Solusi Pertidaksamaan Kuadrat 3x² - 11x - 4 ≥ 0

by ADMIN 48 views
Iklan Headers

Hey guys! Pernah gak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin mikir keras? Salah satunya adalah pertidaksamaan kuadrat. Nah, kali ini kita bakal bahas tuntas cara mencari solusi dari pertidaksamaan kuadrat 3x² - 11x - 4 ≥ 0. Jangan khawatir, kita akan pecah soal ini langkah demi langkah biar kalian semua paham!

Apa Itu Pertidaksamaan Kuadrat?

Sebelum kita masuk ke penyelesaian soal, ada baiknya kita pahami dulu apa itu pertidaksamaan kuadrat. Secara sederhana, pertidaksamaan kuadrat adalah sebuah pertidaksamaan yang memiliki bentuk umum seperti ini:

ax² + bx + c > 0

Atau bisa juga dalam bentuk lain, seperti:

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c ≤ 0

Di mana a, b, dan c adalah konstanta dengan a ≠ 0, dan x adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Nah, tanda >, <, ≥, atau ≤ ini yang bikin beda dengan persamaan kuadrat (yang tandanya =).

Kenapa penting belajar pertidaksamaan kuadrat? Karena materi ini sering banget muncul di berbagai soal matematika, mulai dari ujian sekolah sampai tes masuk perguruan tinggi. Selain itu, pemahaman tentang pertidaksamaan kuadrat juga berguna dalam aplikasi matematika di dunia nyata, seperti dalam masalah optimasi dan pemodelan.

Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Oke, sekarang kita masuk ke inti pembahasan, yaitu cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat 3x² - 11x - 4 ≥ 0. Secara umum, ada beberapa langkah yang perlu kita lakukan:

1. Ubah Pertidaksamaan Menjadi Persamaan Kuadrat

Langkah pertama adalah mengubah tanda pertidaksamaan (≥) menjadi tanda sama dengan (=). Jadi, pertidaksamaan 3x² - 11x - 4 ≥ 0 kita ubah menjadi persamaan kuadrat:

3x² - 11x - 4 = 0

Kenapa kita melakukan ini? Karena kita akan mencari akar-akar dari persamaan kuadrat ini, yang nantinya akan menjadi titik-titik penting dalam penyelesaian pertidaksamaan.

2. Faktorkan Persamaan Kuadrat

Setelah mendapatkan persamaan kuadrat, langkah selanjutnya adalah memfaktorkannya. Tujuan dari pemfaktoran adalah untuk mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya sama dengan hasil kali a dan c, dan jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b. Dalam kasus ini:

  • a = 3
  • b = -11
  • c = -4

Jadi, kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 3 * (-4) = -12, dan jika dijumlahkan hasilnya -11. Dua bilangan tersebut adalah -12 dan 1. Sekarang kita bisa faktorkan persamaan kuadratnya:

3x² - 11x - 4 = 0

3x² - 12x + x - 4 = 0 (pecah -11x menjadi -12x + x)

3x(x - 4) + 1(x - 4) = 0 (kelompokkan dan faktorkan)

(3x + 1)(x - 4) = 0 (faktorkan lagi)

3. Cari Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Setelah berhasil memfaktorkan, kita bisa mencari akar-akar persamaan kuadratnya. Akar-akar ini adalah nilai-nilai x yang membuat persamaan bernilai nol. Dari hasil pemfaktoran (3x + 1)(x - 4) = 0, kita dapatkan dua akar:

  • 3x + 1 = 0 → 3x = -1 → x = -1/3
  • x - 4 = 0 → x = 4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 3x² - 11x - 4 = 0 adalah x = -1/3 dan x = 4.

4. Buat Garis Bilangan

Langkah selanjutnya adalah membuat garis bilangan dan menandai akar-akar yang sudah kita dapatkan di garis bilangan tersebut. Garis bilangan ini akan membantu kita menentukan interval-interval di mana pertidaksamaan bernilai positif atau negatif.

