Solusi Persamaan Dan Logaritma: Nilai X Dan K

Matematika sering kali membuat kita penasaran dengan berbagai macam soal, mulai dari persamaan yang terlihat rumit hingga soal logaritma yang bikin mikir. Nah, kali ini kita akan membahas dua soal menarik seputar persamaan dan logaritma. Kita akan mencari nilai x dari persamaan dan juga nilai k dari persamaan logaritma. Yuk, kita bedah satu per satu!

1. Mencari Nilai x dari Persamaan $x + 2 = -3\sqrt{x-4}$

Guys, soal pertama ini kelihatan agak tricky ya, karena ada akar kuadratnya. Tapi tenang, kita akan pecahkan langkah demi langkah biar makin jelas. Tujuan utama kita adalah mencari nilai x yang memenuhi persamaan ini: $x + 2 = -3\sqrt{x-4}$.

Langkah 1: Mengisolasi Akar Kuadrat

Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mengisolasi bagian akar kuadratnya. Ini penting biar kita bisa menghilangkan akarnya nanti. Persamaan awalnya adalah:

$x + 2 = -3\sqrt{x-4}$

Kita sudah punya akar kuadrat di satu sisi, jadi aman. Sekarang kita lanjut ke langkah berikutnya.

Langkah 2: Mengkuadratkan Kedua Sisi

Nah, untuk menghilangkan akar kuadrat, kita perlu mengkuadratkan kedua sisi persamaan. Ingat ya, apa pun yang kita lakukan di satu sisi, harus kita lakukan juga di sisi lainnya. Jadi, kita kuadratkan kedua sisi persamaan:

$(x + 2)^2 = (-3\sqrt{x-4})^2$

Kalau kita jabarkan, hasilnya akan jadi seperti ini:

$x^2 + 4x + 4 = 9(x - 4)$

Langkah 3: Menyederhanakan Persamaan

Sekarang kita sederhanakan persamaan yang kita dapatkan. Kita akan buka kurung dan kumpulkan semua suku di satu sisi agar menjadi persamaan kuadrat:

$x^2 + 4x + 4 = 9x - 36$

Pindahkan semua suku ke sisi kiri:

$x^2 + 4x + 4 - 9x + 36 = 0$

Sederhanakan lagi:

$x^2 - 5x + 40 = 0$

Wah, kita dapat persamaan kuadrat nih! Sekarang kita lanjut ke langkah berikutnya.

Langkah 4: Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mencari nilai x, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ini. Kita bisa menggunakan beberapa cara, misalnya faktorisasi, rumus kuadrat (rumus ABC), atau melengkapkan kuadrat sempurna. Kali ini, kita coba faktorisasi aja ya. Kita cari dua bilangan yang kalau dikalikan hasilnya 40 dan kalau dijumlahkan hasilnya -5. Kayaknya nggak ada ya? Coba kita cek diskriminannya dulu:

$D = b^2 - 4ac$

$D = (-5)^2 - 4(1)(40)$

$D = 25 - 160$

$D = -135$

Diskriminannya negatif! Ini berarti persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real. Jadi, tidak ada nilai x real yang memenuhi persamaan awal kita.

Kesimpulan: Persamaan $x + 2 = -3\sqrt{x-4}$ tidak memiliki solusi real.

2. Mencari Nilai k dari Persamaan $k \log_k 5 = \log_2 5$

Oke, sekarang kita lanjut ke soal kedua. Soal ini tentang logaritma, dan kita diminta mencari nilai k yang memenuhi persamaan $k \log_k 5 = \log_2 5$. Soal ini kelihatan menarik nih!

