Rumus Barisan Geometri: Cari Suku Pertama & Rasio

by ADMIN 50 views

Hai guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin kepala pusing tujuh keliling? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas salah satu soal yang sering muncul di pelajaran barisan dan deret geometri. Topiknya tentang gimana cara nyari suku pertama dan rasio barisan geometri kalau dikasih petunjuk kayak gini: "Dalam suatu barisan geometri suku ketiga 6 lebihnya dari suku pertama dan jumlah suku kedua dan suku ketiga adalah 9."

Jangan khawatir, guys! Kita bakal kupas tuntas soal ini pelan-pelan, mulai dari memahami soalnya, sampai nemuin jawabannya. Siapin catatan kalian, karena bakal ada beberapa rumus penting yang perlu kita ingat. Yuk, langsung aja kita mulai petualangan matematika kita!

Memahami Soal Barisan Geometri

Sebelum kita nyari jawabannya, penting banget buat kita memahami dulu apa itu barisan geometri dan informasi apa aja yang dikasih sama soal. Barisan geometri itu sederhananya adalah barisan bilangan di mana setiap suku sesudahnya didapat dari perkalian suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Kalau kita punya suku pertama (kita simbolin sebagai a) dan rasio (r), maka barisan geometrinya bakal kayak gini: a, ar, arĀ², arĀ³, ...

Nah, di soal ini, kita dikasih dua petunjuk penting:

  1. "Suku ketiga 6 lebihnya dari suku pertama." Kalau suku pertama itu a dan suku ketiga itu arĀ², maka kalimat ini bisa kita ubah jadi persamaan matematika. "6 lebihnya dari suku pertama" berarti suku pertama ditambah 6. Jadi, persamaannya adalah: arĀ² = a + 6. Keren, kan? Kita udah berhasil mengubah kalimat jadi rumus!

  2. "Jumlah suku kedua dan suku ketiga adalah 9." Suku kedua itu ar dan suku ketiga itu arĀ². Kalau dijumlahin jadi 9, maka persamaannya jadi: ar + arĀ² = 9. Gampang banget kan, guys?

Dengan dua persamaan ini, tugas kita sekarang adalah mencari nilai a (suku pertama) dan r (rasio). Ini kayak teka-teki yang seru banget buat dipecahin!

Mengubah Informasi Menjadi Persamaan Matematika

Jadi, kita punya sistem persamaan:

  • Persamaan 1: arĀ² = a + 6
  • Persamaan 2: ar + arĀ² = 9

Sekarang, mari kita analisis kedua persamaan ini. Di Persamaan 2, kita bisa lihat ada suku arĀ². Nah, kita udah tahu dari Persamaan 1 kalau arĀ² itu sama dengan a + 6. Jadi, kita bisa substitusi nih! Kita ganti arĀ² di Persamaan 2 dengan (a + 6).

Persamaan 2 jadi: ar + (a + 6) = 9

Terus kita sederhanain lagi: ar + a = 9 - 6 ar + a = 3

Nah, dari sini kita bisa keluarin a sebagai faktor: a(r + 1) = 3. Ini bakal jadi persamaan baru kita, sebut aja Persamaan 3. Kita udah berhasil menyederhanakan kedua petunjuk menjadi dua persamaan yang lebih simpel:

  • Persamaan 1 (yang dimodifikasi): arĀ² = a + 6
  • Persamaan 3: a(r + 1) = 3

Ingat ya, guys, kunci dalam matematika itu adalah memecah masalah jadi bagian-bagian kecil dan mengubah informasi yang ada menjadi bentuk yang bisa kita olah, yaitu persamaan.

Menentukan Suku Pertama dan Rasio Barisan Geometri

Oke, guys, sekarang kita punya dua persamaan yang siap buat kita utak-atik buat nemuin nilai a dan r. Persamaan kita sekarang adalah:

  1. arĀ² = a + 6
  2. a(r + 1) = 3

Gimana cara nyari a dan r dari sini? Ada beberapa metode, tapi yang paling umum adalah metode substitusi lagi. Dari Persamaan 2, kita bisa ubah bentuknya buat dapetin nilai a dalam bentuk r, atau sebaliknya. Yuk, kita coba cari a dari Persamaan 2:

a = 3 / (r + 1)

Catatan penting nih, guys! Kita harus hati-hati. Kalau r + 1 = 0 (artinya r = -1), maka pembagian ini nggak bisa dilakukan. Tapi, kita lihat dulu nanti apakah r = -1 bisa jadi solusi. Untuk sekarang, kita lanjut dulu dengan asumsi r ā‰  -1.

