Pergeseran Fungsi Kuadrat: F(x) Ke G(x)

by ADMIN 40 views
Iklan Headers

Hey guys! Pernah gak sih kalian bertanya-tanya, kalau kita punya suatu fungsi kuadrat, terus kita geser-geser, jadinya fungsi yang baru itu gimana ya? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas tentang pergeseran fungsi kuadrat. Kita ambil contoh soal yang sering banget muncul, yaitu bagaimana menentukan pergeseran fungsi f(x) = x² + 2x + 4 agar menghasilkan fungsi g(x) = x² + 6x + 8. Penasaran kan? Yuk, kita bedah soal ini bareng-bareng!

Memahami Konsep Pergeseran Fungsi Kuadrat

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget nih buat kita pahamin dulu konsep dasar dari pergeseran fungsi kuadrat. Jadi, pergeseran fungsi itu intinya adalah mengubah posisi grafik fungsi tanpa mengubah bentuknya. Pergeseran ini bisa terjadi secara horizontal (ke kiri atau ke kanan) dan vertikal (ke atas atau ke bawah).

Pergeseran Horizontal

Pergeseran horizontal ini terjadi kalau kita mengubah nilai x di dalam fungsi. Misalnya, kalau kita punya fungsi f(x), terus kita ganti x jadi (x - a), maka grafiknya akan bergeser ke kanan sejauh a satuan. Sebaliknya, kalau kita ganti x jadi (x + a), maka grafiknya akan bergeser ke kiri sejauh a satuan. Nah, di sinilah pentingnya kita memahami bahwa tanda minus itu menggeser ke kanan, dan tanda plus menggeser ke kiri. Ingat ya, guys!

Pergeseran Vertikal

Kalau pergeseran vertikal, ini lebih mudah lagi. Kita tinggal menambahkan atau mengurangkan konstanta di luar fungsi. Misalnya, kalau kita punya fungsi f(x), terus kita tambahkan b jadi f(x) + b, maka grafiknya akan bergeser ke atas sejauh b satuan. Kalau kita kurangkan b jadi f(x) - b, maka grafiknya akan bergeser ke bawah sejauh b satuan. Jadi, kalau ditambah, geser ke atas; kalau dikurang, geser ke bawah. Simpel kan?

Analisis Fungsi f(x) dan g(x)

Oke, sekarang kita balik lagi ke soal kita. Kita punya dua fungsi, yaitu f(x) = x² + 2x + 4 dan g(x) = x² + 6x + 8. Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mengubah kedua fungsi ini ke dalam bentuk vertex form atau bentuk puncak. Bentuk puncak ini akan memudahkan kita untuk melihat pergeseran yang terjadi. Bentuk umum dari vertex form adalah:

f(x) = a(x - h)² + k

Di mana (h, k) adalah koordinat titik puncak dari parabola. a menentukan apakah parabola terbuka ke atas (a > 0) atau ke bawah (a < 0). Karena di soal ini koefisien x² adalah 1 (positif), maka kedua parabola terbuka ke atas.

Mengubah f(x) ke Bentuk Puncak

Untuk mengubah f(x) = x² + 2x + 4 ke bentuk puncak, kita akan menggunakan metode completing the square atau melengkapkan kuadrat sempurna. Caranya adalah sebagai berikut:

  1. Ambil koefisien dari x, yaitu 2. Bagi 2, hasilnya 1. Kuadratkan hasilnya, 1² = 1.
  2. Tambahkan dan kurangkan 1 di dalam fungsi: f(x) = x² + 2x + 1 - 1 + 4
  3. Kelompokkan tiga suku pertama yang membentuk kuadrat sempurna: f(x) = (x² + 2x + 1) + 3
  4. Faktorkan bentuk kuadrat sempurna: f(x) = (x + 1)² + 3

Nah, sekarang kita sudah dapat bentuk puncak dari f(x), yaitu f(x) = (x + 1)² + 3. Dari sini, kita bisa lihat bahwa titik puncak parabola f(x) adalah (-1, 3).

Mengubah g(x) ke Bentuk Puncak

Sekarang giliran fungsi g(x) = x² + 6x + 8. Caranya sama, kita gunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna:

  1. Ambil koefisien dari x, yaitu 6. Bagi 2, hasilnya 3. Kuadratkan hasilnya, 3² = 9.
  2. Tambahkan dan kurangkan 9 di dalam fungsi: g(x) = x² + 6x + 9 - 9 + 8
  3. Kelompokkan tiga suku pertama yang membentuk kuadrat sempurna: g(x) = (x² + 6x + 9) - 1
  4. Faktorkan bentuk kuadrat sempurna: g(x) = (x + 3)² - 1

Kita sudah dapat bentuk puncak dari g(x), yaitu g(x) = (x + 3)² - 1. Dari sini, kita bisa lihat bahwa titik puncak parabola g(x) adalah (-3, -1).

Menentukan Pergeseran

Setelah kita mendapatkan bentuk puncak dari kedua fungsi, sekarang kita bisa dengan mudah menentukan pergeserannya. Kita punya dua titik puncak:

  • Titik puncak f(x): (-1, 3)
  • Titik puncak g(x): (-3, -1)

Untuk menentukan pergeseran horizontal, kita lihat perubahan pada koordinat x. Dari -1 ke -3, berarti terjadi pergeseran ke kiri sejauh 2 satuan (-3 - (-1) = -2). Ingat, tanda negatif berarti ke kiri.

Untuk menentukan pergeseran vertikal, kita lihat perubahan pada koordinat y. Dari 3 ke -1, berarti terjadi pergeseran ke bawah sejauh 4 satuan (-1 - 3 = -4). Tanda negatif berarti ke bawah.

Jadi, kesimpulannya adalah fungsi f(x) digeser ke kiri sejauh 2 satuan dan ke bawah sejauh 4 satuan untuk menghasilkan fungsi g(x).

Cara Menuliskan Pergeseran dalam Bentuk Fungsi

Selain menjelaskan pergeseran secara verbal, kita juga bisa menuliskannya dalam bentuk fungsi. Ingat konsep pergeseran horizontal dan vertikal yang sudah kita bahas di awal. Pergeseran ke kiri sejauh 2 satuan berarti kita mengganti x dengan (x + 2). Pergeseran ke bawah sejauh 4 satuan berarti kita mengurangkan fungsi dengan 4.

Jadi, kita bisa tulis:

g(x) = f(x + 2) - 4

Coba kita buktikan:

f(x + 2) = (x + 2)² + 2(x + 2) + 4 f(x + 2) = x² + 4x + 4 + 2x + 4 + 4 f(x + 2) = x² + 6x + 12

f(x + 2) - 4 = x² + 6x + 12 - 4 f(x + 2) - 4 = x² + 6x + 8 f(x + 2) - 4 = g(x)

Terbukti kan? Jadi, kita bisa menyatakan pergeseran fungsi dalam bentuk persamaan fungsi.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, pembahasan lengkap tentang pergeseran fungsi kuadrat dari f(x) ke g(x). Kuncinya adalah mengubah fungsi ke bentuk puncak, lalu melihat perubahan pada titik puncaknya. Jangan lupa juga konsep pergeseran horizontal dan vertikal ya. Dengan memahami konsep ini, kalian bisa dengan mudah menyelesaikan soal-soal pergeseran fungsi kuadrat lainnya.

Semoga penjelasan ini bermanfaat buat kalian semua. Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya di kolom komentar ya! Semangat terus belajarnya, guys! Sampai jumpa di pembahasan soal-soal matematika lainnya!