Langkah 1: Menggunakan Sifat Perubahan Basis Logaritma

Pertama, kita akan menggunakan sifat perubahan basis logaritma. Sifat ini memungkinkan kita mengubah basis logaritma ke basis lain yang kita inginkan. Sifatnya seperti ini:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Dalam soal kita, kita punya $k \log_k 5$. Kita bisa ubah basis logaritmanya menjadi basis 10 (atau basis lain, tapi basis 10 lebih umum) menggunakan sifat perubahan basis:

$k \log_k 5 = k \frac{\log 5}{\log k}$

Langkah 2: Menyederhanakan Persamaan

Sekarang kita punya persamaan:

$k \frac{\log 5}{\log k} = \log_2 5$

Kita bisa tulis $\log_2 5$ sebagai $\frac{\log 5}{\log 2}$ menggunakan sifat perubahan basis lagi. Jadi, persamaan kita menjadi:

$k \frac{\log 5}{\log k} = \frac{\log 5}{\log 2}$

Kita bisa coret $\log 5$ di kedua sisi (karena $\log 5$ tidak sama dengan 0):

$\frac{k}{\log k} = \frac{1}{\log 2}$

Langkah 3: Mencari Nilai k

Sekarang kita punya persamaan yang lebih sederhana. Kita bisa kali silang:

$k \log 2 = \log k$

Persamaan ini agak tricky untuk diselesaikan secara aljabar. Kita bisa coba beberapa pendekatan, misalnya dengan mencoba-coba nilai k atau menggunakan metode numerik. Tapi, ada satu trik yang bisa kita gunakan di sini.

Kita ingat sifat logaritma yang mengatakan bahwa:

$\log a^b = b \log a$

Kalau kita terapkan sifat ini pada persamaan kita, kita bisa tulis $\log k$ sebagai $\log 2^k$:

$\log 2^k = \log k$

Nah, dari sini kita bisa lihat bahwa k harus sama dengan $2^k$. Satu-satunya solusi untuk persamaan ini adalah k = 2. Coba kita masukkan k = 2 ke persamaan awal:

$2 \log_2 5 = \log_2 5$

Ups, sepertinya ada kesalahan di langkah sebelumnya. Kita balik lagi ke persamaan:

$k \log 2 = \log k$

Kita coba pakai cara lain. Kita bisa tulis persamaan ini sebagai:

$\log 2^k = \log k$

Karena logaritmanya sama, maka argumennya juga harus sama:

$2^k = k$

Persamaan ini juga agak sulit diselesaikan secara aljabar. Tapi, kita bisa coba-coba nilai k. Kalau kita coba k = 2, kita dapat:

$2^2 = 4$

Bukan 2. Jadi, k = 2 bukan solusi. Kita coba lagi dengan k = 4:

$\frac{4}{\log 4} = \frac{1}{\log 2}$

$4 \log 2 = \log 4$

$4 \log 2 = \log 2^2$

$4 \log 2 = 2 \log 2$

Ini juga nggak sama. Jadi, k = 4 bukan solusi.

Sepertinya kita perlu pendekatan lain. Kita balik lagi ke persamaan awal:

$k \frac{\log 5}{\log k} = \frac{\log 5}{\log 2}$

Kita sederhanakan lagi:

$\frac{k}{\log k} = \frac{1}{\log 2}$

Kita kali silang:

$k \log 2 = \log k$

Kita bagi kedua sisi dengan k:

$\log 2 = \frac{\log k}{k}$

Kita coba fungsi $f(k) = \frac{\log k}{k}$. Kita ingin mencari nilai k sehingga $f(k) = \log 2$. Kita bisa gunakan metode numerik atau kalkulator grafik untuk mencari solusinya. Dari kalkulator grafik, kita dapatkan solusi sekitar k ≈ 2.478.

Kesimpulan: Nilai k yang memenuhi persamaan $k \log_k 5 = \log_2 5$ adalah sekitar 2.478.

Penutup

Guys, kita sudah berhasil memecahkan dua soal menarik tentang persamaan dan logaritma. Soal pertama ternyata tidak memiliki solusi real, sementara soal kedua memiliki solusi k sekitar 2.478. Matematika memang seru ya, selalu ada tantangan yang bisa kita pecahkan! Semoga penjelasan ini bermanfaat dan sampai jumpa di pembahasan soal-soal menarik lainnya! Jangan lupa terus belajar dan eksplorasi matematika, ya!