Solusi 4x^2 + 6x - 12 = 0: Iterasi Sederhana & Newton-Raphson

by ADMIN 62 views
Iklan Headers

Guys, kali ini kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat 4x^2 + 6x - 12 = 0 menggunakan dua metode numerik yang umum, yaitu metode iterasi sederhana dan metode Newton-Raphson. Kita akan menggunakan tebakan awal 2 dan toleransi error 0.0002. Jadi, mari kita mulai!

Apa itu Metode Iterasi Sederhana?

Metode iterasi sederhana adalah cara untuk mencari akar persamaan dengan mengubah persamaan tersebut menjadi bentuk x = g(x). Intinya, kita menebak nilai x, memasukkannya ke dalam fungsi g(x), dan mendapatkan nilai x yang baru. Proses ini diulang sampai nilai x yang baru tidak jauh berbeda dengan nilai x sebelumnya (sesuai dengan toleransi error yang kita tentukan). Metode ini sangat penting untuk dipahami karena menjadi dasar dari banyak metode numerik lainnya.

Langkah-langkah Metode Iterasi Sederhana

  1. Ubah persamaan menjadi bentuk x = g(x). Ini adalah langkah krusial. Kita perlu memanipulasi persamaan awal 4x^2 + 6x - 12 = 0 agar salah satu x berada di sisi kiri persamaan, sementara sisi kanan menjadi fungsi g(x). Ada beberapa cara untuk melakukannya, dan pilihan yang tepat bisa memengaruhi kecepatan konvergensi (seberapa cepat kita mendapatkan solusi). Kita akan mencoba salah satu cara yang mungkin.
  2. Tentukan tebakan awal (x0). Dalam kasus ini, tebakan awal kita adalah 2. Pemilihan tebakan awal juga bisa memengaruhi konvergensi. Tebakan yang baik akan mempercepat proses iterasi, sementara tebakan yang buruk mungkin membuat iterasi berjalan sangat lambat atau bahkan tidak konvergen sama sekali.
  3. Lakukan iterasi menggunakan rumus xn+1 = g(xn). Kita akan memasukkan tebakan awal kita ke dalam fungsi g(x) untuk mendapatkan nilai x yang baru. Nilai x yang baru ini kemudian akan kita gunakan untuk iterasi berikutnya. Proses ini diulang terus-menerus.
  4. Ulangi langkah 3 sampai |xn+1 - xn| < error. Kita akan terus melakukan iterasi sampai perbedaan antara nilai x yang baru dan nilai x sebelumnya lebih kecil dari toleransi error yang kita tentukan, yaitu 0.0002. Ini berarti kita sudah cukup dekat dengan solusi yang sebenarnya.

Penerapan pada Persamaan 4x^2 + 6x - 12 = 0

Oke, sekarang mari kita terapkan langkah-langkah ini pada persamaan kita. Pertama, kita perlu mengubah persamaan 4x^2 + 6x - 12 = 0 menjadi bentuk x = g(x). Salah satu cara untuk melakukannya adalah sebagai berikut:

  • 6x = -4x^2 + 12
  • x = (-4x^2 + 12) / 6
  • x = (-2/3)x^2 + 2

Jadi, kita mendapatkan g(x) = (-2/3)x^2 + 2. Sekarang kita bisa mulai melakukan iterasi dengan tebakan awal x0 = 2.

Kita akan melakukan beberapa iterasi untuk melihat bagaimana metode ini bekerja:

  • x1 = g(2) = (-2/3)(2)^2 + 2 = -2.67 + 2 = -0.67
  • x2 = g(-0.67) = (-2/3)(-0.67)^2 + 2 = -0.30 + 2 = 1.70
  • x3 = g(1.70) = (-2/3)(1.70)^2 + 2 = -1.93 + 2 = 0.07

Kita akan terus melakukan iterasi ini sampai kita mencapai toleransi error yang diinginkan. Perhatikan bahwa nilai x mulai berubah, tetapi mungkin memerlukan beberapa iterasi lagi untuk mencapai konvergensi. Penting untuk diingat bahwa tidak semua bentuk g(x) akan konvergen. Terkadang, kita perlu mencoba manipulasi persamaan yang berbeda untuk mendapatkan bentuk g(x) yang memberikan hasil yang konvergen.

Apa itu Metode Newton-Raphson?

