaikan soal tentang peluang bohlam cacat menggunakan konsep distribusi binomial. Soal ini mungkin terlihat sederhana, tapi sebenarnya konsep ini sangat berguna dalam banyak aplikasi di dunia nyata, lho!

Misalnya, dalam Quality Control di pabrik, distribusi binomial bisa digunakan untuk menghitung peluang produk cacat dalam sampel, sehingga perusahaan bisa mengambil keputusan yang tepat untuk menjaga kualitas produk. Konsep ini juga digunakan dalam bidang kedokteran untuk menghitung peluang keberhasilan suatu pengobatan, atau dalam bidang keuangan untuk menghitung risiko investasi.

Jadi, matematika itu bukan cuma angka-angka dan rumus yang membingungkan, tapi juga alat yang sangat powerful untuk memecahkan masalah di dunia nyata. Gimana, makin semangat belajar matematika kan?

Semoga pembahasan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan atau soal lain yang ingin dibahas, jangan ragu untuk bertanya. Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya! Tetap semangat dan terus belajar, guys!