Solusi Persamaan Diferensial Orde 2: Contoh Soal & Cara

by ADMIN 56 views
Iklan Headers

Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal persamaan diferensial orde 2 yang keliatannya rumit banget? Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas cara menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde 2, lengkap dengan contoh soal dan langkah-langkahnya. Jadi, buat kalian yang lagi pusing sama materi ini, yuk merapat!

Memahami Persamaan Diferensial Biasa Orde 2

Sebelum kita masuk ke contoh soal, penting banget buat kita paham dulu apa itu persamaan diferensial biasa orde 2. Secara sederhana, persamaan diferensial orde 2 adalah persamaan yang melibatkan turunan kedua dari suatu fungsi. Bentuk umumnya kayak gini:

a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = f(x)

Dimana:

  • y'' adalah turunan kedua dari y terhadap x
  • y' adalah turunan pertama dari y terhadap x
  • a(x), b(x), dan c(x) adalah koefisien yang bisa berupa fungsi dari x
  • f(x) adalah fungsi non-homogen (sumber)

Nah, persamaan diferensial ini bisa homogen (jika f(x) = 0) atau non-homogen (jika f(x) ≠ 0). Cara penyelesaiannya juga sedikit beda tergantung jenisnya. Kita akan bahas lebih lanjut nanti ya!

Mengapa Persamaan Diferensial Orde 2 Penting?

Mungkin kalian bertanya-tanya, kenapa sih kita perlu belajar persamaan diferensial orde 2? Ternyata, persamaan ini punya banyak aplikasi di berbagai bidang, lho! Mulai dari fisika (misalnya, gerak harmonik sederhana), teknik (misalnya, analisis rangkaian listrik), sampai ekonomi (misalnya, model pertumbuhan). Jadi, pemahaman yang kuat tentang persamaan ini bakal sangat berguna di masa depan.

Misalnya dalam bidang fisika, persamaan ini sering digunakan untuk menggambarkan gerak osilasi seperti pada pegas atau pendulum. Dalam teknik sipil, persamaan diferensial orde 2 dapat digunakan untuk menganalisis stabilitas struktur bangunan. Bahkan dalam bidang biologi, persamaan ini bisa digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi. Keren kan?

Contoh Soal: Persamaan Diferensial dengan Kondisi Batas

Oke, sekarang kita masuk ke contoh soal yang diajukan. Soalnya adalah:

Diketahui persamaan diferensial biasa orde 2: x²y'' - 3xy' + 4y = 5x² dengan kondisi batas y(0) = 0 dan y(10) = 5. Tentukan solusinya.

Soal ini termasuk jenis persamaan diferensial non-homogen karena ada suku 5x² di sisi kanan persamaan. Selain itu, soal ini juga dilengkapi dengan kondisi batas (y(0) = 0 dan y(10) = 5), yang akan membantu kita menentukan solusi khususnya.

Langkah-langkah Penyelesaian

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita akan ikuti beberapa langkah berikut:

  1. Menyelesaikan Persamaan Homogen Terkait:

    Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan homogen yang terkait, yaitu:

    x²y'' - 3xy' + 4y = 0

    Persamaan ini adalah persamaan Euler-Cauchy. Cara menyelesaikannya adalah dengan membuat substitusi y = x^m, dimana m adalah konstanta yang akan kita cari. Turunan pertama dan keduanya adalah:

    • y' = mx^(m-1)
    • y'' = m(m-1)x^(m-2)

    Substitusikan ini ke dalam persamaan homogen:

    x²[m(m-1)x^(m-2)] - 3x[mx^(m-1)] + 4x^m = 0

    Sederhanakan:

    m(m-1)x^m - 3mx^m + 4x^m = 0

    Faktorkan x^m:

    x^m[m(m-1) - 3m + 4] = 0

    Karena x^m tidak mungkin nol (kecuali x=0, yang merupakan kasus trivial), maka kita dapatkan persamaan karakteristik:

    m(m-1) - 3m + 4 = 0

    m² - m - 3m + 4 = 0

    m² - 4m + 4 = 0

    Faktorkan persamaan kuadrat ini:

    (m - 2)² = 0

    Kita mendapatkan akar ganda m = 2. Ketika kita memiliki akar ganda, solusi homogennya berbentuk:

    y_h(x) = C₁x² + C₂x²ln(x)

    Dimana C₁ dan C₂ adalah konstanta yang akan ditentukan nanti.

  2. Mencari Solusi Partikular:

    Selanjutnya, kita perlu mencari solusi partikular untuk persamaan non-homogen:

    x²y'' - 3xy' + 4y = 5x²

    Karena sisi kanan persamaan adalah 5x², kita bisa mencoba solusi partikular berbentuk:

    y_p(x) = Ax²

    Dimana A adalah konstanta yang perlu kita cari. Turunan pertama dan keduanya adalah:

    • y_p'(x) = 2Ax
    • y_p''(x) = 2A

    Substitusikan ini ke dalam persamaan non-homogen:

    x²(2A) - 3x(2Ax) + 4(Ax²) = 5x²

    Sederhanakan:

    2Ax² - 6Ax² + 4Ax² = 5x²

    0 = 5x²

    Ups! Sepertinya ada yang salah dengan tebakan kita. Karena suku x² sudah muncul dalam solusi homogen, kita perlu memodifikasi tebakan kita. Kita coba dengan:

y_p(x) = Ax²ln(x)²

Hitung turunan pertamanya:

