Sistem Pertidaksamaan: Solusi Daerah Himpunan

by ADMIN 46 views

Oke guys, kali ini kita bakal bahas soal sistem pertidaksamaan yang sering muncul dalam pelajaran matematika. Soal ini biasanya meminta kita untuk menentukan sistem pertidaksamaan mana yang sesuai dengan daerah himpunan penyelesaian (DHP) yang diberikan dalam sebuah grafik koordinat kartesius. Biar lebih jelas, yuk kita bedah satu per satu!

Memahami Dasar Sistem Pertidaksamaan

Sebelum masuk ke contoh soal, penting banget buat kita paham dulu dasar-dasar sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan adalah kumpulan dari dua atau lebih pertidaksamaan yang harus dipenuhi secara bersamaan. Nah, solusi dari sistem ini adalah daerah di mana semua pertidaksamaan tersebut terpenuhi. Daerah inilah yang disebut sebagai daerah himpunan penyelesaian (DHP).

Dalam koordinat kartesius, DHP biasanya digambarkan sebagai area yang diarsir. Batas-batas area ini ditentukan oleh garis-garis yang merupakan representasi dari pertidaksamaan. Garis ini bisa berupa garis lurus atau garis lengkung, tergantung pada bentuk pertidaksamaannya. Untuk pertidaksamaan linear (yang paling sering muncul), garis batasnya adalah garis lurus. Pertidaksamaan linear ini biasanya berbentuk:

  • ax + by ≤ c
  • ax + by ≥ c
  • ax + by < c
  • ax + by > c

Di mana a, b, dan c adalah konstanta, serta x dan y adalah variabel. Tanda ≤, ≥, <, dan > menunjukkan hubungan antara ekspresi di sebelah kiri dan kanan.

Langkah pertama dalam menentukan sistem pertidaksamaan adalah mengidentifikasi garis-garis batas pada grafik. Setiap garis ini akan merepresentasikan sebuah pertidaksamaan. Kita perlu menentukan persamaan garisnya dan tanda pertidaksamaannya (≤, ≥, <, atau >) yang sesuai dengan daerah yang diarsir.

Mengidentifikasi Garis Batas dan Persamaannya

Sekarang, mari kita fokus pada cara mengidentifikasi garis batas dan menentukan persamaannya. Biasanya, dalam soal seperti ini, garis batasnya adalah garis lurus. Untuk menentukan persamaan garis lurus, kita bisa menggunakan beberapa metode, di antaranya:

  1. Metode Dua Titik: Jika kita mengetahui dua titik yang dilalui oleh garis, misalnya (x1, y1) dan (x2, y2), maka kita bisa menggunakan rumus berikut:

(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

Setelah disederhanakan, kita akan mendapatkan persamaan garis dalam bentuk umum ax + by = c.

  1. Metode Gradien dan Titik: Jika kita mengetahui gradien (kemiringan) garis, yaitu m, dan sebuah titik yang dilalui garis, misalnya (x1, y1), maka kita bisa menggunakan rumus berikut:

y - y1 = m(x - x1)

Gradien (m) bisa dihitung jika kita mengetahui dua titik yang dilalui garis: m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

  1. Metode Intersep: Jika kita mengetahui titik potong garis dengan sumbu-x (a, 0) dan sumbu-y (0, b), maka persamaan garisnya adalah:

x/a + y/b = 1

Setelah mendapatkan persamaan garis, langkah selanjutnya adalah menentukan tanda pertidaksamaannya. Caranya adalah dengan menguji sebuah titik yang berada di dalam DHP. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka tanda pertidaksamaan sudah benar. Jika tidak, maka kita perlu membalik tandanya.

Menentukan Tanda Pertidaksamaan

Setelah kita mendapatkan persamaan garis, langkah selanjutnya adalah menentukan tanda pertidaksamaannya. Apakah itu ≤, ≥, <, atau >? Nah, di sinilah kita perlu sedikit trik dan pemahaman tentang bagaimana garis membagi bidang koordinat.

  • Garis Penuh vs. Garis Putus-putus: Perhatikan apakah garis batasnya digambar sebagai garis penuh atau garis putus-putus. Garis penuh menunjukkan bahwa titik-titik pada garis tersebut termasuk dalam DHP (artinya, kita akan menggunakan tanda ≤ atau ≥). Garis putus-putus menunjukkan bahwa titik-titik pada garis tersebut tidak termasuk dalam DHP (artinya, kita akan menggunakan tanda < atau >).

