Soal Koefisien Binomial: Nilai Ekspresi Aljabar

Guys, kali ini kita akan membahas soal matematika yang cukup menarik nih, yaitu tentang koefisien binomial dalam ekspansi aljabar. Soal ini mungkin kelihatan rumit pada awalnya, tapi jangan khawatir, kita akan pecahkan bersama-sama langkah demi langkah. Jadi, simak baik-baik ya!

Pemahaman Soal Koefisien Binomial

Soal kita kali ini berfokus pada ekspansi dari $(1 + x^5 + x^7)^{20}$. Dalam ekspansi ini, kita diminta untuk mencari koefisien dari $x^{15}$ dan $x^{17}$, yang masing-masing diberi simbol p dan q. Setelah kita mendapatkan nilai p dan q, kita harus mencari nilai dari ekspresi $(\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}) + 1$. Wah, lumayan panjang ya? Tapi tenang, kita akan mulai dari dasarnya dulu.

Apa itu Koefisien Binomial?

Sebelum kita masuk ke soal yang lebih kompleks, mari kita pahami dulu apa itu koefisien binomial. Secara sederhana, koefisien binomial adalah angka yang muncul sebagai koefisien dalam ekspansi binomial. Misalnya, dalam ekspansi $(a + b)^n$, koefisien binomial akan muncul dalam setiap suku. Koefisien ini biasanya dilambangkan dengan simbol "C" atau kombinasi, seperti $C(n, k)$ atau sering ditulis juga sebagai $\binom{n}{k}$, yang artinya adalah "n choose k".

Rumus untuk mencari koefisien binomial adalah:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Di mana:

• n adalah jumlah total item
• k adalah jumlah item yang dipilih
• ! menunjukkan faktorial, yaitu perkalian semua bilangan bulat positif hingga angka tersebut. Contohnya, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Mengapa Koefisien Binomial Penting?

Koefisien binomial ini penting banget dalam berbagai bidang, guys. Mulai dari matematika, statistika, hingga ilmu komputer. Dalam matematika, koefisien binomial sering digunakan dalam perhitungan peluang, kombinatorika, dan ekspansi aljabar. Dalam statistika, koefisien binomial muncul dalam distribusi binomial, yang digunakan untuk memodelkan probabilitas keberhasilan dalam serangkaian percobaan independen. Jadi, pemahaman tentang koefisien binomial ini sangat krusial untuk banyak aplikasi.

Mencari Koefisien $x^{15}$ (p)

Oke, sekarang kita kembali ke soal kita. Kita punya ekspansi $(1 + x^5 + x^7)^{20}$ dan kita ingin mencari koefisien dari $x^{15}$. Gimana caranya? Nah, kita perlu memikirkan cara mendapatkan $x^{15}$ dari perkalian suku-suku dalam ekspansi tersebut.

Strategi Mendapatkan $x^{15}$

Untuk mendapatkan $x^{15}$, kita bisa menggunakan beberapa kombinasi dari $x^5$ dan $x^7$. Kita tahu bahwa:

• $x^5 * x^5 * x^5 = x^{15}$
• $x^7 * x^5 * x^3$ (ini tidak mungkin karena kita tidak punya suku $x^3$)
• $x^7 * x^8$ (ini juga tidak mungkin karena kita tidak punya suku $x^8$)

Jadi, satu-satunya cara untuk mendapatkan $x^{15}$ adalah dengan mengalikan tiga suku $x^5$. Ini berarti kita memilih $x^5$ sebanyak tiga kali dari 20 faktor $(1 + x^5 + x^7)$.

Menghitung Koefisien p

Kita perlu memilih tiga suku $x^5$ dari 20 faktor, dan sisanya adalah suku 1. Ini bisa kita tuliskan sebagai kombinasi:

$p = \binom{20}{3} * \binom{17}{0} * \binom{17}{17}$

Di sini, kita memilih 3 suku $x^5$ dari 20 faktor, kemudian memilih 0 suku $x^7$ dari 17 faktor yang tersisa, dan sisanya adalah suku 1. Jadi, kita hitung:

$p = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 * 19 * 18}{3 * 2 * 1} = 20 * 19 * 3 = 1140$

Jadi, koefisien $x^{15}$ (p) adalah 1140.

Mencari Koefisien $x^{17}$ (q)

Selanjutnya, kita akan mencari koefisien dari $x^{17}$. Prosesnya mirip dengan mencari koefisien $x^{15}$, tapi kali ini kita perlu kombinasi yang menghasilkan $x^{17}$.

Strategi Mendapatkan $x^{17}$

Untuk mendapatkan $x^{17}$, kita bisa menggunakan kombinasi berikut:

• $x^7 * x^5 * x^5 = x^{17}$

Ini adalah satu-satunya cara untuk mendapatkan $x^{17}$ karena kita hanya memiliki suku 1, $x^5$, dan $x^7$. Jadi, kita perlu memilih satu suku $x^7$ dan dua suku $x^5$ dari 20 faktor.

Menghitung Koefisien q

Kita perlu memilih satu suku $x^7$ dan dua suku $x^5$ dari 20 faktor. Ini bisa kita tuliskan sebagai kombinasi:

$q = \binom{20}{1} * \binom{19}{2} * \binom{17}{17}$

Di sini, kita memilih 1 suku $x^7$ dari 20 faktor, kemudian memilih 2 suku $x^5$ dari 19 faktor yang tersisa, dan sisanya adalah suku 1. Jadi, kita hitung:

$q = 20 * \frac{19!}{2!17!} = 20 * \frac{19 * 18}{2 * 1} = 20 * 19 * 9 = 3420$

Jadi, koefisien $x^{17}$ (q) adalah 3420.

Menghitung Nilai Ekspresi

Setelah kita mendapatkan nilai p dan q, yaitu p = 1140 dan q = 3420, sekarang kita bisa menghitung nilai ekspresi $(\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}) + 1$.

Substitusi Nilai p dan q

Mari kita substitusikan nilai p dan q ke dalam ekspresi:

$(\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}) + 1 = (\frac{3420^2 - 1140^2}{3420^2 + 1140^2}) + 1$

Simplifikasi Ekspresi

Sekarang kita akan menyederhanakan ekspresi ini. Pertama, kita hitung kuadrat dari p dan q:

• $p^2 = 1140^2 = 1299600$
• $q^2 = 3420^2 = 11696400$

Kemudian, kita substitusikan kembali ke dalam ekspresi:

$(\frac{11696400 - 1299600}{11696400 + 1299600}) + 1 = (\frac{10396800}{12996000}) + 1$

Sekarang kita sederhanakan pecahan:

$\frac{10396800}{12996000} = \frac{103968}{129960} = \frac{4}{5}$

Hasil Akhir

Terakhir, kita tambahkan 1 ke hasil pecahan:

$\frac{4}{5} + 1 = \frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{9}{5}$

Jadi, nilai dari ekspresi $(\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}) + 1$ adalah $\frac{9}{5}$.

Kesimpulan

Nah, itu dia guys, pembahasan lengkap tentang soal koefisien binomial ini. Memang terlihat panjang dan rumit, tapi dengan pemahaman yang baik tentang konsep koefisien binomial dan strategi yang tepat, kita bisa menyelesaikannya langkah demi langkah. Intinya adalah, jangan takut dengan soal yang kelihatan sulit, coba pecahkan menjadi bagian-bagian kecil dan selesaikan satu per satu. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan sampai jumpa di pembahasan soal-soal lainnya!