Pertidaksamaan Linear: Solusi & Pembahasan Matematika

Oct 17, 2025 by ADMIN 54 views

Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang isinya pertidaksamaan kayak gini: 12x + 3y ≤ 36, 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0? Nah, kalau pernah, atau bahkan lagi nyari-nyari pembahasan soal kayak gini, kalian datang ke tempat yang tepat! Di artikel ini, kita bakal kupas tuntas soal pertidaksamaan linear ini dari kategori matematika sampai cara nyelesainnya. Yuk, langsung aja kita mulai!

Mengenal Pertidaksamaan Linear

Sebelum kita masuk ke soal yang tadi, kita kenalan dulu yuk sama yang namanya pertidaksamaan linear. Pertidaksamaan linear itu, sederhananya, adalah kalimat matematika yang menggunakan tanda-tanda seperti < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan), atau ≥ (lebih dari atau sama dengan). Beda sama persamaan yang tandanya =, pertidaksamaan ini nunjukkin hubungan yang gak setara.

Dalam konteks matematika, pertidaksamaan linear sering banget dipake buat nyari daerah solusi dari suatu masalah. Misalnya, dalam masalah optimasi (nyari nilai maksimum atau minimum), kita sering nemuin batasan-batasan yang bentuknya pertidaksamaan linear. Batasan-batasan ini nentuin daerah mana aja yang mungkin jadi solusi. Nah, dari daerah solusi ini, kita bisa cari nilai yang paling optimal.

Pentingnya memahami pertidaksamaan linear terletak pada kemampuannya dalam memodelkan berbagai situasi nyata. Bayangin aja, misalnya kita punya modal terbatas buat beli barang. Nah, batasan modal ini bisa kita modelkan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Atau, misalnya kita punya target produksi minimal yang harus dicapai. Target ini juga bisa kita representasiin pake pertidaksamaan linear. Jadi, dengan ngerti pertidaksamaan linear, kita bisa lebih gampang nyelesain masalah-masalah praktis di kehidupan sehari-hari.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear

Secara umum, pertidaksamaan linear dengan dua variabel (misalnya x dan y) punya bentuk kayak gini:

ax + by < c

atau

ax + by > c

atau

ax + by ≤ c

atau

ax + by ≥ c

Di mana a, b, dan c adalah konstanta (angka). Nah, x dan y ini adalah variabel yang mau kita cari nilainya. Tujuan kita biasanya adalah nyari semua pasangan nilai x dan y yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Pasangan nilai ini disebut sebagai solusi dari pertidaksamaan.

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear, kita seringkali menggunakan metode grafik. Caranya, kita gambar garis ax + by = c (garis pembatas) di bidang koordinat. Terus, kita tentuin daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan. Daerah ini bisa di sebelah atas garis, di sebelah bawah garis, atau bahkan garis itu sendiri (kalau pertidaksamaannya pake tanda ≤ atau ≥).

Kategori dalam Matematika

Kalau kita ngomongin kategori dalam matematika, pertidaksamaan linear ini masuk ke dalam beberapa kategori sekaligus. Pertama, jelas ini masuk ke aljabar, karena kita berurusan sama variabel dan konstanta. Kedua, ini juga masuk ke geometri analitik, karena kita bisa ngegambarin pertidaksamaan ini dalam bentuk grafik di bidang koordinat. Ketiga, pertidaksamaan linear ini sering jadi bagian penting dalam program linear, yaitu metode optimasi yang banyak dipake di bidang ekonomi, industri, dan lain-lain.

Membahas Soal Pertidaksamaan: 12x + 3y ≤ 36, 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0

Oke, sekarang kita balik lagi ke soal yang tadi: 12x + 3y ≤ 36, 2x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0. Soal ini sebenernya nyuruh kita buat nyari daerah solusi dari sistem pertidaksamaan linear ini. Artinya, kita harus nyari semua pasangan nilai x dan y yang memenuhi keempat pertidaksamaan ini sekaligus.

Langkah-langkah Menyelesaikan

Berikut ini langkah-langkah yang bisa kita lakuin buat nyelesain soal ini:

