Soal Lingkaran: Cari Hubungan Jari-Jari L1 & L2!

by ADMIN 49 views

Guys, pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang keliatannya rumit banget di awal, tapi pas dipecahin ternyata seru juga? Nah, kali ini kita bakal bahas soal tentang persamaan lingkaran yang kayak gitu. Siap? Yuk, langsung aja kita bedah soalnya!

Memahami Soal Persamaan Lingkaran

Soal ini tentang dua lingkaran, L1 dan L2, yang persamaannya udah dikasih. Persamaan lingkaran itu emang keliatannya agak panjang ya, tapi jangan panik dulu! Intinya, dari persamaan itu kita bisa tahu beberapa hal penting tentang lingkaran tersebut, kayak pusat dan jari-jarinya. Nah, di soal ini, kita dikasih tau persamaan lingkarannya:

  • L1 = x² + y² - 2x - 4y + a = 0
  • L2 = x² + y² - 8x - 12y + b = 0

Selain itu, kita juga dikasih tau jari-jari lingkaran L1, yaitu 4 satuan. Yang bikin penasaran, kita harus cari hubungan antara kedua lingkaran ini. Gimana caranya? Nah, di sinilah kita perlu ngulik lebih dalam tentang persamaan lingkaran dan konsep-konsep terkait.

Persamaan Lingkaran: Bentuk Umum dan Elemen Penting

Sebelum kita lanjut, kita refresh dulu yuk tentang persamaan lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran itu kayak gini:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Di mana:

  • (h, k) adalah koordinat pusat lingkaran
  • r adalah jari-jari lingkaran

Dari bentuk umum ini, kita bisa lihat kalau persamaan lingkaran itu sebenernya ngasih tau kita dua informasi penting: posisi pusat lingkaran dan ukuran jari-jarinya. Nah, informasi ini yang bakal kita pakai buat mecahin soal ini.

Mengubah Persamaan ke Bentuk Umum

Balik lagi ke soal, persamaan lingkaran L1 dan L2 yang dikasih itu masih dalam bentuk yang agak berantakan. Kita perlu ubah dulu ke bentuk umum biar kita bisa tahu pusat dan jari-jarinya. Caranya gimana? Kita bisa pakai metode melengkapkan kuadrat sempurna. Metode ini emang agak tricky, tapi kalau udah paham konsepnya, dijamin lancar deh!

Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Langkah Demi Langkah

Intinya, melengkapkan kuadrat sempurna itu adalah mengubah bentuk persamaan kuadrat jadi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna itu kayak gini: (x + p)² atau (x - p)². Nah, gimana caranya kita ubah persamaan lingkaran kita ke bentuk kayak gini? Yuk, kita coba satu-satu.

Misalnya, kita ambil persamaan lingkaran L1: x² + y² - 2x - 4y + a = 0. Langkah-langkahnya adalah:

  1. Kelompokkan suku-suku x dan suku-suku y: (x² - 2x) + (y² - 4y) + a = 0
  2. Lengkapkan kuadrat untuk suku x: (x² - 2x + 1) + (y² - 4y) + a = 1 (Kita tambahkan 1, karena (-2/2)² = 1)
  3. Lengkapkan kuadrat untuk suku y: (x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + a = 1 + 4 (Kita tambahkan 4, karena (-4/2)² = 4)
  4. Ubah ke bentuk kuadrat sempurna: (x - 1)² + (y - 2)² = 5 - a

Nah, sekarang persamaan lingkaran L1 udah dalam bentuk umum! Kita bisa lihat pusatnya adalah (1, 2) dan jari-jarinya adalah √(5 - a). Kita lakuin hal yang sama buat lingkaran L2, ya!

Mencari Jari-Jari Lingkaran L2

Setelah kita ubah persamaan lingkaran L1 dan L2 ke bentuk umum, kita jadi punya informasi penting tentang pusat dan jari-jarinya. Nah, sekarang kita fokus ke lingkaran L2. Kita udah tahu persamaannya, tapi kita belum tahu jari-jarinya. Gimana cara nyarinya?

Kita bisa pakai informasi yang udah dikasih di soal, yaitu jari-jari lingkaran L1. Kita tahu jari-jari L1 adalah 4 satuan. Dari hasil melengkapkan kuadrat tadi, kita juga tahu jari-jari L1 itu sama dengan √(5 - a). Jadi, kita bisa tulis:

√(5 - a) = 4

Dari persamaan ini, kita bisa cari nilai a. Caranya, kuadratkan kedua sisi persamaan:

5 - a = 16

a = -11

Nah, kita udah dapat nilai a! Sekarang, kita bisa pakai nilai ini buat nyari jari-jari lingkaran L2. Kita lakuin langkah yang sama kayak tadi buat persamaan lingkaran L2:

x² + y² - 8x - 12y + b = 0

Kita lengkapkan kuadrat sempurna:

(x - 4)² + (y - 6)² = 52 - b

Jadi, jari-jari lingkaran L2 adalah √(52 - b). Kita belum tahu nilai b, tapi kita bisa cari tahu dari informasi lain di soal. Kira-kira gimana ya?

Memanfaatkan Informasi Tambahan

Biasanya, soal matematika itu gak cuma ngasih informasi yang keliatan aja. Seringkali, ada informasi tersembunyi yang perlu kita gali. Nah, di soal ini, coba perhatiin lagi deh persamaan lingkaran L1 dan L2. Ada sesuatu yang menarik gak?

