Sisa Pembagian Jumlah Pangkat 1117 Dengan 37

by ADMIN 45 views

Hay guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang kelihatannya rumit banget, tapi ternyata ada trik khususnya buat ngerjain? Nah, kali ini kita bakal bahas soal tentang sisa pembagian dari suatu penjumlahan bilangan yang dipangkatin. Soalnya kayak gini nih: Berapakah sisa dari $1^{1117} + 2^{1117} + 3^{1117} + \dots + 100^{1117}$ ketika dibagi 37? Wah, kalau dilihat sekilas, kayaknya butuh kalkulator super canggih ya buat ngitungnya. Tapi tenang, guys! Di matematika, selalu ada jalan pintas buat kita.

Memahami Konsep Sisa Pembagian dan Kongruensi

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting banget buat kita paham dulu konsep dasar tentang sisa pembagian dan kongruensi. Sisa pembagian itu, sederhananya, adalah angka yang tersisa setelah kita membagi suatu bilangan dengan bilangan lain. Misalnya, 10 dibagi 3 itu hasilnya 3 sisa 1. Nah, angka 1 ini yang disebut sisa pembagian.

Terus, apa itu kongruensi? Kongruensi ini adalah cara kita menyatakan bahwa dua bilangan punya sisa pembagian yang sama ketika dibagi dengan bilangan yang sama. Simbolnya itu tiga garis horizontal (=) yang ditumpuk. Jadi, misalnya kita punya 10 kongruen dengan 1 (mod 3), itu artinya 10 dan 1 punya sisa pembagian yang sama (yaitu 1) ketika dibagi 3. Konsep kongruensi ini penting banget karena bisa bikin perhitungan kita jadi lebih sederhana.

Pentingnya Teorema Fermat Kecil

Dalam menyelesaikan soal ini, kita akan sangat terbantu dengan sebuah teorema keren yang namanya Teorema Fermat Kecil. Teorema ini bilang, kalau kita punya bilangan prima p dan bilangan bulat a yang tidak habis dibagi p, maka $a^{p-1}$ akan kongruen dengan 1 (mod p). Kedengerannya mungkin agak rumit, tapi intinya teorema ini ngasih kita cara buat menyederhanakan pangkat-pangkat besar dalam perhitungan sisa pembagian.

Misalnya, kita mau cari sisa pembagian dari $2^{36}$ dibagi 37. Karena 37 adalah bilangan prima dan 2 tidak habis dibagi 37, kita bisa pakai Teorema Fermat Kecil. Teorema ini bilang $2^{37-1} = 2^{36}$ kongruen dengan 1 (mod 37). Tuh kan, pangkat yang tadinya gede banget jadi sederhana!

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal

Oke, sekarang kita udah punya bekal yang cukup buat nyelesain soal di atas. Berikut adalah langkah-langkahnya:

  1. Manfaatkan Teorema Fermat Kecil: Kita tahu bahwa 37 adalah bilangan prima. Jadi, berdasarkan Teorema Fermat Kecil, untuk setiap bilangan bulat a yang tidak habis dibagi 37, berlaku $a^{36} ≡ 1 \pmod{37}$.

  2. Sederhanakan Pangkat: Kita punya pangkat 1117. Coba kita bagi 1117 dengan 36 (karena kita mau pakai Teorema Fermat Kecil tadi). Hasilnya adalah 31 sisa 1. Ini artinya, kita bisa tulis $1117 = 36 \times 31 + 1$. Nah, sekarang kita bisa ubah bentuk $a^{1117}$ jadi $a^{36 \times 31 + 1} = a^{36 \times 31} \times a^1 = (a{36}){31} \times a$.

  3. Gunakan Kongruensi: Ingat bahwa $a^{36} ≡ 1 \pmod{37}$. Jadi, $(a{36}){31} ≡ 1^{31} ≡ 1 \pmod{37}$. Dengan demikian, $a^{1117} ≡ 1 \times a ≡ a \pmod{37}$.

  4. Hitung Sisa Pembagian: Sekarang kita udah punya bentuk yang lebih sederhana: $a^{1117} ≡ a \pmod{37}$. Ini artinya, sisa pembagian $a^{1117}$ dibagi 37 sama dengan sisa pembagian a dibagi 37. Jadi, kita tinggal hitung sisa pembagian dari masing-masing bilangan 1 sampai 100 dibagi 37, terus kita jumlahin deh.

    Tapi, masa iya kita mau ngitung satu-satu dari 1 sampai 100? Tenang, guys! Kita bisa pakai trik lagi. Perhatikan bahwa:

    • 1 ≡ 1 (mod 37)
    • 2 ≡ 2 (mod 37)
    • ...
    • 36 ≡ 36 (mod 37)
    • 37 ≡ 0 (mod 37)
    • 38 ≡ 1 (mod 37)
    • 39 ≡ 2 (mod 37)
    • ...

    Tuh kan, polanya berulang setiap 37 bilangan! Jadi, kita bisa kelompokkan bilangan 1 sampai 100 jadi beberapa kelompok yang masing-masing isinya 37 bilangan. Ada dua kelompok lengkap (1-37 dan 38-74), dan satu kelompok sisanya (75-100).

  5. Jumlahkan Sisa Pembagian dalam Satu Kelompok: Sekarang kita hitung jumlah sisa pembagian dari 1 sampai 36: $1 + 2 + 3 + ... + 36$. Ini adalah deret aritmatika, dan kita bisa pakai rumus jumlah deret aritmatika: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$. Dalam kasus ini, n = 36, $a_1$ = 1, dan $a_n$ = 36. Jadi, jumlahnya adalah $\frac{36(1 + 36)}{2} = 666$. Nah, 666 ini kongruen dengan 0 (mod 37) karena 666 habis dibagi 37.

  6. Hitung Sisa Pembagian Kelompok Terakhir: Sekarang kita hitung sisa pembagian untuk kelompok terakhir (75-100). Kita bisa tulis:

    • 75 ≡ 1 (mod 37)
    • 76 ≡ 2 (mod 37)
    • ...
    • 100 ≡ 26 (mod 37)

    Jadi, kita perlu hitung jumlah $1 + 2 + ... + 26$. Sama kayak tadi, ini adalah deret aritmatika dengan n = 26, $a_1$ = 1, dan $a_n$ = 26. Jumlahnya adalah $\frac{26(1 + 26)}{2} = 351$.

  7. Cari Sisa Pembagian Akhir: Terakhir, kita cari sisa pembagian 351 dibagi 37. Hasilnya adalah 18. Jadi, sisa dari $1^{1117} + 2^{1117} + 3^{1117} + \dots + 100^{1117}$ ketika dibagi 37 adalah 18!

Kesimpulan

So, guys, begitulah cara kita nyelesain soal sisa pembagian yang kelihatannya rumit ini. Kuncinya adalah memahami konsep dasar, memanfaatkan teorema-teorema matematika (khususnya Teorema Fermat Kecil), dan mencari pola yang bisa menyederhanakan perhitungan kita. Matematika itu seru kan? Jangan takut sama soal yang kelihatan susah, karena selalu ada cara buat nyelesainnya! Semangat terus belajarnya ya! 😉