Metode Newton-Raphson adalah metode iteratif lain yang digunakan untuk mencari akar persamaan. Metode ini menggunakan turunan pertama dari fungsi untuk memperkirakan akar. Metode ini dikenal karena konvergensinya yang cepat, terutama jika tebakan awal cukup dekat dengan akar sebenarnya. Metode Newton-Raphson sangat populer dalam berbagai aplikasi karena efisiensi dan akurasinya.

Langkah-langkah Metode Newton-Raphson

  1. Tentukan fungsi f(x) dan turunannya f'(x). Dalam kasus kita, f(x) = 4x^2 + 6x - 12. Kita perlu mencari turunan pertamanya, f'(x).
  2. Tentukan tebakan awal (x0). Seperti sebelumnya, tebakan awal kita adalah 2.
  3. Lakukan iterasi menggunakan rumus xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn). Ini adalah rumus inti dari metode Newton-Raphson. Kita menghitung nilai x yang baru berdasarkan nilai x sebelumnya, nilai fungsi pada x sebelumnya, dan nilai turunan fungsi pada x sebelumnya.
  4. Ulangi langkah 3 sampai |xn+1 - xn| < error. Kita akan terus melakukan iterasi sampai perbedaan antara nilai x yang baru dan nilai x sebelumnya lebih kecil dari toleransi error kita, yaitu 0.0002.

Penerapan pada Persamaan 4x^2 + 6x - 12 = 0

Sekarang, mari kita terapkan metode Newton-Raphson pada persamaan kita. Pertama, kita perlu mencari turunan pertama dari f(x) = 4x^2 + 6x - 12:

  • f'(x) = 8x + 6

Sekarang kita memiliki fungsi dan turunannya, kita bisa mulai melakukan iterasi dengan tebakan awal x0 = 2.

Rumus iterasi kita adalah:

  • xn+1 = xn - (4xn^2 + 6xn - 12) / (8xn + 6)

Mari kita lakukan beberapa iterasi:

  • x1 = 2 - (4(2)^2 + 6(2) - 12) / (8(2) + 6) = 2 - (16 + 12 - 12) / (16 + 6) = 2 - 16 / 22 = 2 - 0.73 = 1.27
  • x2 = 1.27 - (4(1.27)^2 + 6(1.27) - 12) / (8(1.27) + 6) = 1.27 - (6.45 + 7.62 - 12) / (10.16 + 6) = 1.27 - 2.07 / 16.16 = 1.27 - 0.13 = 1.14
  • x3 = 1.14 - (4(1.14)^2 + 6(1.14) - 12) / (8(1.14) + 6) = 1.14 - (5.19 + 6.84 - 12) / (9.12 + 6) = 1.14 - 0.03 / 15.12 = 1.14 - 0.002 = 1.138

Kita bisa melihat bahwa metode Newton-Raphson konvergen dengan cukup cepat. Setelah beberapa iterasi, kita sudah mendapatkan nilai yang cukup stabil. Kita akan terus melakukan iterasi sampai kita mencapai toleransi error yang diinginkan.

Perbandingan Metode Iterasi Sederhana dan Newton-Raphson

Kedua metode ini memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing. Metode iterasi sederhana lebih mudah diimplementasikan, tetapi konvergensinya tidak selalu terjamin dan bisa lambat. Bentuk g(x) yang kita pilih sangat memengaruhi konvergensi. Sementara itu, metode Newton-Raphson biasanya konvergen lebih cepat, tetapi membutuhkan perhitungan turunan pertama, yang mungkin sulit atau tidak mungkin untuk beberapa fungsi. Selain itu, metode Newton-Raphson juga bisa gagal konvergen jika tebakan awal terlalu jauh dari akar sebenarnya.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat 4x^2 + 6x - 12 = 0 menggunakan metode iterasi sederhana dan metode Newton-Raphson. Kita telah melihat langkah-langkah yang terlibat dalam setiap metode dan bagaimana menerapkannya pada persamaan kita. Kedua metode ini adalah alat yang berguna untuk mencari akar persamaan, terutama ketika solusi analitis tidak tersedia. Penting untuk memahami kelebihan dan kekurangan masing-masing metode untuk memilih metode yang paling sesuai untuk masalah yang kita hadapi.

Semoga penjelasan ini bermanfaat, guys! Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk bertanya ya!