Kalau kita perhatiin baik-baik, koefisien dari x² dan y² di kedua persamaan itu sama, yaitu 1. Ini artinya kedua lingkaran ini punya bentuk yang mirip. Mereka cuma beda di posisi pusat dan jari-jarinya aja. Nah, informasi ini bisa jadi petunjuk buat kita nyari nilai b.

Kita juga bisa inget-inget lagi tentang hubungan antara dua lingkaran. Ada beberapa kemungkinan hubungan antara dua lingkaran:

  1. Berpotongan: Kedua lingkaran punya dua titik potong.
  2. Bersinggungan: Kedua lingkaran punya satu titik potong.
  3. Tidak berpotongan: Kedua lingkaran gak punya titik potong sama sekali.

Nah, di soal ini, kita gak dikasih tau hubungan spesifik antara L1 dan L2. Tapi, kita bisa asumsikan salah satu hubungan ini, lalu kita coba cari nilai b yang sesuai. Misalnya, kita asumsikan kedua lingkaran ini bersinggungan. Apa yang bisa kita simpulin dari sini?

Kalau dua lingkaran bersinggungan, berarti jarak antara kedua pusat lingkaran sama dengan jumlah atau selisih jari-jarinya. Kita udah tahu pusat dan jari-jari L1, kita juga udah punya bentuk umum jari-jari L2. Jadi, kita bisa bikin persamaan yang menghubungkan semua informasi ini. Yuk, kita coba!

Menentukan Hubungan Jari-Jari L1 dan L2

Setelah kita ulik sana-ulik sini, akhirnya kita sampai di inti dari soal ini, yaitu menentukan hubungan antara jari-jari lingkaran L1 dan L2. Kita udah punya semua tools yang kita butuhin: persamaan lingkaran dalam bentuk umum, nilai a, dan bentuk umum jari-jari L2. Sekarang, kita tinggal gabungin semua informasi ini buat dapetin jawabannya.

Jarak Antara Dua Pusat Lingkaran

Kita udah tahu pusat lingkaran L1 adalah (1, 2) dan pusat lingkaran L2 adalah (4, 6). Kita bisa cari jarak antara dua pusat ini pakai rumus jarak:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)

d = √(3² + 4²)

d = √25

d = 5

Jadi, jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 5 satuan. Sekarang, kita bandingkan jarak ini dengan jumlah dan selisih jari-jarinya.

Menganalisis Kemungkinan Hubungan

Kita udah tahu jari-jari L1 adalah 4 satuan dan jari-jari L2 adalah √(52 - b). Kalau kedua lingkaran bersinggungan, maka ada dua kemungkinan:

  1. L1 dan L2 bersinggungan di luar: Jarak antara pusat = jari-jari L1 + jari-jari L2
  2. L1 dan L2 bersinggungan di dalam: Jarak antara pusat = |jari-jari L1 - jari-jari L2|

Kita coba analisis kemungkinan pertama dulu:

5 = 4 + √(52 - b)

1 = √(52 - b)

Kuadratkan kedua sisi:

1 = 52 - b

b = 51

Nah, kita dapat satu nilai b. Sekarang, kita coba analisis kemungkinan kedua:

5 = |4 - √(52 - b)| (gunakan nilai absolut)

Ada dua kemungkinan lagi:

  • 4 - √(52 - b) = 5 --> √(52 - b) = -1 (Gak mungkin, karena akar gak bisa negatif)
  • 4 - √(52 - b) = -5 --> √(52 - b) = 9

Kuadratkan kedua sisi:

81 = 52 - b

b = -29

Kita dapat nilai b yang lain! Jadi, kita punya dua kemungkinan nilai b: 51 dan -29. Sekarang, kita coba masukin nilai-nilai ini ke jari-jari L2:

  • Kalau b = 51, maka jari-jari L2 = √(52 - 51) = 1
  • Kalau b = -29, maka jari-jari L2 = √(52 - (-29)) = √81 = 9

Menarik Kesimpulan

Dari analisis kita, kita dapat dua kemungkinan hubungan antara jari-jari L1 dan L2:

  1. Jari-jari L1 = 4, jari-jari L2 = 1 (Lingkaran L2 lebih kecil dari L1)
  2. Jari-jari L1 = 4, jari-jari L2 = 9 (Lingkaran L2 lebih besar dari L1)

Nah, jawaban mana yang paling tepat? Tergantung dari pilihan jawaban yang dikasih di soal. Tapi, yang penting, kita udah tahu cara mecahin soal ini langkah demi langkah. Kita udah bedah konsep persamaan lingkaran, melengkapkan kuadrat, hubungan dua lingkaran, dan cara ngumpulin semua informasi buat dapetin jawabannya.

Tips dan Trik Mengerjakan Soal Lingkaran

Buat kalian yang lagi belajar tentang lingkaran, ada beberapa tips dan trik yang bisa kalian pakai:

  1. Pahami konsep dasar: Pastiin kalian paham betul tentang persamaan lingkaran, pusat, jari-jari, dan hubungan antara dua lingkaran.
  2. Latihan soal: Semakin banyak latihan soal, semakin terbiasa kalian sama berbagai tipe soal lingkaran.
  3. Visualisasikan: Coba gambar lingkarannya di kertas atau di pikiran kalian. Ini bisa bantu kalian memahami soal dengan lebih baik.
  4. Jangan takut mencoba: Kalau kalian stuck, jangan takut buat coba cara lain. Siapa tahu ada cara yang lebih sederhana!

Semoga pembahasan soal ini bermanfaat buat kalian ya! Jangan lupa buat terus belajar dan explore dunia matematika. Sampai ketemu di pembahasan soal lainnya!