Garis bilangan kita akan memiliki dua titik penting, yaitu -1/3 dan 4. Kedua titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval:

  • Interval 1: x < -1/3
  • Interval 2: -1/3 < x < 4
  • Interval 3: x > 4

5. Uji Titik di Setiap Interval

Sekarang kita perlu menguji setiap interval untuk menentukan apakah pertidaksamaan 3x² - 11x - 4 ≥ 0 bernilai positif atau negatif di interval tersebut. Caranya adalah dengan memilih satu titik uji di setiap interval dan mensubstitusikannya ke dalam pertidaksamaan.

  • Interval 1: x < -1/3
    • Pilih titik uji x = -1
    • Substitusikan ke pertidaksamaan: 3(-1)² - 11(-1) - 4 = 3 + 11 - 4 = 10 (positif)
  • Interval 2: -1/3 < x < 4
    • Pilih titik uji x = 0
    • Substitusikan ke pertidaksamaan: 3(0)² - 11(0) - 4 = -4 (negatif)
  • Interval 3: x > 4
    • Pilih titik uji x = 5
    • Substitusikan ke pertidaksamaan: 3(5)² - 11(5) - 4 = 75 - 55 - 4 = 16 (positif)

6. Tentukan Interval Solusi

Dari hasil uji titik, kita tahu bahwa pertidaksamaan 3x² - 11x - 4 ≥ 0 bernilai positif di interval x < -1/3 dan x > 4. Karena tanda pertidaksamaan adalah ≥ (lebih besar atau sama dengan), kita juga perlu memasukkan akar-akar persamaan kuadrat (-1/3 dan 4) ke dalam solusi.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan 3x² - 11x - 4 ≥ 0 adalah:

x ≤ -1/3 atau x ≥ 4

Kita bisa menuliskan solusi ini dalam bentuk interval sebagai berikut:

(-∞, -1/3] ∪ [4, ∞)

Contoh Soal Lain dan Pembahasan Singkat

Biar makin mantap, kita coba bahas contoh soal lain ya:

Soal: Tentukan solusi dari pertidaksamaan x² - 5x + 6 < 0

Pembahasan:

  1. Ubah menjadi persamaan: x² - 5x + 6 = 0
  2. Faktorkan: (x - 2)(x - 3) = 0
  3. Cari akar: x = 2 dan x = 3
  4. Buat garis bilangan dan uji titik di setiap interval (x < 2, 2 < x < 3, x > 3)
  5. Tentukan interval solusi: Karena tanda pertidaksamaan adalah < (kurang dari), kita cari interval yang bernilai negatif. Solusinya adalah 2 < x < 3, atau dalam bentuk interval (2, 3).

Tips dan Trik Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

  • Pahami konsep dasar: Pastikan kalian benar-benar paham apa itu pertidaksamaan kuadrat dan bagaimana bentuk umumnya.
  • Latihan soal: Semakin banyak latihan soal, semakin terbiasa kalian dengan berbagai jenis soal dan cara penyelesaiannya.
  • Gunakan garis bilangan: Garis bilangan sangat membantu dalam menentukan interval solusi. Jangan malas membuatnya!
  • Teliti dalam perhitungan: Kesalahan kecil dalam perhitungan bisa berakibat fatal. Jadi, selalu periksa kembali pekerjaan kalian.
  • Jangan menyerah: Matematika memang butuh ketekunan. Jika ada soal yang sulit, jangan langsung menyerah. Coba lagi dan lagi!

Kesimpulan

Mencari solusi pertidaksamaan kuadrat memang butuh beberapa langkah, tapi dengan pemahaman yang baik dan latihan yang cukup, kalian pasti bisa! Ingat langkah-langkahnya: ubah jadi persamaan, faktorkan, cari akar, buat garis bilangan, uji titik, dan tentukan interval solusi. Jangan lupa juga untuk selalu teliti dan jangan mudah menyerah. Semoga panduan ini bermanfaat ya, guys! Selamat belajar dan sampai jumpa di pembahasan soal matematika lainnya! Semangat!!!