Pusat, Jari-Jari Lingkaran & Kedudukan Titik: Soal Dan Pembahasan

by ADMIN 66 views
Iklan Headers

Hey guys! Kali ini kita akan membahas soal-soal seru tentang lingkaran. Kita akan mencari tahu gimana cara menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaannya, terus kita juga akan menentukan posisi suatu titik terhadap lingkaran. Penasaran? Yuk, langsung aja kita bahas!

Menentukan Titik Pusat dan Jari-Jari Lingkaran

Oke, kita mulai dengan soal pertama, yaitu menentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran. Ini adalah konsep dasar yang penting banget untuk dipahami. So, simak baik-baik ya!

Persamaan Lingkaran Bentuk Umum

Sebelum kita masuk ke soal, kita refresh dulu tentang persamaan lingkaran bentuk umum. Persamaan lingkaran itu ada dua bentuk yang perlu kalian tahu:

  1. Bentuk Umum: x² + y² + Ax + By + C = 0
  2. Bentuk Standar: (x - h)² + (y - k)² = r²

Nah, dari bentuk umum ini, kita bisa mencari titik pusat (P) dan jari-jari (r) lingkaran dengan rumus berikut:

  • Titik Pusat (P) = (-A/2, -B/2)
  • Jari-jari (r) = √((-A/2)² + (-B/2)² - C)

Rumus ini penting banget, jadi catat ya! Sekarang, kita coba terapkan rumus ini ke soal.

Soal 1a: x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0. Dari persamaan ini, kita bisa lihat:

  • A = -2
  • B = 4
  • C = -20

Sekarang, kita masukkan nilai-nilai ini ke rumus titik pusat dan jari-jari.

Mencari Titik Pusat

Titik Pusat (P) = (-A/2, -B/2) = (-(-2)/2, -4/2) = (1, -2)

Jadi, titik pusat lingkaran ini adalah (1, -2).

Mencari Jari-Jari

Jari-jari (r) = √((-A/2)² + (-B/2)² - C) = √((1)² + (-2)² - (-20)) = √(1 + 4 + 20) = √25 = 5

Jadi, jari-jari lingkaran ini adalah 5 satuan.

Soal 1b: 2x² + 2y² - 8x – 4y - 30 = 0

Nah, untuk soal ini, ada sedikit perbedaan. Kita lihat bahwa koefisien x² dan y² adalah 2. Supaya bisa kita pakai rumus tadi, kita harus bagi seluruh persamaan dengan 2 terlebih dahulu. Jadi, persamaannya menjadi:

x² + y² - 4x - 2y - 15 = 0

Sekarang, kita bisa tentukan:

  • A = -4
  • B = -2
  • C = -15

Mencari Titik Pusat

Titik Pusat (P) = (-A/2, -B/2) = (-(-4)/2, -(-2)/2) = (2, 1)

Jadi, titik pusat lingkaran ini adalah (2, 1).

Mencari Jari-Jari

Jari-jari (r) = √((-A/2)² + (-B/2)² - C) = √((2)² + (1)² - (-15)) = √(4 + 1 + 15) = √20 = 2√5

Jadi, jari-jari lingkaran ini adalah 2√5 satuan.

Menentukan Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Lanjut ke soal berikutnya, yaitu menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran. Maksudnya, kita mau tahu apakah suatu titik itu berada di dalam lingkaran, di luar lingkaran, atau tepat pada lingkaran.

Konsep Kedudukan Titik

Misalkan kita punya lingkaran dengan persamaan (x - h)² + (y - k)² = r² dan sebuah titik (x₁, y₁). Nah, cara menentukan kedudukan titik ini gampang banget:

  1. Substitusikan x₁ dan y₁ ke persamaan lingkaran.
  2. Bandingkan hasilnya dengan r²:
    • Jika (x₁ - h)² + (y₁ - k)² < r², maka titik berada di dalam lingkaran.
    • Jika (x₁ - h)² + (y₁ - k)² > r², maka titik berada di luar lingkaran.
    • Jika (x₁ - h)² + (y₁ - k)² = r², maka titik berada pada lingkaran.

Soal 2: Lingkaran A dengan Persamaan x² + y² – 6x + 12y + 29 = 0

Kita punya lingkaran A dengan persamaan x² + y² – 6x + 12y + 29 = 0. Nah, kita akan menentukan kedudukan beberapa titik terhadap lingkaran ini. Tapi, sebelum itu, kita ubah dulu persamaan lingkaran ini ke bentuk standar biar lebih mudah.

Mengubah Persamaan ke Bentuk Standar

Untuk mengubah ke bentuk standar, kita perlu melengkapi kuadrat sempurna. Caranya:

  1. Kelompokkan suku x dan y: (x² - 6x) + (y² + 12y) = -29
  2. Lengkapi kuadrat sempurna:
    • Untuk x: (x² - 6x + 9) -> (-6/2)² = 9
    • Untuk y: (y² + 12y + 36) -> (12/2)² = 36
  3. Tambahkan nilai yang sama di kedua sisi persamaan: (x² - 6x + 9) + (y² + 12y + 36) = -29 + 9 + 36
  4. Faktorkan dan sederhanakan: (x - 3)² + (y + 6)² = 16

Nah, sekarang kita punya persamaan lingkaran dalam bentuk standar, yaitu (x - 3)² + (y + 6)² = 16. Dari sini, kita tahu:

  • Titik Pusat (P) = (3, -6)
  • Jari-jari (r) = √16 = 4

Sekarang, kita siap menentukan kedudukan titik!

(Karena soal meminta menentukan kedudukan titik-titik tertentu, dan daftar titiknya tidak diberikan, maka untuk melengkapi pembahasan ini, kita akan membuat contoh titik dan menentukan kedudukannya.)

Contoh Titik dan Kedudukannya

Misalkan kita punya tiga titik:

  • Titik A (3, -2)
  • Titik B (7, -6)
  • Titik C (3, -10)

Sekarang, kita akan substitusikan masing-masing titik ke persamaan lingkaran bentuk standar dan lihat hasilnya.

Titik A (3, -2)

(3 - 3)² + (-2 + 6)² = 0 + 16 = 16

Karena hasilnya sama dengan r² (16), maka Titik A berada pada lingkaran.

Titik B (7, -6)

(7 - 3)² + (-6 + 6)² = 16 + 0 = 16

Karena hasilnya sama dengan r² (16), maka Titik B berada pada lingkaran.

Titik C (3, -10)

(3 - 3)² + (-10 + 6)² = 0 + 16 = 16

Karena hasilnya sama dengan r² (16), maka Titik C berada pada lingkaran.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, pembahasan lengkap tentang cara menentukan titik pusat, jari-jari lingkaran, dan kedudukan titik terhadap lingkaran. Kuncinya adalah memahami rumus dasar dan teliti dalam perhitungan. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan bisa membantu kalian dalam memahami materi lingkaran ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya. Semangat belajar!