Pertidaksamaan Irasional: Contoh Soal & Pembahasan Lengkap

Jul 1, 2026 by ADMIN 59 views

Halo semuanya! Balik lagi nih sama aku, siap bantu kalian ngulik materi matematika yang kadang bikin pusing. Kali ini, kita bakal bedah tuntas soal pertidaksamaan irasional. Buat kalian yang lagi belajar atau bahkan fresh graduate yang lagi persiapan tes, materi ini penting banget lho. Soalnya, pertidaksamaan irasional ini sering banget muncul di berbagai ujian, mulai dari ulangan harian, ujian sekolah, sampai tes CPNS atau BUMN. Yuk, langsung aja kita simak bareng-bareng biar makin jago!

Apa Sih Pertidaksamaan Irasional Itu?

Sebelum kita loncat ke contoh soalnya, penting banget nih buat kita pahami dulu apa itu pertidaksamaan irasional. Gampangnya, pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang di dalamnya memuat bentuk akar. Nah, akar ini bisa muncul di bagian pembilang, penyebut, atau bahkan di kedua-duanya. Karena ada bentuk akarnya, kita perlu hati-hati banget nih pas ngerjainnya, guys. Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi biar akarnya itu terdefinisi dan jawabannya valid.

Syarat utama dalam mengerjakan pertidaksamaan irasional adalah ekspresi di dalam akar, atau yang biasa kita sebut numerus, harus selalu lebih besar dari atau sama dengan nol (≥ 0). Kenapa gitu? Soalnya, dalam bilangan real, kita nggak bisa nemuin akar dari bilangan negatif. Ingat kan pelajaran SMP dulu? Kalau kamu coba hitung akar dari -4 di kalkulator, pasti hasilnya bakal error. Nah, itu sebabnya syarat numerus ≥ 0 ini krusial banget.

Selain syarat numerus tadi, kalau pertidaksamaan irasionalnya punya bentuk pecahan, kita juga harus inget syarat penyebut. Ingat dong, penyebut nggak boleh nol! Jadi, kalau ada akar di penyebut, ekspresi di dalam akarnya harus lebih besar dari nol (> 0), bukan lebih besar sama dengan nol. Ini penting banget biar nggak terjadi pembagian dengan nol yang bakal bikin matematikanya jadi ngaco.

Terus, gimana cara nyelesaiinnya? Nah, cara paling umum buat nyelesaiin pertidaksamaan irasional itu adalah dengan mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan. Tapi, jangan asal kuadratin aja ya. Ada triknya biar aman. Setelah dikuadratkan, biasanya bentuk akarnya bakal hilang, dan kita bakal dapet pertidaksamaan biasa yang lebih gampang diselesaiin. Tapi inget, setelah dapet hasil dari pertidaksamaan biasa tadi, jangan lupa buat irisanin sama syarat-syarat yang udah kita bahas di awal (syarat numerus dan syarat penyebut). Kenapa harus diiris? Soalnya, solusi yang kita cari harus memenuhi semua syarat yang ada.

Jadi, intinya, pertidaksamaan irasional itu kayak teka-teki matematika yang butuh ketelitian ekstra. Ada bentuk akar yang harus kita perhatiin syaratnya, terus ada teknik kuadratisasi, dan terakhir ada proses irisan buat dapetin solusi akhirnya. Kedengerannya memang agak ribet di awal, tapi kalau udah sering latihan, pasti bakal terbiasa kok. Yuk, kita buktiin sama-sama dengan contoh soal!

Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional dan Cara Menyelesaikannya

Oke, guys, sekarang saatnya kita masuk ke bagian yang paling ditunggu-tunggu: contoh soal! Biar makin mantap, kita bakal bahas beberapa variasi soal ya. Siapin catatan kalian, dan yuk kita taklukkan soal-soal ini!

Soal 1: Bentuk Akar Tunggal

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{x-2} \le 4$ !

Pembahasan:

Nah, ini dia nih tipe soal yang paling basic. Cuma ada satu bentuk akar di satu sisi pertidaksamaan. Gimana cara ngerjainnya?

Syarat Numerus: Pertama dan terutama, kita harus pastiin kalau ekspresi di dalam akar itu non-negatif. Jadi, $x-2 \ge 0$ . Dari sini kita dapat $x \ge 2$ . Ini adalah syarat pertama yang harus dipenuhi oleh solusi kita.
Kuadratkan Kedua Sisi: Untuk menghilangkan akarnya, kita kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan. Ingat, karena kedua sisi (akar dan angka 4) sama-sama positif, mengkuadratkan nggak akan mengubah arah pertidaksamaan. Jadi, $(\sqrt{x-2})^2 \le 4^2$ . Hasilnya jadi $x-2 \le 16$ .
Selesaikan Pertidaksamaan Hasil Kuadrat: Sekarang kita punya pertidaksamaan linear biasa: $x-2 \le 16$ . Tinggal pindahin angka -2 ke kanan, jadi $x \le 16 + 2$ , yang berarti $x \le 18$ . Ini adalah hasil sementara dari pertidaksamaan.
Irisan Syarat dan Hasil: Langkah terakhir yang super penting adalah mengiriskan syarat numerus ( $x \ge 2$ ) dengan hasil sementara kita ( $x \le 18$ ). Kalau kita visualisasikan di garis bilangan, kita cari daerah di mana $x$ lebih besar atau sama dengan 2 DAN lebih kecil atau sama dengan 18. Hasil irisannya adalah $2 \le x \le 18$ .

