Soal Matematika: Hitung Nilai Ekspresi Aljabar

Halo, para pecinta matematika! Kali ini kita akan membahas soal yang lumayan menantang nih, tapi jangan khawatir, pasti bisa diselesaikan dengan langkah-langkah yang tepat. Soal ini akan menguji pemahaman kita tentang eksponen dan faktorisasi. Siap-siap ya, kita akan menyelami dunia angka!

Memecah Soal: Ekspresi yang Kelihatannya Rumit

Kita punya soal yang menarik: $rac{(4²⁾2 ", 49^3}{634 ", 96^2 ", 125^2} = 2^a ", 3^b ", 5^c ", 7^d$ Tugas kita adalah mencari nilai dari ekspresi $ab + 2c + 3d$. Kelihatannya rumit ya? Tenang, kuncinya adalah menyederhanakan setiap bagian dari ekspresi tersebut ke dalam bentuk bilangan prima. Ingat, setiap bilangan bisa dipecah menjadi perkalian bilangan-bilangan prima. Ini adalah dasar dari faktorisasi prima.

Kita akan mulai dengan bagian pembilang: $(4^2)^2 ", 49^3$. Angka 4 bisa kita ubah menjadi $2^2$. Jadi, $(4^2)^2$ menjadi $((2^2)^2)^2$. Menggunakan sifat eksponen $(x^m)^n = x^{m ", n}$, maka $((2^2)^2)^2 = (2^4)^2 = 2^8$. Selanjutnya, angka 49 adalah $7^2$. Jadi, $49^3$ menjadi $(7^2)^3 = 7^{2 ", 3} = 7^6$. Dengan demikian, pembilangnya adalah $2^8 ", 7^6$.

Sekarang, mari kita bedah penyebutnya: $63^4 ", 96^2 ", 125^2$. Angka 63 bisa kita pecah menjadi $9 ", 7$, dan 9 adalah $3^2$. Jadi, $63 = 3^2 ", 7$. Maka, $63^4 = (3^2 ", 7)^4 = (3^2)^4 ", 7^4 = 3^{2 ", 4} ", 7^4 = 3^8 ", 7^4$. Selanjutnya, angka 96. Kita bisa membaginya dengan 2 terus-menerus: $96 = 2 ", 48 = 2 ", 2 ", 24 = 2 ", 2 ", 2 ", 12 = 2 ", 2 ", 2 ", 2 ", 6 = 2 ", 2 ", 2 ", 2 ", 2 ", 3 = 2^5 ", 3$. Jadi, $96^2 = (2^5 ", 3)^2 = (2^5)^2 ", 3^2 = 2^{5 ", 2} ", 3^2 = 2^{10} ", 3^2$. Terakhir, angka 125 adalah $5^3$. Jadi, $125^2 = (5^3)^2 = 5^{3 ", 2} = 5^6$. Dengan demikian, penyebutnya adalah $3^8 ", 7^4 ", 2^{10} ", 3^2 ", 5^6$. Kita bisa gabungkan basis yang sama pada penyebut: $2^{10} ", 3^{8+2} ", 5^6 ", 7^4 = 2^{10} ", 3^{10} ", 5^6 ", 7^4$.

Jadi, ekspresi kita menjadi: $rac{2^8 ", 7^6}{2{10} ", 3^{10} ", 5^6 ", 7^4}$

Sekarang, kita akan menyederhanakannya lebih lanjut menggunakan sifat eksponen rac{x^m}{x^n} = x^{m-n}. Ingat, jika pangkatnya negatif, kita pindahkan ke penyebut dan pangkatnya menjadi positif.

Menemukan Nilai a, b, c, dan d

Setelah menyederhanakan ekspresi, kita akan mendapatkan bentuk $2^a ", 3^b ", 5^c ", 7^d$. Mari kita terapkan sifat eksponen pada pecahan yang kita punya:

Untuk basis 2: $2^{8-10} = 2^{-2}$. Karena pangkatnya negatif, kita pindahkan ke penyebut menjadi $2^2$. Jadi, $a = -2$.

