Persamaan Garis Singgung Elips: Contoh Soal Dan Pembahasan

by ADMIN 59 views

Elips adalah salah satu topik menarik dalam geometri analitik. Elips sering muncul dalam berbagai soal matematika, termasuk mencari persamaan garis singgungnya. Nah, kali ini kita akan membahas tuntas cara menentukan persamaan garis singgung elips dengan contoh soal yang spesifik. Siap? Yuk, kita mulai!

Memahami Persamaan Elips

Sebelum masuk ke garis singgung, penting banget untuk memahami dulu persamaan elipsnya. Persamaan umum elips yang berpusat di (0,0) adalah:

x²/a² + y²/b² = 1

di mana:

  • a adalah sumbu mayor (sumbu terpanjang) elips.
  • b adalah sumbu minor (sumbu terpendek) elips.

Kalau elipsnya berpusat di (h,k), persamaannya jadi:

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

Dalam soal kita, persamaan elipsnya adalah:

x²/16 + y²/9 = 1

Dari persamaan ini, kita bisa tahu bahwa:

  • a² = 16, sehingga a = 4
  • b² = 9, sehingga b = 3

Ini berarti elips kita memiliki sumbu mayor sepanjang 4 dan sumbu minor sepanjang 3, serta berpusat di (0,0).

Rumus Garis Singgung Elips

Sekarang, mari kita bahas rumus untuk mencari persamaan garis singgung elips. Untuk elips dengan persamaan x²/a² + y²/b² = 1, persamaan garis singgung di titik (x₁, y₁) pada elips adalah:

xx₁/a² + yy₁/b² = 1

Rumus ini berlaku jika titik (x₁, y₁) benar-benar terletak pada elips. Jadi, pastikan dulu titiknya memenuhi persamaan elips, ya!

Kenapa Rumusnya Begitu?

Buat kalian yang penasaran kenapa rumusnya bisa seperti itu, sebenarnya ini berasal dari konsep turunan dalam kalkulus. Tapi, untuk mempersingkat waktu dan fokus ke soal, kita langsung pakai saja rumusnya. Kalau tertarik lebih dalam, kalian bisa pelajari tentang turunan implisit dan aplikasinya pada kurva.

Contoh Soal dan Pembahasan

Oke, sekarang kita langsung terapkan rumus ini ke contoh soal kita:

Soal:

Diketahui elips dengan persamaan x²/16 + y²/9 = 1. Tentukan persamaan garis singgung elips di titik P(2, 3√3).

Pembahasan:

  1. Periksa Apakah Titik P(2, 3√3) Terletak pada Elips

    Sebelum menggunakan rumus garis singgung, kita harus pastikan dulu apakah titik P(2, 3√3) benar-benar terletak pada elips. Caranya, substitusikan x = 2 dan y = 3√3 ke dalam persamaan elips:

    (2)²/16 + (3√3)²/9 = 4/16 + 27/9 = 1/4 + 3 = 1/4 + 12/4 = 13/4

    Ups, ternyata hasilnya 13/4, bukan 1! Ini berarti ada kesalahan dalam soal, atau titik P(2, 3√3) sebenarnya tidak terletak pada elips x²/16 + y²/9 = 1.

    Penting: Dalam soal-soal ujian atau latihan, pastikan selalu memeriksa apakah titik yang diberikan benar-benar terletak pada kurva (elips, lingkaran, parabola, dll.). Jika tidak, maka kita tidak bisa langsung menggunakan rumus garis singgung yang standar.

  2. Modifikasi Soal (Asumsi Titik Benar)

    Karena titik P(2, 3√3) tidak terletak pada elips, kita akan modifikasi soal sedikit agar titiknya memenuhi persamaan elips. Misalkan, kita cari nilai y yang benar saat x = 2:

    (2)²/16 + y²/9 = 1

    4/16 + y²/9 = 1

    1/4 + y²/9 = 1

    y²/9 = 1 - 1/4

    y²/9 = 3/4

    y² = (3/4) * 9

    y² = 27/4

    y = ±√(27/4) = ±(3√3)/2

    Jadi, titik yang benar (agar terletak pada elips) adalah P(2, (3√3)/2) atau P(2, -(3√3)/2). Kita pilih saja P(2, (3√3)/2) untuk pembahasan selanjutnya.

  3. Substitusikan ke Rumus Garis Singgung

    Sekarang, kita punya titik P(2, (3√3)/2) yang terletak pada elips x²/16 + y²/9 = 1. Kita bisa langsung substitusikan ke rumus garis singgung:

    x(2)/16 + y((3√3)/2)/9 = 1

    2x/16 + (3√3)y/18 = 1

    x/8 + (√3)y/6 = 1

  4. Sederhanakan Persamaan

    Untuk mempercantik persamaan, kita bisa hilangkan pecahannya dengan mengalikan seluruh persamaan dengan 24 (KPK dari 8 dan 6):

    24(x/8) + 24((√3)y/6) = 24(1)

    3x + 4√3y = 24

    Jadi, persamaan garis singgung elips x²/16 + y²/9 = 1 di titik P(2, (3√3)/2) adalah 3x + 4√3y = 24.

Tips dan Trik

  • Teliti: Pastikan selalu teliti dalam menghitung, terutama saat menyederhanakan persamaan.
  • Periksa Titik: Selalu periksa apakah titik yang diberikan terletak pada elips sebelum menggunakan rumus garis singgung.
  • Latihan: Semakin banyak latihan, semakin cepat dan lancar kalian dalam mengerjakan soal-soal elips.
  • Pahami Konsep: Jangan hanya menghafal rumus, tapi pahami juga konsep dasarnya. Ini akan membantu kalian dalam menghadapi soal-soal yang lebih kompleks.

Variasi Soal

Selain soal di atas, ada beberapa variasi soal tentang garis singgung elips yang mungkin muncul:

  • Mencari Titik Singgung: Diberikan persamaan garis singgung dan persamaan elips, lalu diminta mencari koordinat titik singgungnya.
  • Garis Singgung dengan Gradien Tertentu: Diberikan gradien garis singgung, lalu diminta mencari persamaan garis singgung dan titik singgungnya.
  • Aplikasi Geometri: Soal-soal yang melibatkan konsep geometri lainnya, seperti mencari luas segitiga yang terbentuk oleh garis singgung dan sumbu-sumbu koordinat.

Untuk menghadapi variasi soal ini, kalian perlu menguasai konsep dasar elips, rumus garis singgung, dan kemampuan aljabar yang baik.

Kesimpulan

Mencari persamaan garis singgung elips memang terlihat rumit, tapi dengan memahami konsep dasar dan rumus yang tepat, kalian pasti bisa menaklukkannya. Ingat, selalu teliti dalam menghitung dan periksa apakah titik yang diberikan benar-benar terletak pada elips. Jangan lupa untuk terus berlatih agar semakin mahir! Semoga pembahasan ini bermanfaat, ya, guys! Selamat belajar dan semoga sukses!