Solusi Persamaan Trigonometri: 2 Cos²x + 5 Sin X + 1 = 0

by ADMIN 57 views

Guys, kali ini kita akan membahas tuntas cara menyelesaikan persamaan trigonometri yang mungkin terlihat rumit di awal, yaitu 2 cos²x + 5 sin x + 1 = 0. Persamaan ini sering muncul dalam soal-soal ujian matematika, jadi penting banget buat kita menguasai teknik penyelesaiannya. Yuk, simak penjelasannya!

Memahami Persamaan Trigonometri

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, penting untuk memahami dulu apa itu persamaan trigonometri. Secara sederhana, persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan), dan lain-lain. Menyelesaikan persamaan trigonometri berarti mencari nilai-nilai variabel (dalam kasus ini, x) yang membuat persamaan tersebut bernilai benar.

Dalam persamaan 2 cos²x + 5 sin x + 1 = 0, kita punya dua fungsi trigonometri, yaitu cos²x dan sin x. Nah, langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mengubah persamaan ini menjadi persamaan kuadrat dalam satu fungsi trigonometri saja. Gimana caranya? Kita akan menggunakan identitas trigonometri dasar.

Identitas Trigonometri yang Perlu Diingat

Salah satu identitas trigonometri yang paling sering digunakan adalah:

sin²x + cos²x = 1

Dari identitas ini, kita bisa mengubah cos²x menjadi 1 - sin²x. Ini akan sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan kita.

Langkah-langkah Penyelesaian

Sekarang, mari kita pecahkan persamaan 2 cos²x + 5 sin x + 1 = 0 langkah demi langkah:

  1. Ubah cos²x menjadi 1 - sin²x:

    Persamaan awal kita adalah:

    2 cos²x + 5 sin x + 1 = 0

    Ganti cos²x dengan (1 - sin²x):

    2(1 - sin²x) + 5 sin x + 1 = 0

  2. Sederhanakan Persamaan:

    Buka kurung dan susun ulang persamaan:

    2 - 2sin²x + 5 sin x + 1 = 0

    -2sin²x + 5 sin x + 3 = 0

    Supaya lebih mudah dilihat, kita bisa kalikan seluruh persamaan dengan -1:

    2sin²x - 5 sin x - 3 = 0

  3. Misalkan sin x = y:

    Untuk memudahkan penyelesaian, kita misalkan sin x = y. Persamaan kita sekarang menjadi:

    2y² - 5y - 3 = 0

  4. Faktorkan Persamaan Kuadrat:

    Sekarang kita punya persamaan kuadrat yang bisa kita faktorkan:

    (2y + 1)(y - 3) = 0

  5. Cari Nilai y:

    Dari faktorisasi di atas, kita dapatkan dua solusi untuk y:

    • 2y + 1 = 0 => y = -1/2
    • y - 3 = 0 => y = 3

  6. Kembalikan ke sin x:

    Ingat, tadi kita misalkan sin x = y. Sekarang kita kembalikan lagi:

    • sin x = -1/2
    • sin x = 3

    Perlu diingat bahwa nilai sinus selalu berada di antara -1 dan 1. Jadi, sin x = 3 tidak mungkin terjadi. Kita hanya akan fokus pada sin x = -1/2.

  7. Cari Nilai x:

    Sekarang kita cari nilai x yang memenuhi sin x = -1/2. Kita tahu bahwa sinus bernilai negatif di kuadran III dan IV.

    • Kuadran III:

      Sudut referensi untuk sin x = 1/2 adalah 30° atau π/6 radian. Di kuadran III, sudutnya adalah:

      x = 180° + 30° = 210° atau x = π + π/6 = 7π/6

    • Kuadran IV:

      Di kuadran IV, sudutnya adalah:

      x = 360° - 30° = 330° atau x = 2π - π/6 = 11π/6

  8. Solusi Umum:

    Karena fungsi trigonometri bersifat periodik, kita perlu menambahkan kelipatan 360° (atau 2π radian) untuk mendapatkan solusi umum:

    • x = 210° + k.360° atau x = 7π/6 + k.2π
    • x = 330° + k.360° atau x = 11π/6 + k.2π

    dengan k adalah bilangan bulat.

Tips dan Trik

  • Identitas Trigonometri: Kuasai identitas trigonometri dasar. Ini adalah kunci untuk mengubah dan menyederhanakan persamaan.
  • Persamaan Kuadrat: Ubah persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat. Teknik faktorisasi atau rumus kuadrat akan sangat membantu.
  • Lingkaran Satuan: Pahami lingkaran satuan untuk menentukan sudut-sudut yang memenuhi persamaan.
  • Solusi Umum: Jangan lupa menambahkan kelipatan periode fungsi trigonometri untuk mendapatkan solusi umum.

Contoh Soal Lain

Untuk lebih memahami, mari kita lihat contoh soal lain yang serupa:

Soal: Selesaikan persamaan 2 sin²x - 3 cos x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°

Penyelesaian:

  1. Ubah sin²x menjadi 1 - cos²x:

    2(1 - cos²x) - 3 cos x = 0

    2 - 2cos²x - 3 cos x = 0

    -2cos²x - 3 cos x + 2 = 0

    2cos²x + 3 cos x - 2 = 0

  2. Misalkan cos x = y:

    2y² + 3y - 2 = 0

  3. Faktorkan:

    (2y - 1)(y + 2) = 0

  4. Cari Nilai y:

    • 2y - 1 = 0 => y = 1/2
    • y + 2 = 0 => y = -2 (tidak mungkin, karena nilai cosinus antara -1 dan 1)

  5. Kembalikan ke cos x:

    cos x = 1/2

  6. Cari Nilai x:

    cos x = 1/2 di kuadran I dan IV.

    • Kuadran I: x = 60°
    • Kuadran IV: x = 300°

    Jadi, solusinya adalah x = 60° dan x = 300°

Kesimpulan

Menyelesaikan persamaan trigonometri seperti 2 cos²x + 5 sin x + 1 = 0 memang membutuhkan pemahaman konsep dan latihan yang cukup. Kuncinya adalah mengubah persamaan menjadi bentuk yang lebih sederhana, menggunakan identitas trigonometri, dan memahami sifat-sifat fungsi trigonometri. Dengan latihan yang konsisten, kalian pasti bisa menguasai materi ini. Semangat terus, guys! Jangan lupa untuk mencoba soal-soal lain dan jangan ragu untuk bertanya jika ada kesulitan. Sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!