Untuk basis 3: Kita punya $3^{10}$ di penyebut. Karena tidak ada basis 3 di pembilang, ini sama saja dengan $3^0$. Jadi, $3^{0-10} = 3^{-10}$. Pindahkan ke penyebut menjadi $3^{10}$. Jadi, $b = -10$.

Untuk basis 5: Kita punya $5^6$ di penyebut. Sama seperti basis 3, ini berarti $5^0$ di pembilang. Jadi, $5^{0-6} = 5^{-6}$. Pindahkan ke penyebut menjadi $5^6$. Jadi, $c = -6$.

Untuk basis 7: $7^{6-4} = 7^2$. Jadi, $d = 2$.

Jadi, kita punya nilai-nilai: $a = -2$, $b = -10$, $c = -6$, dan $d = 2$. Sekarang kita bisa melanjutkan ke langkah berikutnya, yaitu menghitung nilai dari ekspresi $ab + 2c + 3d$.

Menghitung Hasil Akhir

Dengan nilai $a = -2$, $b = -10$, $c = -6$, dan $d = 2$, kita tinggal substitusikan ke dalam ekspresi $ab + 2c + 3d$. Yuk, kita hitung sama-sama:

$ab = (-2) ", (-10) = 20$

$2c = 2 ", (-6) = -12$

$3d = 3 ", 2 = 6$

Sekarang, kita jumlahkan semuanya: $ab + 2c + 3d = 20 + (-12) + 6$.

$20 - 12 + 6 = 8 + 6 = 14$.

Wah, ternyata hasilnya adalah 14. Tapi, mari kita cek kembali pilihan jawabannya. Pilihan jawabannya adalah A. 0, B. 1, C. 2, D. 4, E. 5. Hmm, sepertinya ada yang salah nih. Ayo kita teliti lagi langkah-langkah kita. Kadang-kadang, kesalahan kecil bisa terjadi.

Menemukan Kesalahan dan Koreksi

Oke, mari kita kembali ke soal aslinya dan periksa kembali faktorisasi kita. Kadang-kadang saat menghitung cepat, kita bisa terlewat. Mari kita fokus lagi pada penyederhanaan ekspresi awal.

Pembilang: $(4^2)^2 ", 49^3$. Kita sudah benar mendapatkan $2^8 ", 7^6$. Ini sudah aman.

Penyebut: $63^4 ", 96^2 ", 125^2$.

$63^4 = (3^2 ", 7)^4 = 3^8 ", 7^4$. Ini juga benar.

$96^2 = (2^5 ", 3)^2 = 2^{10} ", 3^2$. Ini juga benar.

$125^2 = (5^3)^2 = 5^6$. Ini juga benar.

Jadi penyebutnya adalah $3^8 ", 7^4 ", 2^{10} ", 3^2 ", 5^6$. Gabung basis yang sama: $2^{10} ", 3^{8+2} ", 5^6 ", 7^4 = 2^{10} ", 3^{10} ", 5^6 ", 7^4$.

Oke, sepertinya faktorisasi kita sudah sangat tepat. Mari kita periksa kembali pembagian eksponennya.

rac{2^8 ", 7^6}{2^{10} ", 3^{10} ", 5^6 ", 7^4} = 2^{8-10} ", 3^{0-10} ", 5^{0-6} ", 7^{6-4}

$2^{-2} ", 3^{-10} ", 5^{-6} ", 7^2$

Ini berarti:

$a = -2$

$b = -10$

$c = -6$

$d = 2$

Perhitungan ekspresi $ab + 2c + 3d$ juga sudah benar: $20 + (-12) + 6 = 14$.

Kemungkinan besar ada kesalahan pada pilihan jawaban yang diberikan. Namun, jika kita harus memilih dari opsi yang ada, mari kita periksa lagi soal aslinya. Kadang-kadang, tanda dalam soal atau angka bisa sedikit berbeda. Asumsikan soalnya benar-benar persis seperti yang tertulis.

Mari kita coba berpikir ulang. Apakah ada cara lain untuk memecahkannya? Mungkin ada trik yang terlewat? Tidak, metode faktorisasi prima adalah cara standar dan paling aman untuk soal seperti ini.

Satu kemungkinan lagi adalah kesalahan interpretasi pada soal. Soal ini adalah nomor 8 dan 9, dan formatnya