  • Uji Titik: Cara paling mudah untuk menentukan tanda pertidaksamaan adalah dengan menguji sebuah titik yang jelas-jelas berada di dalam DHP. Misalnya, titik (0, 0) seringkali menjadi pilihan yang baik jika titik ini tidak berada pada garis batas. Substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam persamaan garis yang sudah kita dapatkan. Lalu, lihat apakah hasilnya memenuhi pertidaksamaan atau tidak.

    • Jika titik uji memenuhi pertidaksamaan, berarti tanda yang kita gunakan sudah benar. Misalnya, jika kita punya persamaan garis 2x + y = 4, dan kita uji dengan titik (0, 0), maka kita dapatkan 2(0) + 0 = 0. Jika DHP berada di bawah garis, maka kita ingin 0 ≤ 4 (karena DHP mencakup nilai-nilai yang lebih kecil atau sama dengan 4). Jadi, pertidaksamaannya adalah 2x + y ≤ 4.

    • Jika titik uji tidak memenuhi pertidaksamaan, berarti kita perlu membalik tandanya. Misalnya, jika kita punya persamaan garis yang sama (2x + y = 4), dan kita uji dengan titik (0, 0), tetapi ternyata DHP berada di atas garis, maka kita ingin 0 ≥ 4, yang jelas-jelas salah. Jadi, kita perlu membalik tandanya menjadi 2x + y ≥ 4.

Contoh Soal dan Pembahasan

Sekarang, mari kita coba terapkan semua konsep ini ke dalam sebuah contoh soal. Misalkan, kita punya sebuah grafik koordinat kartesius dengan DHP yang dibatasi oleh garis-garis berikut:

  1. Garis horizontal y = 2
  2. Garis horizontal y = 12
  3. Garis vertikal x = 6
  4. Garis miring yang melalui titik (0, 0) dan (4, 8)

Langkah 1: Tentukan Persamaan Garis

  • Garis y = 2 dan y = 12 sudah jelas.
  • Garis x = 6 juga sudah jelas.
  • Untuk garis miring, kita punya dua titik (0, 0) dan (4, 8). Kita bisa hitung gradiennya: m = (8 - 0) / (4 - 0) = 2. Karena garis ini melalui titik (0, 0), maka persamaannya adalah y = 2x.

Langkah 2: Tentukan Tanda Pertidaksamaan

  • Untuk garis y = 2, karena DHP berada di atas garis, maka pertidaksamaannya adalah y ≥ 2.
  • Untuk garis y = 12, karena DHP berada di bawah garis, maka pertidaksamaannya adalah y ≤ 12.
  • Untuk garis x = 6, karena DHP berada di kiri garis, maka pertidaksamaannya adalah x ≤ 6.
  • Untuk garis y = 2x, kita perlu sedikit berpikir. Jika kita ambil titik uji (2, 4), yang berada di dalam DHP, kita substitusikan ke dalam persamaan y = 2x. Kita dapatkan 4 = 2(2), yang benar. Tapi, kita ingin menentukan apakah y harus lebih besar atau lebih kecil dari 2x. Karena DHP berada di bawah garis, maka kita ingin y ≤ 2x.

Langkah 3: Gabungkan Semua Pertidaksamaan

Jadi, sistem pertidaksamaan yang memenuhi DHP tersebut adalah:

  • y ≥ 2
  • y ≤ 12
  • x ≤ 6
  • y ≤ 2x

Tips dan Trik

  • Selalu perhatikan skala pada sumbu koordinat. Skala yang berbeda dapat mempengaruhi interpretasi grafik.
  • Gunakan pensil dan penggaris saat mengerjakan soal. Ini akan membantu kamu menggambar garis dengan lebih akurat.
  • Jangan ragu untuk mencoba-coba. Jika kamu tidak yakin dengan tanda pertidaksamaan, coba uji beberapa titik di dalam dan di luar DHP.
  • Latihan, latihan, dan latihan! Semakin banyak soal yang kamu kerjakan, semakin terbiasa kamu dengan berbagai macam bentuk DHP dan sistem pertidaksamaan.

Kesimpulan

Menentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah himpunan penyelesaian memang butuh sedikit ketelitian dan pemahaman konsep yang kuat. Tapi, dengan latihan yang cukup dan pemahaman yang baik tentang cara mengidentifikasi garis batas, menentukan persamaan garis, dan menentukan tanda pertidaksamaan, kamu pasti bisa menguasai materi ini dengan mudah. Semangat terus belajarnya, guys!