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{x-2} \le 4$ adalah { $x$ | $2 \le x \le 18$ , $x \in R$ }.

Gimana, guys? Gampang kan kalau udah tau langkah-langkahnya? Kuncinya di syarat numerus dan irisan. Jangan lupa itu!

Soal 2: Dua Sisi Mengandung Akar

Soal: Selesaikan pertidaksamaan $\sqrt{2x+1} > \sqrt{x-2}$ !

Pembahasan:

Sekarang kita naik level sedikit nih, guys. Di soal ini, kedua sisi pertidaksamaan punya bentuk akar. Tetap tenang, langkahnya mirip kok, tapi ada tambahan syarat.

Syarat Numerus 1: Untuk akar di sisi kiri, $2x+1 \ge 0$ . Maka, $2x \ge -1$ , yang berarti $x \ge -\frac{1}{2}$ .
Syarat Numerus 2: Untuk akar di sisi kanan, $x-2 \ge 0$ . Maka, $x \ge 2$ . Nah, karena solusi harus memenuhi kedua syarat numerus ini, kita ambil irisan dari $x \ge -\frac{1}{2}$ dan $x \ge 2$ . Hasil irisannya adalah $x \ge 2$ . Ini adalah syarat gabungan yang paling penting.
Kuadratkan Kedua Sisi: Sama seperti sebelumnya, kita kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar. Karena kedua sisi sudah pasti non-negatif (karena bentuk akar), arah pertidaksamaan tetap sama: $(\sqrt{2x+1})^2 > (\sqrt{x-2})^2$ . Hasilnya jadi $2x+1 > x-2$ .
Selesaikan Pertidaksamaan Hasil Kuadrat: Sekarang kita punya $2x+1 > x-2$ . Pindahin $x$ ke kiri dan angka ke kanan: $2x-x > -2-1$ . Jadi, $x > -3$ . Ini hasil sementara.
Irisan Syarat Gabungan dan Hasil: Sekarang kita harus mengiriskan syarat gabungan kita ( $x \ge 2$ ) dengan hasil sementara ( $x > -3$ ). Kita cari nilai $x$ yang lebih besar atau sama dengan 2 DAN lebih besar dari -3. Kalau kita lihat garis bilangan, daerah yang memenuhi kedua kondisi ini adalah $x \ge 2$ .

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{2x+1} > \sqrt{x-2}$ adalah { $x$ | $x \ge 2$ , $x \in R$ }.

Perhatiin ya, guys, gimana syarat numerus dari kedua akar itu harus dipenuhi sebelum kita mengkuadratkan, dan hasilnya harus diiriskan lagi. Teliti itu kunci!

Soal 3: Bentuk Akar dengan Konstanta di Satu Sisi

Soal: Tentukan solusi dari pertidaksamaan $\sqrt{3x+7} \le x+1$ !

Pembahasan:

Nah, soal yang ini agak tricky nih, guys. Kenapa? Karena di satu sisi ada akar, tapi di sisi lain ada variabel $x$ plus konstanta. Ini artinya, sisi kanan (x+1) bisa jadi positif, bisa jadi negatif. Kalau negatif, akar yang pasti non-negatif nggak mungkin bisa lebih kecil atau sama dengan bilangan negatif, kan? Makanya, kita perlu dua kondisi tambahan.

Syarat Numerus: Ekspresi di dalam akar harus non-negatif: $3x+7 \ge 0$ . Maka, $3x \ge -7$ , atau $x \ge -\frac{7}{3}$ .
Kondisi 1: Sisi Kanan Non-Negatif Agar pertidaksamaan $\sqrt{3x+7} \le x+1$ bisa terpenuhi, sisi kanan ( $x+1$ ) setidaknya harus non-negatif. Jadi, kita punya syarat tambahan: $x+1 \ge 0$ , yang berarti $x \ge -1$ .

Jika syarat ini terpenuhi, barulah kita bisa mengkuadratkan kedua sisi: $(\sqrt{3x+7})^2 \le (x+1)^2$ $3x+7 \le x^2 + 2x + 1$ Pindahkan semua ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat: $0 \le x^2 + 2x + 1 - 3x - 7$ $0 \le x^2 - x - 6$ Atau bisa ditulis $x^2 - x - 6 \ge 0$ .