***y'_p(x) = 2Axln(x)² + 2Ax²ln(x) * (1/x) = 2Axln(x)² + 2Axln(x)***

Hitung turunan keduanya:

***y''_p(x) = 2A[ln(x)² + x * 2ln(x) * (1/x)] + 2A[ln(x) + x * (1/x)]***
***y''_p(x) = 2A[ln(x)² + 2ln(x)] + 2A[ln(x) + 1]***
***y''_p(x) = 2Aln(x)² + 6Aln(x) + 2A***

Substitusikan kembali ke persamaan awal:

***x²[2Aln(x)² + 6Aln(x) + 2A] - 3x[2Axln(x)² + 2Axln(x)] + 4[Ax²ln(x)²] = 5x²***

Sederhanakan:

***2Ax²ln(x)² + 6Ax²ln(x) + 2Ax² - 6Ax²ln(x)² - 6Ax²ln(x) + 4Ax²ln(x)² = 5x²***

***2Ax² = 5x²***

Dari sini kita dapatkan:

***2A = 5***

***A = 5/2***

Jadi, solusi partikularnya adalah:

***y_p(x) = (5/2)x²***

  1. Menentukan Solusi Umum:

    Solusi umum dari persamaan diferensial adalah jumlah dari solusi homogen dan solusi partikular:

    y(x) = y_h(x) + y_p(x)

    y(x) = C₁x² + C₂x²ln(x) + (5/2)x²

  2. Menerapkan Kondisi Batas:

    Sekarang kita gunakan kondisi batas untuk mencari nilai C₁ dan C₂.

    • Kondisi batas pertama: y(0) = 0

      Substitusikan x = 0 dan y = 0 ke dalam solusi umum:

      0 = C₁(0)² + C₂(0)²ln(0) + (5/2)(0)²

      0 = 0

      Kondisi ini tidak memberikan informasi apa pun tentang C₁ atau C₂. Kita perlu hati-hati di sini karena ln(0) tidak terdefinisi. Sebenarnya, kita tidak bisa langsung menggunakan x=0 pada solusi umum karena ada suku ln(x). Kita akan bahas ini nanti.

    • Kondisi batas kedua: y(10) = 5

      Substitusikan x = 10 dan y = 5 ke dalam solusi umum:

      5 = C₁(10)² + C₂(10)²ln(10) + (5/2)(10)²

      5 = 100C₁ + 100C₂ln(10) + 250

      -245 = 100C₁ + 100C₂ln(10)

      -49/20 = C₁ + C₂ln(10)

    Nah, kita punya satu persamaan dengan dua variabel (C₁ dan C₂). Kita butuh satu persamaan lagi. Disinilah masalah muncul dengan kondisi batas y(0) = 0 karena kita tidak bisa langsung substitusikan x=0.

    Pembahasan Kondisi Batas y(0) = 0:

    Kondisi batas y(0) = 0 sebenarnya memberikan informasi penting tentang perilaku solusi di dekat x = 0. Karena ada suku ln(x) dalam solusi umum, maka agar solusi tetap terdefinisi di x = 0, kita harus memastikan bahwa koefisien dari suku ln(x) adalah nol. Artinya, C₂ harus sama dengan 0.

    C₂ = 0

    Dengan demikian, solusi umum kita menjadi:

    y(x) = C₁x² + (5/2)x²

    Sekarang kita bisa gunakan kondisi batas y(10) = 5:

    5 = C₁(10)² + (5/2)(10)²

    5 = 100C₁ + 250

    -245 = 100C₁

    C₁ = -245/100 = -49/20

  3. Solusi Akhir:

    Akhirnya, kita dapatkan solusi khusus dari persamaan diferensial ini:

    y(x) = (-49/20)x² + (5/2)x²

    y(x) = (-49/20 + 5/2)x²

    y(x) = (1/20)x²

Tips & Trik Menyelesaikan Persamaan Diferensial

  • Pahami Jenis Persamaan: Kenali apakah persamaan yang dihadapi homogen atau non-homogen, orde berapa, dan jenis koefisiennya (konstan atau variabel). Ini akan membantu memilih metode penyelesaian yang tepat.
  • Kuasai Metode Dasar: Pelajari metode-metode dasar seperti metode pemisahan variabel, metode faktor integrasi, metode variasi parameter, dan metode koefisien tak tentu.
  • Latihan Soal: Semakin banyak latihan, semakin terbiasa dengan berbagai jenis soal dan teknik penyelesaiannya.
  • Perhatikan Kondisi Batas: Kondisi batas sangat penting untuk menentukan solusi khusus. Pastikan untuk menerapkannya dengan benar.
  • Jangan Takut Bertanya: Jika ada kesulitan, jangan ragu untuk bertanya kepada guru, dosen, atau teman yang lebih paham.

Kesimpulan

Menyelesaikan persamaan diferensial orde 2 memang butuh ketelitian dan pemahaman konsep yang baik. Tapi, dengan latihan dan strategi yang tepat, kalian pasti bisa! Semoga penjelasan dan contoh soal ini bermanfaat ya, guys. Selamat belajar dan semoga sukses!