Setelah kita punya a dalam bentuk r, kita bisa substitusikan nilai a ini ke Persamaan 1. Jadi, di mana ada a di Persamaan 1, kita ganti pakai 3 / (r + 1).

Persamaan 1: arĀ² = a + 6

Substitusi a = 3 / (r + 1):

(3 / (r + 1)) * rĀ² = (3 / (r + 1)) + 6

Wah, kelihatan agak rumit ya? Tapi jangan nyerah dulu, guys! Kita bisa lakuin beberapa langkah buat nyederhanain ini. Biar gampang, kita bisa kaliin semua ruas sama (r + 1) buat ngilangin penyebutnya. Tapi ingat, kita harus pastikan (r + 1) nggak nol.

Kaliin semua ruas sama (r + 1):

3rĀ² = 3 + 6(r + 1)

Sekarang kita buka kurungnya:

3rĀ² = 3 + 6r + 6

Gabungin angka yang sama:

3rĀ² = 6r + 9

Biar makin sederhana, kita bagi semua ruas sama 3:

rĀ² = 2r + 3

Sekarang kita punya persamaan kuadrat! Persamaan kuadrat ini tinggal kita pindahin semua ke satu ruas biar jadi nol:

rĀ² - 2r - 3 = 0

Untuk nyelesaiin persamaan kuadrat ini, kita bisa pakai cara faktorisasi. Kita cari dua angka yang kalau dikali hasilnya -3 dan kalau ditambah hasilnya -2. Angkanya adalah -3 dan +1.

Jadi, faktorisasinya jadi:

(r - 3)(r + 1) = 0

Dari sini, kita punya dua kemungkinan nilai r:

  • r - 3 = 0 => r = 3
  • r + 1 = 0 => r = -1

Nah, sekarang kita balik lagi ke catatan penting kita tadi. Kita sempat bilang kalau r = -1 itu bisa bikin pembagian jadi nol. Mari kita cek kalau r = -1 beneran bisa jadi solusi.

Kalau r = -1, dari Persamaan 3: a(r + 1) = 3 a(-1 + 1) = 3 a(0) = 3 0 = 3

Ini kan nggak mungkin, guys! Jadi, r = -1 tidak bisa jadi solusi barisan geometri kita.

Satu-satunya solusi yang mungkin adalah r = 3.

Sekarang kita udah dapet rasionya. Gimana cara nyari suku pertamanya (a)? Gampang! Kita tinggal substitusi nilai r = 3 ke salah satu persamaan awal kita, misalnya Persamaan 3: a(r + 1) = 3.

a(3 + 1) = 3 a(4) = 3 a = 3/4

Yeay! Kita udah nemuin suku pertama dan rasionya. Jadi, jawabannya adalah:

  • Suku pertama (a) = 3/4
  • Rasio (r) = 3

Keren banget kan, guys? Cuma dengan sedikit manipulasi aljabar dan pemahaman konsep, kita bisa mecahin misteri barisan geometri ini.

Memastikan Jawaban dengan Verifikasi

Biar makin mantap, yuk kita cek jawaban kita pakai informasi awal dari soal. Apakah suku ketiga 6 lebihnya dari suku pertama? Dan apakah jumlah suku kedua dan ketiga adalah 9?

  • Suku pertama (a) = 3/4

  • Rasio (r) = 3

  • Suku kedua = ar = (3/4) * 3 = 9/4

  • Suku ketiga = arĀ² = (3/4) * 3Ā² = (3/4) * 9 = 27/4

Sekarang kita cek:

  1. Suku ketiga 6 lebihnya dari suku pertama? Suku ketiga - Suku pertama = (27/4) - (3/4) = 24/4 = 6. YES! Ini cocok banget sama petunjuk pertama.

  2. Jumlah suku kedua dan suku ketiga adalah 9? Suku kedua + Suku ketiga = (9/4) + (27/4) = 36/4 = 9. YES! Ini juga cocok banget sama petunjuk kedua.