Untuk menyelesaikan $x^2 - x - 6 \ge 0$ , kita cari dulu akar-akar dari $x^2 - x - 6 = 0$ . Faktorisasi jadi $(x-3)(x+2) = 0$ . Akarnya adalah $x=3$ dan $x=-2$ . Karena pertidaksamaan kuadratnya $\ge 0$ , maka solusi untuk ini adalah $x \le -2$ atau $x \ge 3$ .

Sekarang, kita harus mengiriskan syarat numerus ( $x \ge -\frac{7}{3}$ ), syarat sisi kanan non-negatif ( $x egarding -1$ ), dan hasil pertidaksamaan kuadrat ( $x \le -2$ atau $x egarding 3$ ).
- Irisan $x egarding -\frac{7}{3}$ dan $x egarding -1$ adalah $x egarding -1$ .
- Irisan $x egarding -1$ dengan ( $x \le -2$ atau $x egarding 3$ ) adalah $x \ge 3$ . Ini adalah solusi dari Kondisi 1.
Kondisi 2: Sisi Kanan Negatif Bagaimana jika sisi kanan ( $x+1$ ) negatif? Yaitu ketika $x+1 < 0$ , yang berarti $x < -1$ . Dalam kasus ini, pertidaksamaan $\sqrt{3x+7} \le x+1$ tidak akan pernah punya solusi, karena akar ( $\ge 0$ ) tidak mungkin lebih kecil sama dengan bilangan negatif ( $< 0$ ). Namun, kita perlu cek apakah ada irisan antara syarat numerus ( $x egarding -\frac{7}{3}$ ) dengan kondisi sisi kanan negatif ( $x < -1$ ). Irisannya adalah $-\frac{7}{3} \le x < -1$ . Untuk interval ini, pertidaksamaan $\sqrt{3x+7} \le x+1$ tidak memiliki solusi karena sisi kanan negatif.

Jadi, tidak ada solusi yang didapat dari Kondisi 2.
Gabungan Solusi: Solusi total adalah gabungan solusi dari Kondisi 1 dan Kondisi 2. Karena Kondisi 2 tidak memberikan solusi, maka solusi totalnya adalah solusi dari Kondisi 1, yaitu $x \ge 3$ .

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{3x+7} \le x+1$ adalah { $x$ | $x \ge 3$ , $x \in R$ }.

Soal seperti ini memang butuh pemikiran ekstra ya, guys. Penting banget buat menganalisis kemungkinan nilai dari kedua sisi pertidaksamaan sebelum mengkuadratkan.

Soal 4: Pertidaksamaan Bentuk Pecahan dengan Akar

Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2} \ge 1$ !

Pembahasan:

Wah, ini dia tipe soal yang paling menantang! Ada akar di pembilang, dan ada variabel di penyebut. Kita harus super hati-hati di sini. Ingat, penyebut tidak boleh nol, dan ekspresi di dalam akar harus non-negatif.

Syarat Numerus: $x+1 \ge 0$ , sehingga $x \ge -1$ .
Syarat Penyebut: $x-2 \ne 0$ , sehingga $x \ne 2$ .
Pindahkan Semua ke Satu Sisi: Agar bisa dianalisis, kita pindahkan angka 1 ke sisi kiri: $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2} - 1 \ge 0$ Samakan penyebutnya: $\frac{\sqrt{x+1} - (x-2)}{x-2} \ge 0$ $\frac{\sqrt{x+1} - x + 2}{x-2} \ge 0$

Sekarang, kita punya bentuk pecahan yang hasilnya harus non-negatif ( $\ge 0$ ). Ini berarti pembilang dan penyebut harus punya tanda yang sama (keduanya positif atau keduanya negatif), ATAU pembilang positif dan penyebut positif.

Kita punya dua kemungkinan:

