Penyelesaian Soal Barisan Aritmatika: Suku Ke-n

by ADMIN 48 views
Iklan Headers

Hey guys, kali ini kita akan membahas tuntas cara menyelesaikan soal barisan aritmatika yang mungkin bikin sebagian dari kalian mikir keras. Soal ini cukup menarik karena menggabungkan beberapa konsep dalam barisan aritmatika. Yuk, langsung aja kita bedah soalnya satu per satu!

Memahami Soal Barisan Aritmatika

Soal yang akan kita bahas kali ini adalah:

Jumlah suku ke-2 dan suku ke-5 adalah 24, sedangkan hasil pengurangan suku ke-25 dengan tiga kali suku ke-3 adalah 22. Bagaimana cara menyelesaikan soal ini?

Sebelum kita masuk ke penyelesaian, penting banget buat kita paham betul apa itu barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih ini disebut beda, dan biasanya dilambangkan dengan 'b'.

Rumus umum suku ke-n pada barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n - 1)b

Di mana:

  • Un adalah suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • b adalah beda
  • n adalah nomor suku

Keyword yang penting di sini adalah 'beda' karena ini adalah kunci dari barisan aritmatika. Kalau kita tahu bedanya, kita bisa mencari suku mana pun dalam barisan tersebut.

Mengidentifikasi Informasi Penting

Sekarang, mari kita identifikasi informasi penting dari soal:

  1. Jumlah suku ke-2 dan suku ke-5 adalah 24: U2 + U5 = 24
  2. Hasil pengurangan suku ke-25 dengan tiga kali suku ke-3 adalah 22: U25 - 3U3 = 22

Informasi ini akan menjadi modal utama kita untuk menyelesaikan soal ini. Kita akan mengubah informasi ini menjadi persamaan matematika yang bisa kita pecahkan.

Menyusun Persamaan

Dari informasi yang kita dapat, kita bisa menyusun dua persamaan:

  1. U2 + U5 = 24

    • Kita ubah U2 dan U5 menggunakan rumus umum barisan aritmatika:
      • U2 = a + (2 - 1)b = a + b
      • U5 = a + (5 - 1)b = a + 4b
    • Maka, persamaan pertama menjadi: (a + b) + (a + 4b) = 24
    • Sederhanakan: 2a + 5b = 24

  2. U25 - 3U3 = 22

    • Kita ubah U25 dan U3 menggunakan rumus umum barisan aritmatika:
      • U25 = a + (25 - 1)b = a + 24b
      • U3 = a + (3 - 1)b = a + 2b
    • Maka, persamaan kedua menjadi: (a + 24b) - 3(a + 2b) = 22
    • Sederhanakan: a + 24b - 3a - 6b = 22
    • Sederhanakan lagi: -2a + 18b = 22
    • Bisa disederhanakan lagi dengan membagi kedua sisi dengan 2: -a + 9b = 11

Sekarang kita punya dua persamaan:

  1. 2a + 5b = 24
  2. -a + 9b = 11

Dua persamaan ini adalah kunci untuk menemukan nilai 'a' dan 'b'. Kita akan menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini.

Menyelesaikan Sistem Persamaan

Mari kita gunakan metode eliminasi. Kita akan mengeliminasi 'a'. Caranya, kita kalikan persamaan kedua dengan 2:

  1. 2a + 5b = 24
  2. 2(-a + 9b) = 2(11) --> -2a + 18b = 22

Sekarang kita punya:

  1. 2a + 5b = 24
  2. -2a + 18b = 22

Tambahkan kedua persamaan ini:

(2a + 5b) + (-2a + 18b) = 24 + 22

23b = 46

b = 46 / 23

b = 2

Yeay! Kita sudah dapat nilai 'b' yaitu 2. Sekarang kita substitusikan nilai 'b' ke salah satu persamaan untuk mencari 'a'. Kita pakai persamaan -a + 9b = 11:

-a + 9(2) = 11

-a + 18 = 11

-a = 11 - 18

-a = -7

a = 7

Mantap! Kita juga sudah dapat nilai 'a' yaitu 7.

Menemukan Suku yang Ditanyakan (Jika Ada)

Biasanya, setelah kita menemukan nilai 'a' dan 'b', soal akan menanyakan suku tertentu dalam barisan tersebut. Misalnya, suku ke-10, suku ke-20, atau jumlah 10 suku pertama. Untuk mencari suku yang ditanyakan, kita tinggal substitusikan nilai 'a', 'b', dan 'n' ke rumus umum barisan aritmatika:

Un = a + (n - 1)b

Misalnya, jika soal menanyakan suku ke-10 (U10):

U10 = 7 + (10 - 1)2

U10 = 7 + 18

U10 = 25

Jadi, suku ke-10 adalah 25.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Barisan Aritmatika

Berikut beberapa tips dan trik yang bisa kalian gunakan saat mengerjakan soal barisan aritmatika:

  1. Pahami Konsep Dasar: Pastikan kalian benar-benar paham apa itu barisan aritmatika, beda, dan rumus umum suku ke-n.
  2. Identifikasi Informasi Penting: Baca soal dengan teliti dan identifikasi informasi penting yang diberikan. Ubah informasi tersebut menjadi persamaan matematika.
  3. Susun Persamaan dengan Benar: Pastikan persamaan yang kalian susun benar dan sesuai dengan informasi yang diberikan.
  4. Pecahkan Sistem Persamaan: Gunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan dan menemukan nilai 'a' dan 'b'.
  5. Substitusikan Nilai: Jika soal menanyakan suku tertentu, substitusikan nilai 'a', 'b', dan 'n' ke rumus umum barisan aritmatika.
  6. Teliti: Periksa kembali perhitungan kalian untuk memastikan tidak ada kesalahan.

Contoh Soal Lain dan Pembahasannya

Untuk lebih memantapkan pemahaman kalian, mari kita bahas contoh soal lain:

Soal:

Suku ke-3 suatu barisan aritmatika adalah 10, dan suku ke-7 adalah 22. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut.

Pembahasan:

  1. Identifikasi Informasi Penting:
    • U3 = 10
    • U7 = 22
  2. Susun Persamaan:
    • U3 = a + 2b = 10
    • U7 = a + 6b = 22
  3. Pecahkan Sistem Persamaan:
    • Kita gunakan metode eliminasi. Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:
      • (a + 6b) - (a + 2b) = 22 - 10
      • 4b = 12
      • b = 3
    • Substitusikan nilai 'b' ke persamaan pertama:
      • a + 2(3) = 10
      • a + 6 = 10
      • a = 4
  4. Jawaban:
    • Suku pertama (a) adalah 4.
    • Beda (b) adalah 3.

Kesimpulan

Mengerjakan soal barisan aritmatika memang butuh pemahaman konsep dan ketelitian. Tapi, dengan latihan yang cukup, kalian pasti bisa menguasainya. Ingat, kunci utamanya adalah pahami konsep dasar, identifikasi informasi penting, susun persamaan dengan benar, dan pecahkan sistem persamaan dengan tepat.

Semoga penjelasan ini bermanfaat ya, guys! Jangan ragu untuk bertanya kalau ada yang belum jelas. Selamat belajar dan semoga sukses!