Rumus $S_n = 3n^2 + N$: Cari Suku Pertama & Beda

Halo, para pecinta matematika! Kali ini kita akan bahas tuntas soal yang lumayan sering muncul di ujian, nih. Kita punya soal tentang barisan aritmatika, di mana jumlah $n$ suku pertamanya sudah diketahui. Rumusnya adalah $S_n = 3n^2 + n$. Tugas kita adalah mencari suku pertama dan beda dari barisan ini. Siap? Yuk, kita mulai!

Memahami Konsep Dasar Barisan Aritmatika

Sebelum kita terjun ke perhitungannya, penting banget nih buat kita inget lagi apa itu barisan aritmatika. Jadi, barisan aritmatika itu adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama. Selisih inilah yang kita sebut sebagai beda (biasanya dilambangkan dengan $b$).

Terus, ada juga konsep jumlah $n$ suku pertama, yang dilambangkan dengan $S_n$. Ini adalah hasil penjumlahan dari suku pertama ($a$) sampai suku ke-$n$ ($U_n$) dari barisan tersebut. Nah, dalam soal ini, kita sudah dikasih tahu nih bentuk umum dari $S_n$, yaitu $S_n = 3n^2 + n$. Ini adalah kunci utama kita untuk memecahkan masalah.

Perlu diingat juga, rumus umum suku ke-$n$ barisan aritmatika adalah $U_n = a + (n-1)b$. Tapi, kita belum tahu nilai $a$ dan $b$, kan? Tenang, kita bisa manfaatkan rumus $S_n$ yang sudah ada.

Mencari Suku Pertama ($a$) dengan Rumus $S_n$

Nah, guys, ini bagian yang seru. Bagaimana cara kita menemukan suku pertama ($a$) dari rumus $S_n = 3n^2 + n$? Gampang banget! Ingat, $S_n$ adalah jumlah $n$ suku pertama. Kalau kita ambil $n=1$, artinya kita menjumlahkan 1 suku pertama. Ya iyalah, pasti hasilnya adalah suku pertama itu sendiri! Jadi, suku pertama ($a$) itu sama dengan $S_1$.

Mari kita buktikan. Kita substitusikan $n=1$ ke dalam rumus $S_n = 3n^2 + n$:

$S_1 = 3(1)^2 + 1$

$S_1 = 3(1) + 1$

$S_1 = 3 + 1$

$S_1 = 4$

Jadi, tadaa! Suku pertama ($a$) dari barisan aritmatika ini adalah 4. Gimana, nggak susah kan? Cuma perlu sedikit logika aja.

Mencari Beda Sepunya ($b$) Menggunakan $S_n$ dan Suku Pertama

Sekarang kita punya modal penting: suku pertama ($a = 4$). Langkah selanjutnya adalah mencari beda sepunya ($b$). Ada beberapa cara nih untuk menemukannya. Kita akan coba dua cara yang paling umum dan mudah dipahami.

Cara 1: Menggunakan $S_2$

Kita tahu bahwa $S_2$ adalah jumlah dua suku pertama, yaitu $U_1 + U_2$. Kita sudah tahu $U_1 = a = 4$. Kalau kita bisa cari nilai $S_2$, kita bisa dapatkan $U_2$, dan dari situ kita bisa hitung bedanya.

Pertama, kita hitung $S_2$ menggunakan rumus $S_n = 3n^2 + n$:

$S_2 = 3(2)^2 + 2$

$S_2 = 3(4) + 2$

$S_2 = 12 + 2$

$S_2 = 14$

Nah, $S_2$ ini adalah $U_1 + U_2$. Jadi, kita punya:

$U_1 + U_2 = 14$

Karena kita tahu $U_1 = a = 4$, maka:

$4 + U_2 = 14$

$U_2 = 14 - 4$

$U_2 = 10$

Sekarang kita punya suku pertama ($U_1 = 4$) dan suku kedua ($U_2 = 10$). Ingat, beda sepunya ($b$) adalah selisih antara suku kedua dan suku pertama.

$b = U_2 - U_1$

$b = 10 - 4$

$b = 6$

Jadi, beda sepunya ($b$) adalah 6. Keren! Satu masalah terpecahkan.

Cara 2: Menggunakan Hubungan $S_n$ dengan $U_n$

Cara kedua ini sedikit lebih matematis tapi sangat berguna, guys. Kita bisa memanfaatkan hubungan bahwa suku ke-$n$ ($U_n$) sama dengan jumlah $n$ suku pertama ($S_n$) dikurangi jumlah ($n-1$) suku pertama ($S_{n-1}$). Matematisnya:

$U_n = S_n - S_{n-1}$

Kita sudah tahu $S_n = 3n^2 + n$. Sekarang kita perlu cari $S_{n-1}$. Caranya, ganti semua $n$ di rumus $S_n$ dengan $(n-1)$:

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 + (n-1)$

$S_{n-1} = 3(n^2 - 2n + 1) + n - 1$

$S_{n-1} = 3n^2 - 6n + 3 + n - 1$

$S_{n-1} = 3n^2 - 5n + 2$

Sekarang, kita bisa cari $U_n$ dengan mengurangkan $S_n$ dan $S_{n-1}$:

$U_n = (3n^2 + n) - (3n^2 - 5n + 2)$

$U_n = 3n^2 + n - 3n^2 + 5n - 2$

$U_n = 6n - 2$

Voila! Kita sudah dapatkan rumus suku ke-$n$ dari barisan ini, yaitu $U_n = 6n - 2$. Sekarang, kita bisa cari bedanya. Ingat, beda ($b$) adalah $U_n - U_{n-1}$. Atau, kalau kita sudah punya $U_n$, kita bisa cari $U_1$ dan $U_2$ untuk mendapatkan bedanya. Kita sudah punya $U_n = 6n - 2$. Mari kita cari $U_1$ dan $U_2$ lagi:

Untuk $n=1$: $U_1 = 6(1) - 2 = 6 - 2 = 4$. Cocok dengan hasil sebelumnya!

Untuk $n=2$: $U_2 = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10$. Cocok juga!

Nah, bedanya adalah $U_2 - U_1 = 10 - 4 = 6$. Atau, kalau kita perhatikan rumus $U_n = 6n - 2$, bentuk umumnya adalah $U_n = a + (n-1)b$. Kalau kita ubah $6n - 2$ menjadi bentuk itu:

$U_n = 6n - 6 + 4$

$U_n = 4 + 6(n-1)$

Dari bentuk ini, terlihat jelas bahwa $a = 4$ dan $b = 6$. Jadi, cara ini juga sangat ampuh untuk menemukan beda sepunya ($b$).

Kesimpulan

Jadi, guys, dari rumus jumlah $n$ suku pertama $S_n = 3n^2 + n$, kita berhasil menemukan:

1. Suku pertama ($a$) adalah 4.
2. Beda sepunya ($b$) adalah 6.

Barisan aritmatikanya kalau kita jabarkan beberapa suku pertamanya adalah 4, 10, 16, 22, dan seterusnya. Kalian bisa cek sendiri kalau dijumlahkan hasilnya akan sesuai dengan rumus $S_n$. Gimana, sekarang sudah lebih paham kan? Matematika itu seru kalau kita tahu triknya! Jangan lupa latihan terus ya!