Kemungkinan A: Pembilang $\ge 0$ DAN Penyebut $> 0$
- Pembilang: $\sqrt{x+1} - x + 2 \ge 0$
- Penyebut: $x-2 > 0 \implies x > 2$
Mari kita fokus pada pembilang: $\sqrt{x+1} \ge x-2$ . Di sini kita perlu analisis lagi:
- Jika $x-2 < 0$ (yaitu $x < 2$ ), maka akar ( $\ge 0$ ) pasti lebih besar atau sama dengan $x-2$ (negatif). Jadi, pertidaksamaan $\sqrt{x+1} \ge x-2$ terpenuhi untuk $x < 2$ .
- Jika $x-2 \ge 0$ (yaitu $x \ge 2$ ), kita bisa kuadratkan kedua sisi: $(\sqrt{x+1})^2 \ge (x-2)^2$ $x+1 \ge x^2 - 4x + 4$ $0 \ge x^2 - 5x + 3$ . Atau $x^2 - 5x + 3 \le 0$ . Akar dari $x^2 - 5x + 3 = 0$ adalah $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$ . Jadi, solusi dari $x^2 - 5x + 3 \le 0$ adalah $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} \le x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ . Kita harus irisan $x egarding 2$ dengan $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} \le x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ . Perkiraan nilai $\sqrt{13}$ sekitar 3.6. Maka $\frac{5-3.6}{2} \approx 0.7$ dan $\frac{5+3.6}{2} \approx 4.3$ . Jadi irisannya adalah $2 \le x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ .
Jadi, solusi untuk pembilang $\sqrt{x+1} - x + 2 \ge 0$ adalah gabungan dari $x < 2$ dan $2 \le x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ , yaitu $x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ (dengan syarat $x egarding -1$ dan $x \ne 2$ ).

Sekarang kita irisan dengan syarat penyebut: $x > 2$ . Jadi, untuk Kemungkinan A, kita iriskan ( $x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ ) dengan ( $x > 2$ ). Hasilnya adalah $2 < x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ .
Kemungkinan B: Pembilang $\le 0$ DAN Penyebut $< 0$
- Pembilang: $\sqrt{x+1} - x + 2 \le 0 implies \sqrt{x+1} \le x-2$
- Penyebut: $x-2 < 0 \implies x < 2$
Agar $\sqrt{x+1} \le x-2$ terpenuhi, kita harus punya $x-2 \ge 0$ (karena akar $\ge 0$ ). Jadi, $x \ge 2$ . Tapi syarat penyebut kita adalah $x < 2$ . Tidak ada irisan antara $x egarding 2$ dan $x < 2$ . Jadi, tidak ada solusi dari Kemungkinan B.

Gabungkan Semua Syarat dan Solusi: Kita punya syarat awal: $x egarding -1$ dan $x \ne 2$ . Solusi dari Kemungkinan A adalah $2 < x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ . Solusi dari Kemungkinan B adalah tidak ada.

Jadi, himpunan penyelesaian total adalah solusi dari Kemungkinan A, yang sudah otomatis memenuhi syarat awal karena $x > 2$ sudah pasti $x egarding -1$ dan $x \ne 2$ .

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\frac{\sqrt{x+1}}{x-2} \ge 1$ adalah { $x$ | $2 < x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ , $x \in R$ }.

Soal pecahan memang paling advanced, guys. Perlu sabar dan teliti memecahkannya berdasarkan tanda pembilang dan penyebut.

Tips Jitu Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Irasional

Biar makin pede ngerjain soal pertidaksamaan irasional, nih aku kasih beberapa tips jitu:

Utamakan Syarat Terlebih Dahulu: Jangan pernah lupa syarat numerus ( $\text{di dalam akar} \ge 0$ ) dan syarat penyebut ( $\text{penyebut} \ne 0$ ). Ini adalah fondasi dari solusi kamu.
Analisis Sisi Kanan Sebelum Kuadrat: Kalau salah satu sisi pertidaksamaan bukan bentuk akar murni (misalnya ada $x+c$ ), pikirkan dulu kemungkinan nilai positif dan negatifnya. Ini bisa memecah soal menjadi beberapa kasus.
Kuadratkan dengan Hati-hati: Kuadratkan kedua sisi hanya jika kedua sisi dijamin non-negatif, atau kalau kamu sudah memecahnya menjadi kasus-kasus.
Gunakan Garis Bilangan untuk Irisan: Visualisasikan syarat-syarat dan hasil sementara di garis bilangan. Ini sangat membantu untuk menemukan irisan yang tepat.
Latihan, Latihan, Latihan: Semakin banyak kamu berlatih soal dengan berbagai variasi, semakin terasah intuisi dan kemampuan kamu dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional.

Kesimpulan

Nah, guys, itu dia pembahasan lengkap kita tentang contoh soal pertidaksamaan irasional. Kita udah lihat kalau materi ini memang butuh ketelitian, pemahaman syarat-syaratnya, dan teknik penyelesaian yang tepat. Kuncinya ada di:

Memastikan ekspresi di dalam akar selalu non-negatif.
Memastikan penyebut tidak nol.
Mengkuadratkan kedua sisi dengan benar.
Melakukan irisan dari semua syarat dan hasil yang didapat.

Jangan pernah takut sama soal yang kelihatan rumit. Dengan memahami konsep dasarnya dan berlatih secara konsisten, kamu pasti bisa menguasai pertidaksamaan irasional ini. Semangat terus belajarnya, ya! Kalau ada pertanyaan atau mau request materi lain, jangan ragu tulis di kolom komentar. Sampai jumpa di artikel selanjutnya!