Gambar Garis Pembatas: Pertama, kita gambar garis pembatas dari masing-masing pertidaksamaan. Garis pembatas ini kita dapetin dengan cara ngeganti tanda pertidaksamaan jadi tanda sama dengan (=).
- 12x + 3y = 36 -> Kita bisa sederhanain jadi 4x + y = 12. Buat ngegambar garis ini, kita butuh minimal dua titik. Misalnya, kalau x = 0, maka y = 12. Kalau y = 0, maka x = 3. Jadi, kita punya dua titik: (0, 12) dan (3, 0). Kita gambar garis yang ngelewatin dua titik ini.
- 2x + y = 10. Sama kayak tadi, kita cari dua titik. Misalnya, kalau x = 0, maka y = 10. Kalau y = 0, maka x = 5. Jadi, kita punya dua titik: (0, 10) dan (5, 0). Kita gambar garis yang ngelewatin dua titik ini.
- x = 0. Ini adalah garis vertikal yang berimpit sama sumbu y.
- y = 0. Ini adalah garis horizontal yang berimpit sama sumbu x.
Tentukan Daerah Solusi Masing-masing Pertidaksamaan: Setelah kita gambar garis pembatas, kita harus nentuin daerah mana yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan. Caranya, kita bisa ngambil sembarang titik yang gak ada di garis pembatas, terus kita substitusiin ke pertidaksamaan. Kalau pertidaksamaannya bener, berarti daerah yang ada titik itu adalah daerah solusinya. Kalau salah, berarti daerah solusinya ada di seberang garis.
- 12x + 3y ≤ 36. Kita ambil titik (0, 0). Kita substitusiin: 12(0) + 3(0) ≤ 36 -> 0 ≤ 36 (bener!). Berarti, daerah solusi pertidaksamaan ini adalah daerah yang ada titik (0, 0)-nya, yaitu daerah di bawah garis 4x + y = 12.
- 2x + y ≥ 10. Kita ambil titik (0, 0) lagi. Kita substitusiin: 2(0) + 0 ≥ 10 -> 0 ≥ 10 (salah!). Berarti, daerah solusi pertidaksamaan ini adalah daerah yang gak ada titik (0, 0)-nya, yaitu daerah di atas garis 2x + y = 10.
- x ≥ 0. Daerah solusi pertidaksamaan ini adalah daerah di sebelah kanan sumbu y (termasuk sumbu y itu sendiri).
- y ≥ 0. Daerah solusi pertidaksamaan ini adalah daerah di sebelah atas sumbu x (termasuk sumbu x itu sendiri).
Cari Daerah Irisan: Nah, daerah solusi dari sistem pertidaksamaan ini adalah daerah yang memenuhi keempat pertidaksamaan sekaligus. Artinya, kita harus nyari daerah irisan (daerah yang ketutup sama semua daerah solusi masing-masing pertidaksamaan). Biasanya, daerah irisan ini bentuknya poligon (segi banyak).

Visualisasi Grafik

Biar lebih gampang, coba kalian bayangin atau gambar grafiknya. Kalian bakal ngeliat empat garis yang saling berpotongan. Daerah solusi sistem pertidaksamaan ini adalah daerah yang ada di kuadran I (karena x ≥ 0 dan y ≥ 0), di bawah garis 4x + y = 12, dan di atas garis 2x + y = 10. Daerah ini bentuknya kayak segi empat.

Mencari Titik Pojok

Daerah solusi yang bentuknya poligon ini punya titik-titik pojok. Titik pojok ini penting banget, terutama kalau kita mau nyari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi objektif (misalnya, fungsi yang ngerepresentasiin keuntungan atau biaya). Biasanya, nilai maksimum atau minimum ini ada di salah satu titik pojok.

Buat nyari titik pojok, kita bisa nyelesain persamaan garis yang berpotongan. Misalnya:

Titik potong garis 4x + y = 12 dan 2x + y = 10. Kita bisa kurangin kedua persamaan ini: (4x + y) - (2x + y) = 12 - 10 -> 2x = 2 -> x = 1. Terus, kita substitusiin x = 1 ke salah satu persamaan, misalnya 2x + y = 10 -> 2(1) + y = 10 -> y = 8. Jadi, titik potongnya adalah (1, 8).
Titik potong garis 4x + y = 12 dan y = 0. Kita substitusiin y = 0 ke persamaan 4x + y = 12 -> 4x + 0 = 12 -> x = 3. Jadi, titik potongnya adalah (3, 0).
Titik potong garis 2x + y = 10 dan y = 0. Kita substitusiin y = 0 ke persamaan 2x + y = 10 -> 2x + 0 = 10 -> x = 5. Jadi, titik potongnya adalah (5, 0).
Titik potong garis 2x + y = 10 dan x = 0. Kita substitusiin x = 0 ke persamaan 2x + y = 10 -> 2(0) + y = 10 -> y = 10. Jadi, titik potongnya adalah (0, 10).

Jadi, kita punya empat titik pojok: (1, 8), (3, 0), (5, 0), dan (0, 10).

Kesimpulan

Nah, gitu guys cara nyelesain soal pertidaksamaan linear kayak gini. Intinya, kita harus gambar garis pembatas, tentuin daerah solusi masing-masing pertidaksamaan, cari daerah irisan, dan kalau perlu, cari titik pojok. Pertidaksamaan linear ini penting banget dalam matematika dan penerapannya di dunia nyata. Jadi, jangan bosen buat latihan soal ya!

Semoga artikel ini bermanfaat buat kalian. Kalau ada pertanyaan atau pengen request pembahasan soal lain, tulis aja di kolom komentar ya! Sampai jumpa di artikel berikutnya!