Potongan Kawat Maksimum: Luas Bujur Sangkar & Lingkaran
Hay guys! Pernah gak sih kalian penasaran, kalau kita punya seutas kawat terus dipotong jadi dua bagian, satu buat bikin bujur sangkar dan satunya lagi buat lingkaran, gimana ya caranya biar total luasnya jadi paling maksimal? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas soal ini. Soalnya ini menarik banget dan sering muncul di soal-soal matematika, lho!
Memahami Soal: Kawat, Bujur Sangkar, dan Lingkaran
Sebelum kita masuk ke perhitungan yang ribet, penting banget buat kita pahami dulu inti soalnya. Kita punya kawat dengan panjang 120 meter. Kawat ini mau kita potong jadi dua bagian. Anggap aja potongan pertama kita pakai buat bikin bujur sangkar, dan potongan kedua buat bikin lingkaran. Pertanyaannya adalah, kita harus potong kawatnya di mana supaya jumlah luas bujur sangkar dan luas lingkaran itu paling besar alias maksimum?
Keyword utama di sini adalah maksimum. Artinya, kita harus mencari cara untuk mengoptimalkan luas total. Kita juga perlu ingat rumus luas bujur sangkar dan luas lingkaran. Ini penting banget buat nanti kita bikin persamaannya.
Rumus-Rumus Penting yang Harus Diingat
Sebelum kita lanjut, yuk kita refresh dulu ingatan kita tentang rumus-rumus yang bakal kita pakai:
- Luas Bujur Sangkar: sisi x sisi (s²)
- Keliling Bujur Sangkar: 4 x sisi (4s)
- Luas Lingkaran: π x jari-jari² (πr²)
- Keliling Lingkaran: 2 x π x jari-jari (2πr)
Rumus-rumus ini bakal jadi senjata utama kita buat mecahin soal ini. Jadi, pastikan kalian udah bener-bener paham ya!
Membuat Model Matematika
Oke, sekarang kita coba bikin model matematikanya. Ini penting banget supaya kita bisa visualisasikan soalnya dalam bentuk persamaan. Anggap aja:
- Panjang kawat untuk bujur sangkar = x meter
- Panjang kawat untuk lingkaran = 120 - x meter (karena total panjang kawat 120 meter)
Mencari Sisi Bujur Sangkar
Kita tahu keliling bujur sangkar itu 4s, dan kelilingnya sama dengan panjang kawat yang dipakai (x meter). Jadi:
4s = x s = x/4
Nah, kita udah dapat sisi bujur sangkarnya, yaitu x/4 meter.
Mencari Jari-Jari Lingkaran
Sama kayak bujur sangkar, keliling lingkaran (2πr) sama dengan panjang kawat yang dipakai (120 - x meter). Jadi:
2πr = 120 - x r = (120 - x) / (2π)
Oke, kita juga udah dapat jari-jari lingkarannya, yaitu (120 - x) / (2π) meter.
Menyusun Persamaan Luas Total
Sekarang, kita susun persamaan luas total (L) yang merupakan jumlah luas bujur sangkar dan luas lingkaran:
L = Luas Bujur Sangkar + Luas Lingkaran L = (x/4)² + π[(120 - x) / (2π)]² L = x²/16 + (120 - x)² / (4π)
Persamaan ini penting banget, karena dari sinilah kita bakal cari nilai x yang bikin luas totalnya maksimum.
Mencari Nilai Maksimum dengan Turunan
Nah, buat nyari nilai maksimum dari suatu fungsi, kita bisa pakai konsep turunan. Jadi, kita bakal turunkan persamaan luas total (L) terhadap x, terus kita cari nilai x yang bikin turunannya sama dengan nol.
Menurunkan Persamaan Luas Total
Turunan pertama dari L terhadap x (dL/dx) adalah:
dL/dx = (2x/16) - (2(120 - x) / (4π)) dL/dx = x/8 - (120 - x) / (2π)
Mencari Titik Kritis
Titik kritis itu adalah nilai x yang bikin dL/dx = 0. Jadi, kita samakan turunannya dengan nol:
x/8 - (120 - x) / (2π) = 0
Nah, sekarang kita tinggal selesaikan persamaan ini buat cari nilai x. Ini emang agak ribet, tapi sabar ya, guys!
Menyelesaikan Persamaan
Setelah kita utak-atik persamaannya, kita bakal dapat:
x = 480 / (π + 4)
Ini adalah nilai x yang bikin luas totalnya стационарна. Tapi, kita belum tahu ini maksimum atau minimum. Buat mastiin, kita perlu uji lagi.
Uji Turunan Kedua
Buat nentuin apakah nilai x ini bikin luas total maksimum atau minimum, kita bisa pakai uji turunan kedua. Kita turunkan lagi dL/dx terhadap x (d²L/dx²):
d²L/dx² = 1/8 + 1/(2π)
Karena d²L/dx² ini positif, berarti nilai x yang kita dapat tadi bikin luas totalnya minimum, bukan maksimum. Waduh, gimana nih?
Analisis Lebih Lanjut: Kasus Ekstrem
Karena turunan kedua positif, berarti kita gak bisa langsung pakai nilai x yang kita dapat tadi. Kita perlu analisis lebih lanjut. Ingat, kita punya batasan:
- x itu panjang kawat buat bujur sangkar, jadi x gak mungkin negatif.
- x juga gak mungkin lebih dari 120 meter (total panjang kawat).
Artinya, kita punya dua kasus ekstrem:
- x = 0: Semua kawat dipakai buat bikin lingkaran.
- x = 120: Semua kawat dipakai buat bikin bujur sangkar.
Nah, kita hitung luas total untuk kedua kasus ini, terus kita bandingkan.
Menghitung Luas Total untuk Kasus Ekstrem
- Kasus 1 (x = 0):
- Luas Bujur Sangkar = 0
- Jari-jari Lingkaran = 120 / (2π)
- Luas Lingkaran = π[(120 / (2π))²] = 3600 / π
- Luas Total = 3600 / π ≈ 1145.92 meter persegi
- Kasus 2 (x = 120):
- Sisi Bujur Sangkar = 120 / 4 = 30
- Luas Bujur Sangkar = 30² = 900 meter persegi
- Luas Lingkaran = 0
- Luas Total = 900 meter persegi
Kesimpulan
Dari perhitungan di atas, kita lihat kalau luas total paling besar itu pas semua kawat dipakai buat bikin lingkaran (x = 0). Jadi, supaya jumlah luas bujur sangkar dan luas lingkaran maksimum, kawatnya gak usah dipotong sama sekali! Semua kawat dipakai buat bikin lingkaran. Keren kan?
Kesimpulan Akhir
Nah, itu dia guys, pembahasan lengkap tentang gimana caranya memotong kawat supaya luas total bujur sangkar dan lingkaran jadi maksimum. Intinya, kita perlu pahami soalnya, bikin model matematika, cari titik kritis pakai turunan, terus analisis kasus ekstremnya. Emang agak panjang prosesnya, tapi seru kan kalau kita bisa mecahin masalah kayak gini?
Semoga penjelasan ini bermanfaat ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat tanya di kolom komentar. Sampai jumpa di pembahasan soal-soal matematika lainnya! 😉