Jadi, jawaban kita sudah pasti benar, guys! Suku pertama adalah 3/4 dan rasionya adalah 3.

Menentukan Suku ke-8 Barisan Geometri

Nah, sekarang kita udah pegang modal penting: suku pertama (a) dan rasio (r). Tugas selanjutnya adalah menentukan suku ke-8 dari barisan geometri ini. Masih ingat kan sama rumus umum suku ke-n pada barisan geometri? Kalau belum, yuk kita ingetin lagi.

Rumus suku ke-n (Uā‚™) pada barisan geometri adalah:

Uā‚™ = a * r^(n-1)

Di mana:

  • Uā‚™ adalah suku ke-n yang ingin kita cari.
  • a adalah suku pertama.
  • r adalah rasio.
  • n adalah urutan suku yang ingin kita cari.

Di soal ini, kita diminta mencari suku ke-8. Berarti, n = 8. Kita juga sudah tahu kalau a = 3/4 dan r = 3.

Sekarang, kita tinggal masukin nilai-nilai ini ke dalam rumus:

Uā‚ˆ = a * r^(8-1) Uā‚ˆ = a * rā·

Masukkan nilai a dan r:

Uā‚ˆ = (3/4) * (3)ā·

Kita perlu hitung dulu 3ā·. Ini angkanya lumayan besar:

  • 3Ā¹ = 3
  • 3Ā² = 9
  • 3Ā³ = 27
  • 3ā“ = 81
  • 3āµ = 243
  • 3ā¶ = 729
  • 3ā· = 2187

Jadi, 3ā· = 2187.

Sekarang kita masukkan kembali ke rumus Uā‚ˆ:

Uā‚ˆ = (3/4) * 2187

Kita tinggal mengalikan 3 dengan 2187, lalu membaginya dengan 4.

  • 3 * 2187 = 6561

Jadi:

Uā‚ˆ = 6561 / 4

Nah, jawabannya bisa kita biarkan dalam bentuk pecahan seperti ini, atau kalau mau diubah ke desimal juga boleh. Kalau kita bagi 6561 dengan 4, hasilnya adalah 1640.25.

Jadi, suku ke-8 dari barisan geometri tersebut adalah 6561/4 atau 1640.25.

Keren kan, guys? Kita berhasil ngitung sampai suku ke-8 hanya dengan modal informasi awal yang terlihat rumit. Ini bukti kalau matematika itu seru dan bisa dipecahkan kalau kita tahu caranya.

Kesimpulan: Kunci Memecahkan Soal Barisan Geometri

Dari pembahasan soal ini, ada beberapa poin penting yang bisa kita ambil buat bekal nanti kalau ketemu soal barisan geometri lainnya:

  1. Pahami Konsep Dasar: Selalu ingat definisi barisan geometri: a, ar, arĀ², arĀ³, ... dan rumus suku ke-n: Uā‚™ = a * r^(n-1).
  2. Ubah Informasi Jadi Persamaan: Bagian paling krusial adalah mengubah kalimat-kalimat dalam soal menjadi bentuk persamaan matematika yang bisa kita olah. Gunakan simbol a untuk suku pertama dan r untuk rasio.
  3. Manfaatkan Metode Substitusi: Setelah punya sistem persamaan, metode substitusi adalah cara ampuh untuk menyederhanakan persamaan dan menemukan nilai variabel yang tidak diketahui.
  4. Selesaikan Persamaan Kuadrat: Seringkali, proses penyelesaian akan mengarah pada persamaan kuadrat. Ingat cara memfaktorkan atau menggunakan rumus ABC untuk menyelesaikannya.
  5. Verifikasi Jawaban: Jangan lupa cek kembali jawabanmu dengan informasi awal soal. Ini penting untuk memastikan kebenaran perhitunganmu.
  6. Gunakan Rumus Suku ke-n: Setelah a dan r ketemu, gunakan rumus Uā‚™ = a * r^(n-1) untuk mencari suku ke berapa pun yang diminta.

Matematika itu bukan cuma angka dan rumus, guys. Ini adalah tentang logika, pemecahan masalah, dan kreativitas. Dengan latihan yang cukup dan pemahaman yang baik, kalian pasti bisa menaklukkan soal-soal seperti ini. Semangat terus belajarnya ya! Kalau ada pertanyaan lain, jangan ragu buat nanya!