Persamaan Garis Singgung Lingkaran: Contoh Soal & Pembahasan
Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika tentang persamaan garis singgung lingkaran? Soal ini emang keliatannya agak tricky, tapi sebenarnya ada cara mudah buat menyelesaikannya, lho! Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas tentang persamaan garis singgung lingkaran, khususnya soal persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y + 3 = 0 di titik (5, -2). Yuk, simak pembahasannya!
Memahami Konsep Dasar Garis Singgung Lingkaran
Sebelum kita masuk ke soal, penting banget buat kita pahami dulu konsep dasar garis singgung lingkaran. Jadi, garis singgung lingkaran itu adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik potong ini disebut juga titik singgung. Nah, garis singgung ini punya sifat yang unik, yaitu selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang ditarik dari pusat lingkaran ke titik singgung tersebut.
Penting untuk diingat: Garis singgung hanya menyentuh lingkaran di satu titik, tidak memotongnya. Bayangin aja kayak lagi salaman, cuma nempel sebentar, gak pegangan erat!
Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Ada beberapa rumus yang bisa kita pakai buat mencari persamaan garis singgung lingkaran, tergantung bentuk persamaan lingkarannya.
- Lingkaran dengan Pusat (0, 0): Jika lingkaran kita punya persamaan x² + y² = r², maka persamaan garis singgungnya di titik (x₁, y₁) adalah xx₁ + yy₁ = r².
- Lingkaran dengan Pusat (a, b): Nah, kalau lingkarannya punya persamaan (x - a)² + (y - b)² = r², maka persamaan garis singgungnya di titik (x₁, y₁) adalah (x - a)(x₁ - a) + (y - b)(y₁ - b) = r².
- Lingkaran dengan Bentuk Umum: Kalau persamaan lingkarannya dalam bentuk umum, yaitu x² + y² + Ax + By + C = 0, kita bisa pakai rumus yang sedikit berbeda. Pertama, kita cari dulu pusat lingkaran (a, b) dengan rumus a = -A/2 dan b = -B/2. Lalu, kita cari jari-jari lingkaran (r) dengan rumus r = √(a² + b² - C). Setelah itu, persamaan garis singgungnya di titik (x₁, y₁) adalah x₁x + y₁y + A/2(x + x₁) + B/2(y + y₁) + C = 0.
Rumus-rumus ini penting banget, jadi catat baik-baik ya! Kita bakal pakai rumus-rumus ini buat menyelesaikan soal kita.
Menyelesaikan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran x² + y² - 6x + 4y + 3 = 0 di Titik (5, -2)
Oke, sekarang kita masuk ke soal inti kita. Kita punya lingkaran dengan persamaan x² + y² - 6x + 4y + 3 = 0 dan kita mau cari persamaan garis singgungnya di titik (5, -2). Nah, karena persamaan lingkarannya dalam bentuk umum, kita bakal pakai rumus yang ketiga tadi.
Langkah 1: Tentukan Nilai A, B, dan C
Dari persamaan x² + y² - 6x + 4y + 3 = 0, kita bisa lihat bahwa:
- A = -6
- B = 4
- C = 3
Simple kan? Kita cuma perlu lihat koefisien dari x, y, dan konstanta dalam persamaan.
Langkah 2: Cari Pusat Lingkaran (a, b)
Sekarang kita cari pusat lingkaran (a, b) dengan rumus:
- a = -A/2 = -(-6)/2 = 3
- b = -B/2 = -(4)/2 = -2
Jadi, pusat lingkaran kita adalah (3, -2).
Langkah 3: Cari Jari-Jari Lingkaran (r)
Selanjutnya, kita cari jari-jari lingkaran (r) dengan rumus:
- r = √(a² + b² - C) = √(3² + (-2)² - 3) = √(9 + 4 - 3) = √10
Langkah 4: Masukkan Nilai ke Rumus Persamaan Garis Singgung
Nah, ini dia langkah terakhir! Kita masukkan semua nilai yang sudah kita dapat ke rumus persamaan garis singgung:
x₁x + y₁y + A/2(x + x₁) + B/2(y + y₁) + C = 0
Kita tahu x₁ = 5, y₁ = -2, A = -6, B = 4, dan C = 3. Jadi, kita masukkan:
5x + (-2)y + (-6)/2(x + 5) + 4/2(y + (-2)) + 3 = 0
Sekarang kita sederhanakan:
5x - 2y - 3(x + 5) + 2(y - 2) + 3 = 0
5x - 2y - 3x - 15 + 2y - 4 + 3 = 0
2x - 16 = 0
Kita bisa bagi kedua sisi dengan 2:
x - 8 = 0
Hasil Akhir
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y + 3 = 0 di titik (5, -2) adalah x - 8 = 0. Gampang kan?
Pembahasan Lebih Lanjut Mengenai Soal Garis Singgung Lingkaran
Guys, soal tentang garis singgung lingkaran ini emang sering muncul di ujian, baik itu ujian sekolah maupun ujian masuk perguruan tinggi. Variasinya juga macem-macem, gak cuma mencari persamaan garis singgung di satu titik aja. Ada juga soal yang melibatkan dua garis singgung, mencari panjang garis singgung, atau mencari persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran.
Tips: Buat menguasai materi ini, kalian perlu banyak latihan soal. Coba kerjain berbagai jenis soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda-beda. Jangan cuma terpaku sama satu jenis soal aja.
Contoh Soal Lain
Biar makin mantap, kita coba bahas satu contoh soal lagi, ya.
Soal: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 2)² + (y + 1)² = 25 yang melalui titik (6, 2).
Pembahasan:
- Tentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran: Dari persamaan (x - 2)² + (y + 1)² = 25, kita tahu pusat lingkaran adalah (2, -1) dan jari-jarinya adalah √25 = 5.
- Gunakan Rumus Persamaan Garis Singgung: Karena ini lingkaran dengan pusat (a, b), kita pakai rumus (x - a)(x₁ - a) + (y - b)(y₁ - b) = r².
- Masukkan Nilai: Kita masukkan a = 2, b = -1, x₁ = 6, y₁ = 2, dan r = 5 ke dalam rumus: (x - 2)(6 - 2) + (y + 1)(2 + 1) = 25 4(x - 2) + 3(y + 1) = 25 4x - 8 + 3y + 3 = 25 4x + 3y - 30 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4x + 3y - 30 = 0.
Kesimpulan
Nah, itu dia pembahasan lengkap tentang cara mencari persamaan garis singgung lingkaran. Intinya, kita perlu pahami konsep dasar garis singgung, rumus-rumus yang terkait, dan jangan lupa banyak latihan soal. Dengan begitu, soal sesulit apapun pasti bisa kita taklukkan!
Semoga pembahasan ini bermanfaat buat kalian, ya! Kalau ada pertanyaan atau mau request pembahasan soal lainnya, jangan ragu buat tulis di kolom komentar. Semangat terus belajarnya, guys!