Pembagian Polinomial Dan Nilai P + Q: Soal Matematika

by ADMIN 54 views

Hey guys, kali ini kita bakal bahas soal matematika yang sering bikin pusing, yaitu tentang pembagian polinomial dan cara mencari nilai variabel dalam polinomial. Siap? Yuk, langsung aja kita bahas!

Soal 1: Hasil Pembagian Polinomial x³ + 2x² - 4 oleh (x² - 9)

Oke, soal pertama ini tentang pembagian polinomial. Kita diminta mencari hasil bagi dari polinomial x³ + 2x² - 4 ketika dibagi dengan (x² - 9). Buat kalian yang masih bingung, polinomial itu sederhananya adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel dan koefisien, yang dihubungkan oleh operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, serta pangkat bilangan bulat non-negatif. Jadi, jangan minder dulu lihat bentuknya yang panjang, ya!

Metode Pembagian Polinomial

Ada beberapa cara buat menyelesaikan soal pembagian polinomial ini, tapi yang paling umum dan mudah dipahami adalah metode pembagian bersusun, mirip kayak pembagian angka biasa waktu SD dulu.

Langkah-langkahnya gini:

  1. Susun polinomial yang mau dibagi (x³ + 2x² - 4) di dalam kurung pembagian, dan polinomial pembagi (x² - 9) di luar kurung.
  2. Fokus ke suku dengan pangkat tertinggi. Di dalam polinomial yang dibagi, suku dengan pangkat tertinggi adalah x³, sedangkan di polinomial pembagi adalah x².
  3. Bagi suku dengan pangkat tertinggi di dalam dengan suku dengan pangkat tertinggi di luar. Jadi, x³ dibagi x² hasilnya adalah x. Tulis x ini di atas garis pembagian (sebagai hasil bagi sementara).
  4. Kalikan hasil bagi sementara (x) dengan seluruh polinomial pembagi (x² - 9). Hasilnya adalah x³ - 9x. Tulis hasil perkalian ini di bawah polinomial yang dibagi, dengan posisi suku yang sesuai (suku x³ di bawah suku x³, suku x di bawah suku x, dan seterusnya).
  5. Kurangkan polinomial yang dibagi dengan hasil perkalian tadi. (x³ + 2x² - 4) dikurangi (x³ - 9x) hasilnya adalah 2x² + 9x - 4. Ini adalah sisa pembagian sementara.
  6. Ulangi langkah 2-5 dengan sisa pembagian sementara (2x² + 9x - 4). Suku dengan pangkat tertinggi sekarang adalah 2x². Bagi 2x² dengan x² (suku dengan pangkat tertinggi di polinomial pembagi), hasilnya adalah 2. Tulis +2 di sebelah x di atas garis pembagian.
  7. Kalikan 2 dengan (x² - 9), hasilnya adalah 2x² - 18. Tulis di bawah sisa pembagian sementara.
  8. Kurangkan (2x² + 9x - 4) dengan (2x² - 18), hasilnya adalah 9x + 14. Ini adalah sisa pembagian akhir, karena pangkatnya lebih rendah dari pangkat polinomial pembagi.
  9. Hasil pembagian adalah yang ada di atas garis pembagian, yaitu x + 2. Sisa pembagiannya adalah 9x + 14.

Jadi, hasil pembagian x³ + 2x² - 4 oleh (x² - 9) adalah x + 2 dengan sisa 9x + 14.

Jawaban

Dari pilihan ganda yang ada, jawaban yang sesuai adalah d. x + 2. Gimana, guys? Lumayan panjang ya penjelasannya, tapi semoga kalian ngerti langkah-langkahnya. Intinya, teliti dan sabar adalah kunci dalam pembagian polinomial.

Soal 2: Polinomial Habis Dibagi dan Nilai p + q

Lanjut ke soal berikutnya. Kali ini, kita dikasih informasi kalau polinomial 2x³ + px² - qx + 3 habis dibagi oleh x² - 3x + 2. Nah, kita diminta mencari nilai dari p + q. Soal kayak gini keliatannya ribet, tapi sebenarnya ada konsep penting yang perlu kita pahami: Teorema Sisa dan Teorema Faktor.

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema Sisa bilang, kalau suatu polinomial f(x) dibagi dengan (x - a), maka sisa pembagiannya adalah f(a). Simpelnya, tinggal substitusi nilai a ke dalam polinomial.

Teorema Faktor adalah pengembangan dari Teorema Sisa. Teorema ini bilang, jika suatu polinomial f(x) habis dibagi (x - a), maka f(a) = 0. Artinya, sisanya nol kalau habis dibagi. Nah, ini nih yang bakal kita pakai buat ngerjain soal ini.

Menerapkan Teorema Faktor

Karena 2x³ + px² - qx + 3 habis dibagi x² - 3x + 2, berarti sisa pembagiannya nol. Tapi, kita punya pembagi kuadrat (x² - 3x + 2), jadi kita perlu faktorkan dulu.

x² - 3x + 2 bisa difaktorkan jadi (x - 1)(x - 2). Nah, dari sini kita dapat dua faktor linear: (x - 1) dan (x - 2). Artinya, polinomial kita juga habis dibagi oleh (x - 1) dan (x - 2) secara terpisah.

Sekarang, kita pakai Teorema Faktor:

  • Karena habis dibagi (x - 1), maka substitusi x = 1 ke polinomial, hasilnya harus nol: 2(1)³ + p(1)² - q(1) + 3 = 0 2 + p - q + 3 = 0 p - q = -5 ...(Persamaan 1)
  • Karena habis dibagi (x - 2), maka substitusi x = 2 ke polinomial, hasilnya harus nol: 2(2)³ + p(2)² - q(2) + 3 = 0 16 + 4p - 2q + 3 = 0 4p - 2q = -19 ...(Persamaan 2)

Menyelesaikan Sistem Persamaan

Kita sekarang punya dua persamaan linear dengan dua variabel (p dan q):

  1. p - q = -5
  2. 4p - 2q = -19

Kita bisa selesaikan sistem persamaan ini dengan berbagai cara, misalnya metode substitusi atau eliminasi. Kali ini, kita pakai metode eliminasi aja ya. Kita mau eliminasi q, jadi kita kalikan Persamaan 1 dengan 2:

2(p - q) = 2(-5) 2p - 2q = -10 ...(Persamaan 3)

Sekarang kita kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 3:

(4p - 2q) - (2p - 2q) = -19 - (-10) 2p = -9 p = -4.5

Setelah dapat nilai p, kita substitusi ke Persamaan 1 buat cari nilai q:

-4.5 - q = -5 -q = -0.5 q = 0.5

Mencari Nilai p + q

Akhirnya, kita dapat nilai p = -4.5 dan q = 0.5. Yang ditanya di soal adalah p + q, jadi:

p + q = -4.5 + 0.5 = -4

Jawaban

Jadi, nilai dari p + q adalah c. -4.

Kesimpulan

Nah, itu tadi pembahasan dua soal tentang polinomial. Soal pertama tentang pembagian polinomial, kita pakai metode pembagian bersusun. Soal kedua tentang polinomial habis dibagi, kita pakai Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Intinya, pahami konsep dasarnya dan latihan soal yang banyak, guys. Pasti bisa!

Semoga penjelasan ini bermanfaat buat kalian ya! Kalau ada pertanyaan atau mau request soal lain, tulis di kolom komentar aja. See you di pembahasan soal berikutnya!